اسأل الساحر #132

لقد رتّبت مكاتبُ المراهنات التي رأيتُها الجداولَ عشوائيًا بتعيين رقمٍ عشوائي لكل صفٍّ وعمود. ومع ذلك، إذا كان بإمكانك اختيار الأرقام النهائية الفعلية، فإن الجدول التالي يُظهر تكرار كل رقم نهائي للنتيجة النهائية لأيٍّ من الفريقين، بناءً على جميع مباريات دوري كرة القدم الأمريكية (NFL) من عام ١٩٨٣ إلى عام ٢٠٠٣.

يوضح الجدول التالي أن 7 هو الخيار الأفضل، يليه 0، و4، و3.

لحسن الحظ، أنا من أشد المعجبين بجيمس بوند، ولديّ جميع أفلامه على أقراص DVD. شاهدتُ فيلم "دكتور نو" ويبدو أنه يلعب لعبة "شيمان دي فير". كان المشهد باللغة الفرنسية، وهذا لا يُساعدني. يوجد مشهد مشابه في فيلم "لأجل عينيك فقط" . في ذلك الفيلم، يبدو أن بوند يلعب الباكارات، مؤديًا دور المصرفي، ولكن بعد أن يُمثل اللاعب، يتوقف مؤقتًا، وتقول شخصية أخرى لبوند: "الاحتمالات تُفضّل البقاء ثابتًا". هذا يعني أن بوند كان يتمتع بحرية اختيار بطاقة ثالثة، وهو خيار غير مُتاح في الباكارات. حسب فهمي لتاريخ المقامرة، فإن النسخة الأمريكية من الباكارات هي نسخة مُبسطة من لعبة "شيمان دي فير"، حيث تكون قواعد السحب مُحددة مُسبقًا. بالمناسبة، وفقًا لموقع www.casino-info.com ، نشأت الباكارات الأمريكية في كازينو كابري في هافانا، كوبا.

لمن لا يعرف المصطلحات، يحصل كل لاعب على بطاقتين لنفسه، وتُوزّع بطاقات الفلوب الثلاث بين جميع اللاعبين. هذا يشبه السؤال: إذا وزّعتَ ثلاث بطاقات مشتركة، جميعها برتب مختلفة، وعشر أيادٍ من بطاقتين، فما احتمال أن تكون ثلاث من هذه الأيدي المكونة من بطاقتين أزواجًا تتطابق مع إحدى بطاقات المجتمع الثلاث؟

احتمال امتلاك اللاعب 1 لمجموعة هو 3* combin (3,2)/combin(49,2). واحتمال امتلاك اللاعب 2 لمجموعة هو 2*combin(3,2)/combin(47,2). واحتمال امتلاك اللاعب 3 لمجموعة هو combin(3,2)/combin(45,2). مع ذلك، يمكن لأي ثلاثة لاعبين الحصول على المجموعات الثلاث، وليس بالضرورة على المجموعات الثلاث الأولى. هناك طرق combin(10,3) لاختيار 3 لاعبين من أصل 10 لديهم مجموعات. إذن، الإجابة هي combin(10,3)*(3*combin(3,2)/combin(49,2))*(2*combin(3,2)/combin(47,2))*(combin(3,2)/combin(45,2)) = 0.00000154464 = 1 من 64,740.

بتجاهل هامش الكازينو، يكون احتمال تحقيق هدفك 2/3، والقيمة المتوقعة لمكافأة الشبح 33.33 دولارًا. بالنسبة لمكافأة الشبح b، ورقائق قابلة للسحب c، وهدف الفوز g، يكون احتمال تحقيق هدفك (c+b)/g، والقيمة المتوقعة لمكافأة الشبح ((c+b)/g)*(gb)-c. بشكل عام، كلما ارتفع هدف الفوز، زادت القيمة المتوقعة لمكافأة الشبح.

لتبسيط المسألة، لنفترض أن البطاقات مرقمة من ١ إلى ٥٢. يوضح الجدول التالي احتمال أن تكون البطاقة من ١٠ إلى ٥٢ هي الأعلى قيمة. هناك طرق كومبين (x-١،٩) لاختيار ٩ أرقام تحت x، وطرق كومبين (٥٢،١٠) لاختيار أي عدد من ٥٢. لذا، يمكن التعبير عن احتمال أن يكون x هو الأعلى قيمةً بالمعادلة كومبين (x-١،٩)/كومبين (٥٢،١٠). عمود التوقعات هو حاصل ضرب الاحتمال في عدد الكرات. يُظهر مجموع عمود التوقعات أن أعلى كرة في المتوسط ستكون ٤٨.١٨. وبالتقريب لأقرب بطاقة، تكون أعلى بطاقة متوقعة هي ملك البستوني.

مع أنك لم تسأل، فإن الورقة المتوسطة هي آس النوادي. احتمالية وجود أعلى ورقة تحت آس النوادي هي ٤١.٣٤٪، واحتمالية وجود ورقة فوق آس النوادي هي ١٠.٦٠٪، واحتمالية وجود ورقة أعلى من آس النوادي هي ٤٨.٠٥٪.