اسأل الساحر #132

هل لديك أي نصيحة لاختيار الرقم النهائي في مجموعات Super Bowl؟

مجهول

لقد رتّبت مكاتبُ المراهنات التي رأيتُها الجداولَ عشوائيًا بتعيين رقمٍ عشوائي لكل صفٍّ وعمود. ومع ذلك، إذا كان بإمكانك اختيار الأرقام النهائية الفعلية، فإن الجدول التالي يُظهر تكرار كل رقم نهائي للنتيجة النهائية لأيٍّ من الفريقين، بناءً على جميع مباريات دوري كرة القدم الأمريكية (NFL) من عام ١٩٨٣ إلى عام ٢٠٠٣.

أرقام NFL الطرفية لكل جانب

رقم	تكرار	احتمال
0	1887	17.75%
1	1097	10.32%
2	348	3.27%
3	1382	13.00%
4	1608	15.13%
5	396	3.73%
6	848	7.98%
7	1945	18.30%
8	631	5.94%
9	488	4.59%
المجموع	10630	100%

يوضح الجدول التالي أن 7 هو الخيار الأفضل، يليه 0، و4، و3.

أنا أتعلم لعب الباكارات، وبما أن كل لاعب يستطيع المراهنة على أيٍّ من اللاعبين والمصرفي، دون أن يكونا في الواقع يلعبان ضد بعضهما البعض، كنت أتساءل ما هي اللعبة التي تُلعب في أفلام جيمس بوند؟ على سبيل المثال، في لعبة "دكتور نو"، يبدو أن بوند يواجه امرأة ويربح مالها. هل هناك شيء أغفله أم أن اللعبة مختلفة؟ شكرًا لوقتك.

مجهول

لحسن الحظ، أنا من أشد المعجبين بجيمس بوند، ولديّ جميع أفلامه على أقراص DVD. شاهدتُ فيلم "دكتور نو" ويبدو أنه يلعب لعبة "شيمان دي فير". كان المشهد باللغة الفرنسية، وهذا لا يُساعدني. يوجد مشهد مشابه في فيلم "لأجل عينيك فقط" . في ذلك الفيلم، يبدو أن بوند يلعب الباكارات، مؤديًا دور المصرفي، ولكن بعد أن يُمثل اللاعب، يتوقف مؤقتًا، وتقول شخصية أخرى لبوند: "الاحتمالات تُفضّل البقاء ثابتًا". هذا يعني أن بوند كان يتمتع بحرية اختيار بطاقة ثالثة، وهو خيار غير مُتاح في الباكارات. حسب فهمي لتاريخ المقامرة، فإن النسخة الأمريكية من الباكارات هي نسخة مُبسطة من لعبة "شيمان دي فير"، حيث تكون قواعد السحب مُحددة مُسبقًا. بالمناسبة، وفقًا لموقع www.casino-info.com ، نشأت الباكارات الأمريكية في كازينو كابري في هافانا، كوبا.

في لعبة تكساس هولدم المكونة من 10 لاعبين، وكان الجدول يحتوي على ثلاث مراتب مختلفة، ما هو احتمال أن يكون لدى ثلاثة لاعبين مجموعة؟

مجهول

لمن لا يعرف المصطلحات، يحصل كل لاعب على بطاقتين لنفسه، وتُوزّع بطاقات الفلوب الثلاث بين جميع اللاعبين. هذا يشبه السؤال: إذا وزّعتَ ثلاث بطاقات مشتركة، جميعها برتب مختلفة، وعشر أيادٍ من بطاقتين، فما احتمال أن تكون ثلاث من هذه الأيدي المكونة من بطاقتين أزواجًا تتطابق مع إحدى بطاقات المجتمع الثلاث؟

احتمال امتلاك اللاعب 1 لمجموعة هو 3* combin (3,2)/combin(49,2). واحتمال امتلاك اللاعب 2 لمجموعة هو 2*combin(3,2)/combin(47,2). واحتمال امتلاك اللاعب 3 لمجموعة هو combin(3,2)/combin(45,2). مع ذلك، يمكن لأي ثلاثة لاعبين الحصول على المجموعات الثلاث، وليس بالضرورة على المجموعات الثلاث الأولى. هناك طرق combin(10,3) لاختيار 3 لاعبين من أصل 10 لديهم مجموعات. إذن، الإجابة هي combin(10,3)*(3*combin(3,2)/combin(49,2))*(2*combin(3,2)/combin(47,2))*(combin(3,2)/combin(45,2)) = 0.00000154464 = 1 من 64,740.

