WOO logo

يوصي المعالج

اسأل الساحر #207

لقد دعاني فندق Wynn إلى بطولة ماكينات القمار ذات هيكل الجائزة التالي.

المركز الأول: 1,000,000 دولار
المركز الثاني: 150,000 دولار
المركز الثالث إلى السادس: 25000 دولار
المركز السابع والثامن: 20000 دولار
المركز التاسع إلى المركز الخمسين: 5000 دولار

تبلغ تكلفة المشاركة ٢٥,٠٠٠ دولار أمريكي، والبطولة محدودة بخمسين لاعبًا. من الواضح أن الفوز المتوقع هو ٣٠,٠٠٠ دولار أمريكي. ومع ذلك، يبقى هذا احتمالًا ضئيلًا للغاية. ما هو المبلغ المطلوب للمشاركة ليكون رهانًا سليمًا وفقًا لمعيار كيلي ؟

مجهول

تقريب كيلي هو حاصل قسمة الميزة على التباين. النتائج المحتملة هي فوزٌ بـ 39، 5، 0، -0.2، و-0.8 ضعف مبلغ الرهان. الميزة هي (1/50) × 39 + (1/50) × 5 + (4/50) × 0 + (2/50) × -0.2 + (42/50) × -0.8 = 0.2.

التباين هو المتوقع (فوز 2 ) - (المتوقع (فوز)) 2 = (1/50)×39 2 + (1/50)×5 2 + (4/50)×0 2 + (2/50)× -0.2 2 + (42/50)×-0.8 2 − 0.2 2 = 31.4192

إذن، رهان كيلي الأمثل التقريبي هو 0.2/31.492 = 0.0063655 مضروبًا في رأس المال. لدخول كامل بقيمة 25,000 دولار، يجب أن يكون رأس المال المطلوب 25,000/0.0063655 = 3,927,400 دولار.

مع ذلك، بالنسبة للرهانات الكبيرة كهذه، أعتقد أن إيجاد رهان كيلي الأمثل بدقة أمرٌ يستحق الوقت. بعد ذلك، ابحث عن حجم الرهان (ب)، الذي يُعظم قيمة لوغاريتم الرصيد المتوقع بعد البطولة، كما يلي.

سجل رأس المال بعد البطولة = (1/50) * log(1+39×b) + (1/50) * log(1+5×b) + (4/50) * log(1) + (2/50) * log(1-0.2×b) + (42/50) * log(1-0.8×b)

لا توجد طريقة سهلة لحل المسألة b. أنصح شخصيًا باستخدام ميزة "البحث عن الهدف" في برنامج Excel. ستكون الإجابة 0.0083418. لذا، يجب أن يكون رهان كيلي الدقيق مساويًا لـ 0.0083418 من رصيدك. لتبرير رسوم الدخول البالغة 25,000 دولار، يجب أن يكون رصيدك 25,000 دولار / 0.0083418 = 2,996,937 دولارًا.

أعشق موقعك. أستمتع بالاستراتيجيات ومناقشات الاحتمالات بقدر ما أستمتع بالمقامرة نفسها، إن لم يكن أكثر! كنت ألعب بلاك جاك بستة رزم في كازينو في سانت لويس مؤخرًا. بعد لعب إحدى مجموعات الأوراق، أُعيدت الأوراق إلى جهاز الخلط الآلي، مما أشار إلى وجود ورقة مفقودة. قام الموزع بتوزيع المجموعة التالية بينما كان موظف الصالة يتفقد مجموعة الأوراق المُعادة. بعد الانتهاء من هذه المجموعة، وُجدت الورقة المفقودة من المجموعة السابقة (ملك) في الجزء غير الموزع من المجموعة الثانية.

بافتراض أن الملك كان الورقة الأخيرة في المجموعة، وأنه بقي في جهاز الخلط، لكان من المفترض أن يكون في اللعبة في المجموعة الأولى (كان القطع في الجزء الخلفي من المجموعة). ما مقدار الميزة الإضافية التي اكتسبها الكازينو عليّ بهذا الخطأ؟

Justin من St. Louis, MO

شكرًا على كلماتك الطيبة. سأفترض أن الموزع يحصل على ورقة ١٧ ناعمة، ويضاعف بعد السماح بالتقسيم. وفقًا للجدول D17 في لعبة بلاك جاك أتاك لدون شليزنجر، فإن إزالة ورقة عشرة واحدة من كل مجموعة أوراق يزيد من ربح الكازينو بنسبة ٠٫٥٥١٢٪. بقسمة هذه النسبة على ستة، في لعبة بستة مجموعات أوراق، تكون النتيجة زيادة في ربح الكازينو بنسبة ٠٫٠٩٪.
أودُّ نصيحتك بشأن قسيمة بلاك جاك. حسب فهمي للقواعد، تُضاعِف القسيمة أيَّ ربح، حتى ٢٥ دولارًا، ويمكن تقديمها في أيِّ وقت. إذا راهنتُ بمبلغ ١٦.٥٠ دولارًا، وانتظرتُ بلاك جاك لاستخدامها، فستُضاعِف القسيمة ربح البلاك جاك البالغ ٢٤.٧٥ دولارًا. أم يُفضَّلُ عليَّ المراهنة بمبلغ ٢٥ دولارًا واستخدامها في أول فوز؟ ما هي الخسارة المتوقعة في كلا الحالتين؟ يُرجى افتراض أن هامش الكازينو ٠.٦٤٪.

