اسأل الساحر #207

تقريب كيلي هو حاصل قسمة الميزة على التباين. النتائج المحتملة هي فوزٌ بـ 39، 5، 0، -0.2، و-0.8 ضعف مبلغ الرهان. الميزة هي (1/50) × 39 + (1/50) × 5 + (4/50) × 0 + (2/50) × -0.2 + (42/50) × -0.8 = 0.2.

التباين هو المتوقع (فوز ² ) - (المتوقع (فوز)) ² = (1/50)×39 ² + (1/50)×5 ² + (4/50)×0 ² + (2/50)× -0.2 ² + (42/50)×-0.8 ² − 0.2 ² = 31.4192

إذن، رهان كيلي الأمثل التقريبي هو 0.2/31.492 = 0.0063655 مضروبًا في رأس المال. لدخول كامل بقيمة 25,000 دولار، يجب أن يكون رأس المال المطلوب 25,000/0.0063655 = 3,927,400 دولار.

مع ذلك، بالنسبة للرهانات الكبيرة كهذه، أعتقد أن إيجاد رهان كيلي الأمثل بدقة أمرٌ يستحق الوقت. بعد ذلك، ابحث عن حجم الرهان (ب)، الذي يُعظم قيمة لوغاريتم الرصيد المتوقع بعد البطولة، كما يلي.

سجل رأس المال بعد البطولة = (1/50) * log(1+39×b) + (1/50) * log(1+5×b) + (4/50) * log(1) + (2/50) * log(1-0.2×b) + (42/50) * log(1-0.8×b)

لا توجد طريقة سهلة لحل المسألة b. أنصح شخصيًا باستخدام ميزة "البحث عن الهدف" في برنامج Excel. ستكون الإجابة 0.0083418. لذا، يجب أن يكون رهان كيلي الدقيق مساويًا لـ 0.0083418 من رصيدك. لتبرير رسوم الدخول البالغة 25,000 دولار، يجب أن يكون رصيدك 25,000 دولار / 0.0083418 = 2,996,937 دولارًا.

شكرًا على كلماتك الطيبة. سأفترض أن الموزع يحصل على ورقة ١٧ ناعمة، ويضاعف بعد السماح بالتقسيم. وفقًا للجدول D17 في لعبة بلاك جاك أتاك لدون شليزنجر، فإن إزالة ورقة عشرة واحدة من كل مجموعة أوراق يزيد من ربح الكازينو بنسبة ٠٫٥٥١٢٪. بقسمة هذه النسبة على ستة، في لعبة بستة مجموعات أوراق، تكون النتيجة زيادة في ربح الكازينو بنسبة ٠٫٠٩٪.

لنحسب أولًا الخسارة المتوقعة إذا راهنتَ بمبلغ 16.50 دولارًا، وانتظرتَ حتى تحصل على بلاك جاك رابح لاستخدام القسيمة. احتمال فوز لاعب بلاك جاك هو عدد الآسات × عدد العشرات / مجموعات طرق اختيار ورقتين من أصل 312 ورقة في المجموعة. هذا يساوي 24 × 96 / مجموعة (312،2) = 0.0474895. إذا حصل كلاكما على بلاك جاك، فلن يفيدكما القسيمة. بافتراض أن اللاعب لديه بلاك جاك، فإن احتمال فوز الموزع هو 23 × 95 / مجموعة (310،2) = 0.045621. إذن، احتمال فوز اللاعب هو 0.0474895 * (1 - 0.045621) = 0.045323، أو مرة واحدة في 22.06 يد. وبالتالي، فإن طريقتك في لعب 22.06 يد بقيمة 16.50 دولار لكل يد من شأنها أن تؤدي إلى خسارة متوقعة قدرها 22.06 × 16.50 دولار × 0.0064 = 2.33 دولار.

بعد ذلك، لنحسب الخسارة المتوقعة إذا راهنتَ بمبلغ 25 دولارًا، وانتظرتَ حتى أول فوز لاستخدام القسيمة. احتمال الفوز هو 42.42%، كما هو موضح في ملحق البلاك جاك رقم 4. هذه ليست الإحصائية الصحيحة تمامًا في هذه الحالة، نظرًا لصعوبة تقسيم الرهان، ولكنها قريبة بما يكفي. لذا، فإن عدد الأيدي المتوقع لعبها للحصول على يد رابحة هو 1/0.4242 = 2.36. الخسارة المتوقعة للمراهنة على 2.36 يد، قيمة كل يد 25 دولارًا، هي 2.36 × 25 × 0.0064 = 0.38 دولار، وهي تكلفة أقل بنسبة 84% من انتظار البلاك جاك.

من صفحتي الخاصة بالباكارات ، نرى أن الاحتمالات في اللعبة المعتادة المكونة من 8 أوراق هي:

مصرفي: 45.86%
اللاعب: 44.62%
التعادل: 9.52%

إذا تجاهلنا التعادلات، فإن الاحتمالات للمصرفي واللاعب هي:

المصرفي: 45.68%/(45.68%+44.62%) = 50.68%.
اللاعب: 44.62%/(45.68%+44.62%) = 49.32%.

كان إجمالي عدد الأيدي في الجلسة الأولى ٢٨٢ + ٢١٤ = ٤٩٦. في الجلسة الأولى، كان العدد المتوقع لفوز اللاعبين ٤٩.٣٢٪ × ٤٩٦ = ٢٤٤.٦٢. المجموع الفعلي البالغ ٢٨٢ يفوق التوقعات بمقدار ٢٨٢ - ٢٤٤.٦٢ = ٣٧.٣٨.

تباين سلسلة من أحداث الفوز/الخسارة هو n × p × q، حيث n هو العدد الذي يمثل حجم العينة، وp هو احتمال الفوز، وq هو احتمال الخسارة. في هذه الحالة، يكون التباين 496 × 0.5068 × 0.4932 = 123.98. الانحراف المعياري هو الجذر التربيعي لهذا التباين، وهو 11.13. وبالتالي، تجاوز إجمالي انتصارات اللاعبين التوقعات بمقدار 37.38/11.13 = 3.36 انحراف معياري. احتمالية النتائج غير المتوازنة، أو أكثر، هي 0.000393، أو 1 من 2544.

باستخدام طريقة الرياضيات للعينة الثانية، يكون الاحتمال 0.042234. وإذا جمعنا العيّنتين في عينة واحدة، يكون الاحتمال 0.000932. لا تكفي نسبة 0.1% تقريبًا لتكون "متحيزًا بشكل قاطع للاعب". إذا كنت لا تزال تعتقد أن اللعبة غير عادلة، أنصحك بجمع المزيد من البيانات لعينة أكبر.

طالما أنها تراهن بمعدل ثابت، فبالتأكيد، خذ الرهان. إما أنها تستخدم نوعًا من التقدم غير المجدي، أو أن هذه مبالغة غير مباشرة. هذا دفعني للتفكير في العدد الأمثل للأيدي لجانب صديقك. بافتراض 9/6 جاك أو أفضل، والاستراتيجية المثلى، فإن احتمالية الفوز تكون عند 136 يدًا، بنسبة احتمال 39.2782%.