إجابة لغز الضفدع من TED-Ed خاطئة

قناة TED-Ed من القنوات المميزة على يوتيوب. يعجبني فيها تناولهم المتكرر لألغاز الرياضيات والمنطق. مع ذلك، في هذه النشرة الإخبارية، أنتقدهم بشدة لإجابتهم الخاطئة على "لغز الضفدع".

قبل أن نذهب أبعد من ذلك، أقترح عليك مشاهدة الفيديو هنا هو الرابط:

إذا لم تشاهد الفيديو، فإليك المعلومات المقدمة:

1. لقد تقطعت بك السبل في غابة مطيرة ضخمة وأكلت فطرًا سامًا.
2. لإنقاذ حياتك، تحتاج إلى الترياق الذي تفرزه أنواع معينة من الضفادع.
3. لسوء الحظ، فإن أنثى هذا النوع فقط هي التي تنتج الترياق.
4. يظهر الذكر والأنثى بأعداد متساوية ويبدوان متطابقين.
5. الذكر لديه نقيق مميز.
6. على اليسار، تلاحظ وجود ضفدع على جذع شجرة.
7. قبل أن تتمكن من الوصول إلى الضفدع على جذع الشجرة، تسمع صوتًا ناعقًا قادمًا من مكان مفتوح في الاتجاه المعاكس.
8. في المقاصة، ترى ضفدعين، لكنك لا تستطيع معرفة أيهما أصدر الصوت.
9. تشعر أنك تفقد الوعي وليس لديك الوقت إلا للتوجه في اتجاه واحد.
10. جميع الضفادع مطيعة ويمكن لعقها بسهولة إذا اقتربت منها.

السؤال هو أيُّ طريقٍ ينبغي أن تسلك؟ بمعنى آخر، ما احتمالية النجاة في كلا الاتجاهين؟

من الواضح أن اللغز مُعاد صياغته للغز الصبي والفتاة الكلاسيكي. لنضع لغز الضفدع جانبًا للحظة ونطرح لغز الصبي والفتاة بشكل صحيح. في هذا اللغز، لدينا:

1. يظهر الأطفال الذكور والإناث بأعداد متساوية وهم مستقلون عن أي أشقاء (بعبارة أخرى، يمكننا تجاهل التوائم المتطابقة).
2. عندما تُسأل امرأة لديها طفلان فقط: "هل لديك ولد واحد على الأقل؟" تجيب: "نعم".”

السؤال هو ما هو احتمال أن يكون لديها فتاة أيضًا؟

الإجابة الخاطئة الشائعة لهذا السؤال هي "نصف". الحجة هي أن احتمال أن يكون "الطفل الآخر" ذكرًا أو أنثى هو ٥٠/٥٠. المغالطة هي أنه لا يوجد "طفل آخر".

الطريقة الصحيحة لحساب ذلك هي باستخدام نظرية بايز للاحتمال الشرطي. تنص هذه النظرية عمومًا على أن احتمال صحة العبارة (أ)، مع العلم بالمعلومة (ب)، هو نسبة صحة كليهما مقسومًا على احتمال صحة (ب). ويُعبَّر عن ذلك بالصيغة التالية:

العلاقات العامة (أ | ب) = العلاقات العامة (أ و ب) / العلاقات العامة (ب).

في لغز الصبي والفتاة:

أ = الأم لديها فتاة

ب = ولد واحد على الأقل

يمكن حل هذه المشكلة على النحو التالي: Pr (ولد وبنت) / Pr (ولد واحد على الأقل).

بشكل عام، بالنسبة للعائلات التي لديها طفلين، الاحتمالات هي:

الولد والبنت = 50%

ولد وولد = 25%

فتاة وفتاة = 25%

الجواب على لغز الصبي والفتاة هو 50% / (50% + 25%) = 50% / 75% = 2/3.

هناك طريقة شائعة أخرى لشرح الاحتمال 2/3 باستخدام الجدول التالي.

الطفل 1	الطفل 2
	ذكر	أنثى
ذكر	لا	نعم
أنثى	نعم

الخلية الأنثوية/الأنثوية مُعتمة لاستحالة ذلك. تشير الإجابة "نعم" إلى وجود أنثى واحدة على الأقل. كما ترى، من بين الاحتمالات الثلاثة، اثنتان من كل ثلاث تحتويان على أنثى. وبالتالي، فإن احتمال وجود أنثى واحدة على الأقل هو ٢/٣.

