اسأل الساحر #194

لفائدة القراء، يُعدّ رهان "الثلاثة الكبار" رهانًا جانبيًا في لعبة البنغو في جميع كازينوهات ستيشن وفييستا رانشو. يُمنح اللاعب تذكرة، إما ورقية أو إلكترونية، بثلاثة أرقام بنغو عشوائية من أصل 75 رقمًا ممكنًا. إذا احتوت أول أربعة أرقام بنغو تُعلن في تلك الجلسة على جميع أرقام اللاعب الثلاثة، فسيفوز بجائزة كبرى تراكمية. تبدأ الجائزة الكبرى من 1000 دولار أمريكي، وتزداد بمقدار 200 دولار أمريكي يوميًا حتى يفوز أحد اللاعبين. لكل جلسة، ولكل عقار، جائزة كبرى مستقلة.

عدد التركيبات الفائزة هو 72، لأن ثلاث كرات يجب أن تتطابق، ويمكن أن تكون التركيبة الرابعة أي كرة من الكرات الـ 72 الأخرى. هناك تركيبات (75،4) = 1,215,450 تركيبًا ممكنًا. وبالتالي، فإن احتمال الفوز هو 72/1,215,450 = 0.000059. يمكن للاعب شراء 48 تذكرة مقابل 10 دولارات، وبالتالي فإن تكلفة التذكرة الواحدة هي 10/48 = 0.208333 دولار. نقطة التعادل، حيث تكون ميزة الكازينو صفرًا، هي (10/48)/(72/1,215,450) = 3,516.93 دولارًا.

تشير كازينوهات ستيشن إلى الجوائز الكبرى الثلاث الكبرى على موقعها الإلكتروني "جامبو بينجو" . ستجد هناك أن العداد غالبًا ما يتجاوز 3517 دولارًا. عندما أجبت على هذا السؤال في 30 أغسطس 2007، كان اثنان من الفنادق الثمانية يتمتعان بأفضلية للاعب، وهما بالاس ستيشن وفييستا رانشو. هذا أحد الرهانات القليلة في لاس فيغاس التي غالبًا ما تتمتع بأفضلية للاعب. للأسف، يحدّون من عدد البطاقات التي يمكنك شراؤها، مما يجعل الأمر لا يستحق عناء القيام برحلة خاصة بالنسبة لمعظم الناس، بمن فيهم أنا.

لا يُعجبني أيضًا أن تُعطي الألعاب احتمالات ربح أقل للاعبين ذوي الرهانات الأعلى. قيمة هذه المكافآت الفائقة تكاد تكون معدومة. احتمال الفوز بالمكافأة الفائقة هو واحد من ٥٤٩,٠٠٠ مع ثماني مجموعات أوراق، وواحد من ٦٦٨,٠٠٠ مليون مع ست مجموعات أوراق. بافتراض وجود ست مجموعات أوراق، فإن قيمة مكافأة الحسد تُعادل ٠.٠٠١٥٪ لكل لاعب إضافي، باستثناءك. عذرًا، لا أعرف أي كازينوهات تُحسّن المكافآت للرهانات الكبيرة.

لو كنت تلعب بخط واحد، لكان الأمر سهلاً. 800,000 دولار تعادل 160,000 يد بقيمة 5 دولارات. أي 3.9616 دورة ملكية. يمكن تقريب احتمال عدم وجود دورات ملكية إلى 1.9% تقريبًا: e ^-3.9616 = 1.9%.

تزداد الحسابات تعقيدًا في الألعاب متعددة الخطوط. أعتقد أن أسهل طريقة للإجابة على هذا السؤال هي المحاكاة العشوائية. يوضح ملحق فيديو بوكر رقم 6 أن احتمال الحصول على ورقة رويال واحدة على الأقل لكل يد في لعبة Jacks or Better 9/6 ذات الخمسين لعبة هو 0.00099893. كل يد بقيمة دولار واحد في لعبة 50 لعبة، تكلف 250 دولارًا. لذا، ستكون قد لعبت 3200 يد مبدئية. العدد المتوقع للأيدي التي تحتوي على ورقة رويال في 3200 يد هو 3.1966. وبنفس طريقة التقريب، يكون احتمال عدم الحصول على أي ورقة رويال هو e ^-3.1966 = 4.09%. الإجابة الدقيقة، بناءً على نتائج المحاكاة، هي (1-0.00099893)^3200 = 0.04083732، أو 4.08%.

هذا التغيير في القاعدة يُحسّن من وضع اللاعب بنسبة ٢.٤٩٪، مما يُخفّض هامش ربح الكازينو من ٤.٣٠٪ إلى ١.٨٠٪. الطرح ليس أقل بنسبة ٢.٥٪ تمامًا، نظرًا لتقريب الأرقام.

إن قواعد الإكرامية في هذا الشأن غير ثابتة، لذا فإن ما يلي مجرد رأيي الشخصي. إن إكرامية المضيفين، في أغلب الأحيان، طوعية وغير متوقعة. إذا كنت ستعطي إكرامية، فلا ينبغي أن تكون نقدية. شهادات الهدايا، وتذاكر المراهنات الرياضية، أو الأشياء المادية مقبولة. يعتقد بعض الناس أن المضيفين سيبذلون جهدًا أكبر قليلًا من أجلك إذا أعطيتك إكرامية. شخصيًا، لم ألاحظ فرقًا. في بعض الأحيان عندما أعطيت مضيفًا ظرفًا به شهادة هدية، بدا المضيف غير مرتاح لقبولها، ولكن في أحيان أخرى لم يكن كذلك. أفضل طريقة لإرضاء مضيفك هي اللعب بجد في الكازينو. يتم تقييم المضيفين وفقًا لمدى لعب لاعبيهم مقابل ما يقدمونه. لن يبدو الأمر جيدًا إذا ضغطت عليهم للحصول على كل ما يمكنك الحصول عليه، ثم لم تلعب بشكل متناسب في الكازينو. استثناء من القاعدة العامة حول عدم توقع الإكراميات هو أنه إذا ساعدك المضيف في الدخول إلى بطولة، وفزت بالكثير من المال، فعليك أن تعطي إكرامية سخية لكل من الموزعين ومضيفك.

إذا كان احتمال الفوز ١/ن، ولعبتَ ن مرة، ومع اقتراب ن من اللانهاية، فإن احتمال الفوز مرة واحدة على الأقل يقترب من ١-(١/هـ)، حيث هـ = ٢٫٧١٨٢٨١٨...، أو حوالي ٦٣٫٢١٪. يمكن التعبير عن الإجابة الدقيقة بالصيغة ١-(٩٩٩٫٩٩٩/١٫٠٠٠٫٠٠٠) ^١٫٠٠٠٫ ٠ = ٠٫٦٣٢١٢٠٧٤. تقديري هو ١-(١/هـ) = ٠٫٦٣٢١٢٠٥٦، وهو ما يُقارب ستة منازل عشرية.