اسأل الساحر #196

أوافق! كما ناقشتُ في قسمي حول معيار كيلي ، يوجد حجم رهان مثالي لأي رهان مع أفضلية للاعب، وذلك لتحقيق التوازن بين المخاطرة والمكافأة. المراهنة بمبلغ كيلي الدقيق ستؤدي إلى أكبر نمو في رصيد اللاعب ذي الحظ المتوسط.

على سبيل المثال، في لعبة "الدفع الكامل للثنائيات البرية" ، بعائد 100.76%، يكون المبلغ الأمثل للمراهنة في كل جولة هو 0.03419% من رصيدك. في هذه الأيام، إذا وجدتَ "الدفع الكامل للثنائيات البرية"، فمن المرجح أن يكون ذلك بفئة 25 سنتًا فقط، ولكن إذا كان بإمكانك المراهنة بأي مبلغ، فسيكون 0.03419% من إجمالي رصيدك هو المبلغ الأمثل لنمو رصيدك على المدى الطويل. بالنسبة للاعب برصيد 3,656 دولارًا، فإن لعبة "الدفع الكامل للثنائيات البرية" هي حجم رهان كيلي المثالي.

كما ذكرتُ في قسمي عن كيلي، فإن مبلغ الرهان الأمثل هو الذي يُعظم اللوغاريتم المتوقع لرأس المال بعد الرهان، والذي سأسميه "فائدة كيلي". عادةً ما تُعظم فائدة كيلي باتباع الاستراتيجية المثلى. مع ذلك، هناك استثناء واحد وهو خمسة أوراق من 3 إلى 9، مع ثلاثة أوراق من نوع 2. لننظر تحديدًا إلى الرقم 22277. القيمة المتوقعة للاحتفاظ بأوراق 2 فقط هي 15.057354، والاحتفاظ بخمس أوراق من نوع واحد يساوي دائمًا 15 بالضبط.

يوضح الجدول التالي كلاً من القيمة المتوقعة التقليدية وفائدة كيلي عند وجود أوراق الثنائي الثلاثة. فائدة كيلي لأي يد في السحب هي p*log(1+0.0003419*w)، حيث p هو الاحتمال، وw هو الفوز.

اللاعب يحمل ثلاثة أوراق

يُسلِّم	يدفع	التركيبات	احتمال	يعود	كيلي يوتيليتي
أربعة أوراق ثنائية	200	46	0.042553	8.510638	0.001222
البرية الملكية	25	40	0.037003	0.925069	0.000137
خمسة من نوع واحد	15	67	0.06198	0.929695	0.000138
فلاش مستقيم	9	108	0.099907	0.899167	0.000133
أربعة من نفس النوع	5	820	0.758557	3.792784	0.000563
المجموع		1081	1	15.057354	0.002193

الجدول التالي يوضح نفس الأرقام للاحتفاظ بخمسة من نفس النوع.

اللاعب يحمل خمسة من نفس النوع

يُسلِّم	يدفع	التركيبات	احتمال	يعود	كيلي يوتيليتي
أربعة أوراق ثنائية	200	0	0	0	0
البرية الملكية	25	0	0	0	0
خمسة من نوع واحد	15	1	1	15	0.002222
فلاش مستقيم	9	0	0	0	0
أربعة من نفس النوع	5	0	0	0	0
المجموع		1	1	15	0.002222

كما هو واضح، فإنّ رهان كيلي يوتيليتي أعلى عند الاحتفاظ بخمسة أوراق متماثلة، عند 0.002222 مقابل 0.002193. في هذه اليد تحديدًا، سيكون الاحتفاظ بخمسة أوراق متماثلة هو الخيار الصحيح وفقًا لمعيار كيلي لرصيد يصل إلى 13,290 وحدة، أو للاعبي الربع حتى 16,613 دولارًا.

كما ذكرتُ، فإن حجم رهان كيلي الأمثل للاعب الاستراتيجية الأمثل هو 0.03419% من رصيده. أما اللاعب الذي يتبع الاستراتيجية الأمثل، باستثناء الاحتفاظ بأوراق من 22233 إلى 22299، فهو 0.03434% من رصيده. سيبلغ نمو رصيد اللاعب الذي يتبع الاستراتيجية الأمثل 0.0002605% لكل رهان. أما بالنسبة للاعب كيلي، فسيكون النمو 0.0002615% لكل رهان. يمكن للاعب الذي يتبع الاستراتيجية الأمثل وحجم رهان كيلي أن يتوقع نموًا في رصيده بنسبة 10.98% لكل 40,000 يد. أما اللاعب الذي يتبع الاستراتيجية الأكثر اعتدالًا، والذي يحتفظ بأوراق من 22233 إلى 22299، وحجم رهان كيلي بناءً على هذه الاستراتيجية، فيمكنه أن يتوقع نموًا بنسبة 11.03% لكل 40,000 يد.