ما هي القيمة الإحصائية بالدولار لمكافأة وهمية؟ لنفترض أنني أودعت 100 دولار وحصلت على 100 دولار أخرى كمكافأة وهمية. إذا كان هدفي ربح 100 دولار (بإجمالي رصيد 300 دولار)، فما هي القيمة التقريبية لمكافأة وهمية بالنسبة لي؟

مجهول

بتجاهل هامش الكازينو، يكون احتمال تحقيق هدفك 2/3، والقيمة المتوقعة لمكافأة الشبح 33.33 دولارًا. بالنسبة لمكافأة الشبح b، ورقائق قابلة للسحب c، وهدف الفوز g، يكون احتمال تحقيق هدفك (c+b)/g، والقيمة المتوقعة لمكافأة الشبح ((c+b)/g)*(gb)-c. بشكل عام، كلما ارتفع هدف الفوز، زادت القيمة المتوقعة لمكافأة الشبح.

تبدأ بطولة هولدم بلعبة "الزر" بأعلى بطاقة. يفوز صاحب أعلى بطاقة، ويتفوق البستوني على القلب، ثم الماسي على النادي. ما متوسط البطاقة الفائزة على طاولة لعشرة لاعبين؟ حاولتُ محاكاة ذلك بتحديد قيمة عددية لكل بطاقة، لكنني لم أستطع تحديدها! شكرًا، واستمر في هذا التألق!

Stephen K. من Atlanta, GA

لتبسيط المسألة، لنفترض أن البطاقات مرقمة من ١ إلى ٥٢. يوضح الجدول التالي احتمال أن تكون البطاقة من ١٠ إلى ٥٢ هي الأعلى قيمة. هناك طرق كومبين (x-١،٩) لاختيار ٩ أرقام تحت x، وطرق كومبين (٥٢،١٠) لاختيار أي عدد من ٥٢. لذا، يمكن التعبير عن احتمال أن يكون x هو الأعلى قيمةً بالمعادلة كومبين (x-١،٩)/كومبين (٥٢،١٠). عمود التوقعات هو حاصل ضرب الاحتمال في عدد الكرات. يُظهر مجموع عمود التوقعات أن أعلى كرة في المتوسط ستكون ٤٨.١٨. وبالتقريب لأقرب بطاقة، تكون أعلى بطاقة متوقعة هي ملك البستوني.

أعلى 10 بطاقات

أعلى بطاقة	احتمال	مُتوقع
10	0.000000000063	0.000000000632
11	0.000000000632	0.000000006953
12	0.000000003477	0.000000041719
13	0.000000013906	0.000000180784
14	0.000000045196	0.000000632742
15	0.000000126548	0.000001898227
16	0.000000316371	0.000005061939
17	0.000000723134	0.000012293281
18	0.00000153666	0.000027659882
19	0.00000307332	0.000058393084
20	0.000005839308	0.000116786168
21	0.000010616924	0.000222955411
22	0.000018579618	0.000408751587
23	0.00003144243	0.000723175884
24	0.00005165542	0.001239730087
25	0.000082648672	0.002066216811
26	0.000129138551	0.003357602319
27	0.000197506019	0.005332662506
28	0.000296259028	0.008295252787
29	0.000436592252	0.012661175306
30	0.000633058765	0.01899176296
31	0.000904369665	0.028035459607
32	0.001274339073	0.040778850337
33	0.001772993493	0.058508785267
34	0.002437866053	0.082887445794
35	0.003315497832	0.116042424112
36	0.004463170158	0.160674125694
37	0.005950893544	0.220183061136
38	0.007863680755	0.298819868684
39	0.010304133403	0.401861202713
40	0.013395373424	0.535814936951
41	0.017284352805	0.708658464999
42	0.022145577031	0.930114235312
43	0.028185279858	1.211967033891
44	0.035646089232	1.568427926212
45	0.044812226463	2.016550190844
46	0.056015283079	2.576703021634
47	0.069640622206	3.273109243697
48	0.086134453782	4.134453781513
49	0.106011635423	5.194570135747
50	0.129864253394	6.493212669683
51	0.158371040724	8.076923076923
52	0.192307692308	10
المجموع	1	48.181818181818

مع أنك لم تسأل، فإن الورقة المتوسطة هي آس النوادي. احتمالية وجود أعلى ورقة تحت آس النوادي هي ٤١.٣٤٪، واحتمالية وجود ورقة فوق آس النوادي هي ١٠.٦٠٪، واحتمالية وجود ورقة أعلى من آس النوادي هي ٤٨.٠٥٪.