اسأل الساحر #120

يوضح الجدول التالي احتمالية الحصول على من 0 إلى 4 آسات في يد عشوائية تمامًا.

إذا جمعنا بين ١ و٤ آسات، نجد أن احتمال ظهور آس واحد على الأقل هو ٠٫٣٤١١٥٨. واحتمال ظهور آسين أو أكثر هو ٠٫٠٤١٦٨٤.

يمكن إعادة صياغة احتمال وجود آص واحد على الأقل، بشرط وجود واحد على الأقل، وفقًا لنظرية بايز على النحو التالي: الاحتمال (آصان آخران مع وجود آص واحد على الأقل) = الاحتمال (آصان أو أكثر) / الاحتمال (آص واحد على الأقل) = 0.041684 / 0.341158 = 0.122185.

بالنسبة لأولئك الذين لا يعرفون نظرية بايز، فهي تنص على أن احتمال A مع إعطاء B يساوي احتمال A و B مقسومًا على احتمال B، أو Pr(A مع إعطاء B) = Pr(A و B)/Pr(B).

يوضح الجدول التالي التركيبات والاحتمالات لكل عدد من الآسات الأخرى بشرط إزالة الآس البستوني من المجموعة.

يُظهر هذا أن احتمالية الحصول على آص واحد على الأقل هي 0.221369.

للتسلية، دعونا نحل نفس السؤال باستخدام نظرية بايز. افترض أنه يتم توزيع أوراق عشوائية حتى يتم العثور على واحدة تحتوي على الآس البستوني. يمكن إعادة كتابة احتمال وجود آس إضافي واحد على الأقل، بشرط أن تحتوي اليد على الآس البستوني، على النحو التالي: الاحتمال (اثنين من الآس على الأقل بشرط وجود الآس البستوني في اليد). وفقًا لنظرية بايز، فإن هذا يساوي الاحتمال (اليد تحتوي على الآس البستوني وآس واحد على الأقل) / Pr (اليد تحتوي على الآس البستوني). يمكننا تقسيم البسط إلى الاحتمال (آسان بما في ذلك الآس البستوني) + الاحتمال (3 آسات بما في ذلك الآس البستوني) + الاحتمال (4 آسات). باستخدام الجدول الأول، يساوي هذا 0.039930 × (2/4) + 0.001736 × (3/4) + 0.000018 = 0.021285. احتمال ظهور الآس البستوني هو ٥/٥٢ = ٠٫٠٩٦١٥٤. لذا، فإن احتمال ظهور آسين على الأقل مع وجود الآس البستوني هو ٠٫٠٢١٢٨٥/٠٫٠٩٦١٥٤ = ٠٫٢٢١٣٦٩.

لذا فإن احتمال الحصول على اثنين أو أكثر من الآسات في حالة وجود آس واحد على الأقل هو 12.22%، وفي حالة وجود آس البستوني هو 22.14%.

لنلقِ نظرة على حالة أبسط. لنفترض أن المرأة (أ) قالت: "لديّ طفلان، أحدهما على الأقل ولد". قالت المرأة (ب): "لديّ طفلان، والأكبر اسمه جون". يمكننا افتراض أنه لا يوجد أي طفل اسمه جون بنت، ولا تُطلق أي امرأة نفس الاسم على أكثر من طفل واحد. باستخدام الاحتمال الشرطي، يكون احتمال أن يكون كلا الطفلين ولدًا للمرأة (أ) هو pr(كلاهما ولدان)/pr(واحد على الأقل ولد) = pr(كلاهما ولدان)/(1-pr(كلاهما بنتان)) = (1/4)/(1-(1/4)) = (1/4)/(3/4) = 1/3. مع ذلك، فإن احتمال أن يكون الطفل الأصغر للمرأة (ب) ولدًا، أو أن يكون كلا الطفلين ولدين، هو ؟، لأن القول بأن اسم الطفل الأكبر جون لا يُخبرنا شيئًا عن الطفل الأصغر.

لنفترض أنك ذهبت إلى جيفّي لوب، وقدّموا عرضين بنفس السعر. العرض (أ) يفحصون أربعة قطع ويستبدلون أول قطعة معيبة فقط. أما العرض (ب) فيفحصون مشكلة واحدة فقط ويصلحونها إن وُجدت. ألا تفضل اختيار العرض (أ)؟ وصلت سيارتك بنفس عدد القطع التالفة المتوقعة، لكن احتمالية وجود مشكلة أكبر في العرض (أ)، وبالتالي ستغادر مع عدد أقل من القطع المعيبة المتوقعة بموجب هذه الخطة. وبالمثل، فإن اختبار أي ورقة آص من المرجح أن يُظهر الورقة الآص الوحيدة، بينما اختبار ورقة آص البستوني لا يفحص الأوراق الثلاثة الأخرى، مما يزيد من احتمالية كونها أوراق آص.

وجهها لأسفل. عدم السماح للاعب برؤية بطاقاته حتى نهاية الجولة يُقلل من معلوماته، مما يُضعف عدّاد البطاقات.

تُفضل الكازينوهات تصنيف مُراهنيها بناءً على قيمة رهاناتهم. أحد أسباب ذلك هو أن طاولات الحد الأعلى تضم عددًا أقل من اللاعبين، مما يُتيح للمراهنين الكبار فرصة أكبر للفوز بأيدٍ في الساعة. سبب آخر هو أن اللاعبين يُقال إنهم يُفضلون التواجد مع لاعبين آخرين ذوي حجم رهان مُماثل. إذا أراد لاعبٌ المراهنة بمبلغ 1000 دولار على طاولة بقيمة 5 دولارات، فقد يُشعر ذلك اللاعبين الآخرين على نفس الطاولة بالتوتر أو عدم الارتياح. سبب ثالث هو أنه إجراء وقائي ضد الغش.

كما ذكرتُ مئات المرات، لا يوجد رقم سحري لدخول "المدى الطويل". ولكن كلما كانت نتائجك مبهرة، قلّت الأيدي التي تحتاجها لإثبات أنها ليست عشوائية. في حالتك، احتمال الحصول على 54.5% أو أكثر من 2391 لعبة هو حوالي 1 من 200,000. لذا، أقول إن هذا السجل يستحق أن يؤخذ على محمل الجد. إليكم كيف توصلتُ إلى هذا الرقم:

الفوز المتوقع = 2391/2 = 1195.5
الانتصارات الفعلية فوق التوقعات = 107.5
الانحراف المعياري = الجذر التربيعي (2391 * (1/2) * (1/2)) = 24.45
الانحرافات المعيارية عن التوقعات = (107.5 + 0.5) / 24.45 = 4.4174
احتمال وجود انحراف معياري قدره 4.4174 أو أكثر = normsdist(-4.4174) = 0.000005 = 1 في 200000

نعم. لم أسمع قط عن لاعب مُنع من استخدام واحد.

احتمال الحصول على ورقتين إضافيتين من نفس النوع هو 39*combin(11,2)/combin(50,3) = 0.109439. احتمال الحصول على 3 ورقات إضافية من نفس النوع هو combin(11,3)/combin(50,3) = 0.008418. لذا، فإن احتمال الحصول على ورقتين إضافيتين على الأقل من نفس النوع هو 0.117857.