لذا، أؤكد أنه في بعض الحالات، يجب عليك بالفعل اتباع استراتيجية مخالفة للاستراتيجية المثلى واختيار أسلوب اللعب الأكثر تحفظًا. أتمنى فقط ألا يسمع روب سينجر بهذا.

قبل ظهور أي بطاقات، احتمال عدم ظهور أي ثلاث رتب على الطاولة هو: كومبين (40،3) / كومبين (52،3) = 9880 / 22100 = 44.71%. لذا، كانت نسبة تفوق هذا اللاعب 10.59%.

سألتُ مصدرًا لي يعمل في أحد الكازينوهات التي تستخدم هذه التقنية. إلى جانب كازينو جزيرة الكنز، تُستخدم هذه التقنية أيضًا في كازينوهات في كاليفورنيا وميشيغان وميسيسيبي. وهذا ما قاله:

لا يمكن تغيير أي شيء إذا كانت هناك رصيد في اللعبة. سترفض ماكينة القمار دائمًا أي تغييرات مرسلة عند وجود رصيد في العداد. في نيفادا، يجب أن تكون الماكينة أيضًا في وضع الخمول لمدة أربع دقائق قبل وبعد أي تغييرات. كما أنها ليست شفافة تمامًا لأي شخص يقف أمام ماكينة القمار. ستظهر نافذة سوداء مكتوب عليها "التكوين عن بُعد قيد التقدم" (أو شيء من هذا القبيل).

نستخدمها بشكل رئيسي لتغيير الفئات المتاحة في ألعابنا. وكما هو الحال في ألعاب الطاولة التي ترفع الحد الأدنى للرهانات عندما يكون الكازينو أكثر ازدحامًا، سنزيل الفئات الأقل صباح الجمعة ونعيدها صباح الاثنين.

لذا، كن مطمئنًا، لا يمكن لمدير ماكينات القمار أن يُضيّق عليك الخناق لمجرد عدم رضاه عنك. ما دمتَ تتمتع برصيد في اللعبة، فلا شيء سيتغير.

أرسلتُ هذه الرسالة إلى برايان، وهو مُنظِّم ألعاب سابق، ومدير كازينو حاليًا. وهذا ما قاله:

لن يعلم الكازينو بوجود شخص ما في البلاد بشكل غير قانوني. إذا كان لديه جواز سفر ساري المفعول، فسيتم قبول الجائزة الكبرى. قد لا يعرف المقيم غير القانوني ذلك، أو يخاف، أو قد لا يكون لديه بطاقة هوية سارية لتقديمها. عندما يفوز شخص ما بمبلغ 1200 دولار أو أكثر، تكون الهوية مطلوبة لأغراض ضريبية. إذا لم يكن لدى الشخص هويته، فسيتم الاحتفاظ بالجائزة الكبرى في القفص في انتظار استلامها. في معظم الحالات، يكون الشخص قد نسي هويته بشكل قانوني؛ ومع ذلك، قد تواجه أحيانًا مشكلة، مثل قاصر كان يلعب. إذا لم يطالب بها، فيجب إضافة المال مرة أخرى إلى الإيرادات لأن الخصم (الجائزة الكبرى) لم يُدفع أبدًا أو توجد قواعد للممتلكات المهجورة سارية. أيضًا، كما هو الحال في الولايات المتحدة، تفرض معظم الدول ضرائب على الدخل العالمي. ولهذا الغرض، لدى الولايات المتحدة معاهدات ضريبية مع العديد من الدول لحجب أو إخطار حكومات كل منها بالأموال التي يتم ربحها في الولايات المتحدة حتى يحصل العم سام دائمًا على نصيبه.

للقراء الذين قد لا يعرفون، "المجموعة" هي مجموعة من ثلاثة أوراق متشابهة بعد الفلوب، بما في ذلك زوج من الأوراق المتشابهة. احتمال عدم تكوين مجموعة هو (48 + مجموعة (48،3)) / مجموعة (50،3) = 17،344 / 19600 = 88.49%. لذا، فإن احتمال تكوين مجموعة هو 11.51%. في 2787 زوجًا، كان من المفترض أن تكون قد كوّنت مجموعة 320.8 مرة. لذا، فإن مجموعتك أقل من التوقعات بمقدار 47.8 مجموعة. التباين هو n × p × (1-p)، حيث n = عدد الأيدي، وp = احتمال تكوين المجموعة. في هذه الحالة، التباين هو 2787 × 0.1176 × 0.8824 = 283.86. الانحراف المعياري هو الجذر التربيعي لذلك، أو 16.85. لذا، فإن مجموعتك هي 47.8 / 16.85 = 2.84 انحراف معياري أقل من التوقعات. يمكن العثور على احتمال الحظ السيئ أو الأسوأ في أي جدول قياسي طبيعي، أو في Excel على النحو التالي norsdist(-2.84) = 0.002256، أو 1 في 443.