لنعد الآن إلى لغز الضفدع. بناءً على طريقة حلهم للمشكلة في الفيديو، من الواضح أنهم استخدموا الجزء المتعلق بنقيق الذكور للوصول إلى استنتاج أن واحدًا على الأقل من الضفادع في المرج ذكر. ومع ذلك، فإن طريقة استخدام عبارة "الإجابة"، أي جزء النقيق، تؤدي إلى إجابة مختلفة عن 2/3.

للوصول إلى إجابة صحيحة، علينا معرفة احتمال سماع نقيق ضفدع ذكر معين. لنفترض جدلاً أن الاحتمال ١٠٪. ولنفترض أيضاً أنه إذا سمعت نقيقاً من المرج، فلن تعرف إن كان صادراً عن ضفدع واحد أم اثنين.

لنبدأ بفحص احتمال أن يكون الضفدع في السجل أنثى. معادلة هذا الاحتمال هي:

Pr(أنثى | لا تنعق) =

Pr(أنثى ولا تنعق)/Pr(لا تنعق) =

Pr(أنثى ولا تنعق)/(Pr(أنثى ولا تنعق) + Pr(أنثى ولا تنعق)) =

(0.5 * 1)/(0.5 * 1 + 0.5 * 0.9) = 0.5/(0.5 + 0.45) = 0.5/0.95 = 10/19 =~ 52.63%.

الآن، لنفحص أولًا احتمال وجود أنثى في المقاصة. معادلة هذا الاحتمال هي:

Pr(أنثى | ناعق) =

6؛ عائلة الخطوط: 'Open Sans'، sans-serif؛ اللون: #313131 !important؛ ">Pr(أنثى وناعقة)/Pr(ناعقة) =Pr(أنثى وناعقة)/(Pr(أنثى وذكر ناعق) + Pr(ذكر غير ناعق وذكر ناعق) + Pr(ذكران ناعقان)) =

دعونا ننظر إلى كل احتمال على حدة:

احتمال (أنثى ونقيع): يجب أن يكون هناك أنثى وذكر نقيع. احتمال ذلك هو ٢ * ٠.٥ * ٠.٥ * ٠.١ = ١/٢٠ = ٠.٠٥. والسبب هو وجود طريقتين لاختيار الضفدع الأنثى.

Pr(أنثى وذكر ناعق) = نفس ما ورد أعلاه، حيث أن الناعق يمكن أن يأتي من ذكر فقط.

Pr (ذكر غير ناعق وذكر ناعق) = ٢ * ٠.٥ * ٠.٥ * ٠.٩ * ٠.١ = ٠.٠٤٥. والسبب في ذلك هو وجود طريقتين لاختيار الذكر الناعق.

Pr(ذكران نعقان) = 0.5 * 0.5 * 0.1 * 0.1 = 0.0025

الاحتمال الإجمالي لوجود أنثى في المقاصة هو 0.05 / (0.05 + 0.045 + 0.0025) = 0.05/0.0975 = 20/39 =~ 51.28% .

باختصار، احتمال البقاء على قيد الحياة في كلا الاتجاهين هو:

لعق الضفدع على جذع الشجرة = 52.63%

لعق الضفدعين في المقاصة = 51.28%.

وهكذا، ينبغي عليك أن تلعق الضفدع الموجود على جذع الشجرة.

لننظر إلى الحالة العامة حيث يكون احتمال سماع نقيق ذكر معين هو ج. احتمالات البقاء على قيد الحياة هي:

لعق الضفدع على اللوغاريتم = 1/(2-c)

لعق الضفدعين في المقاصة = 2/(4-ج)

٦؛ عائلة الخطوط: 'Open Sans'، sans-serif؛ اللون: #٣١٣١٣١ !important؛ ">لأي قيمة لـ c>٠، ستكون الاحتمالات لصالح لعق الضفدع على جذع الشجرة. نعرف أن c>٠، لأننا سمعنا نقيقًا.

وهكذا، يجب عليك لعق الضفدع على جذع الشجرة!