Jim من Dallas, Texas

لنحسب أولًا الخسارة المتوقعة إذا راهنتَ بمبلغ 16.50 دولارًا، وانتظرتَ حتى تحصل على بلاك جاك رابح لاستخدام القسيمة. احتمال فوز لاعب بلاك جاك هو عدد الآسات × عدد العشرات / مجموعات طرق اختيار ورقتين من أصل 312 ورقة في المجموعة. هذا يساوي 24 × 96 / مجموعة (312،2) = 0.0474895. إذا حصل كلاكما على بلاك جاك، فلن يفيدكما القسيمة. بافتراض أن اللاعب لديه بلاك جاك، فإن احتمال فوز الموزع هو 23 × 95 / مجموعة (310،2) = 0.045621. إذن، احتمال فوز اللاعب هو 0.0474895 * (1 - 0.045621) = 0.045323، أو مرة واحدة في 22.06 يد. وبالتالي، فإن طريقتك في لعب 22.06 يد بقيمة 16.50 دولار لكل يد من شأنها أن تؤدي إلى خسارة متوقعة قدرها 22.06 × 16.50 دولار × 0.0064 = 2.33 دولار.

بعد ذلك، لنحسب الخسارة المتوقعة إذا راهنتَ بمبلغ 25 دولارًا، وانتظرتَ حتى أول فوز لاستخدام القسيمة. احتمال الفوز هو 42.42%، كما هو موضح في ملحق البلاك جاك رقم 4. هذه ليست الإحصائية الصحيحة تمامًا في هذه الحالة، نظرًا لصعوبة تقسيم الرهان، ولكنها قريبة بما يكفي. لذا، فإن عدد الأيدي المتوقع لعبها للحصول على يد رابحة هو 1/0.4242 = 2.36. الخسارة المتوقعة للمراهنة على 2.36 يد، قيمة كل يد 25 دولارًا، هي 2.36 × 25 × 0.0064 = 0.38 دولار، وهي تكلفة أقل بنسبة 84% من انتظار البلاك جاك.

في زيارتين حديثتين لطاولات الباكارات، كانت النتائج متحيزة بشكل واضح للاعبين. أرجو إخباري إن كانت هذه النتائج ستُحتسب ضمن انحرافين معياريين عن النتائج المتوقعة لكل من البنك واللاعب. لقد استبعدتُ تعادل الأيدي.

الجلسة الأولى
فوز اللاعب: 282
فوز المصرفي: 214

الجلسة الثانية
فوز اللاعب: 879
فوز المصرفي: 831

Arthur من Wayne, New Jersey

من صفحتي الخاصة بالباكارات ، نرى أن الاحتمالات في اللعبة المعتادة المكونة من 8 أوراق هي:

مصرفي: 45.86%
اللاعب: 44.62%
التعادل: 9.52%

إذا تجاهلنا التعادلات، فإن الاحتمالات للمصرفي واللاعب هي:

المصرفي: 45.68%/(45.68%+44.62%) = 50.68%.
اللاعب: 44.62%/(45.68%+44.62%) = 49.32%.

كان إجمالي عدد الأيدي في الجلسة الأولى ٢٨٢ + ٢١٤ = ٤٩٦. في الجلسة الأولى، كان العدد المتوقع لفوز اللاعبين ٤٩.٣٢٪ × ٤٩٦ = ٢٤٤.٦٢. المجموع الفعلي البالغ ٢٨٢ يفوق التوقعات بمقدار ٢٨٢ - ٢٤٤.٦٢ = ٣٧.٣٨.

تباين سلسلة من أحداث الفوز/الخسارة هو n × p × q، حيث n هو العدد الذي يمثل حجم العينة، وp هو احتمال الفوز، وq هو احتمال الخسارة. في هذه الحالة، يكون التباين 496 × 0.5068 × 0.4932 = 123.98. الانحراف المعياري هو الجذر التربيعي لهذا التباين، وهو 11.13. وبالتالي، تجاوز إجمالي انتصارات اللاعبين التوقعات بمقدار 37.38/11.13 = 3.36 انحراف معياري. احتمالية النتائج غير المتوازنة، أو أكثر، هي 0.000393، أو 1 من 2544.

باستخدام طريقة الرياضيات للعينة الثانية، يكون الاحتمال 0.042234. وإذا جمعنا العيّنتين في عينة واحدة، يكون الاحتمال 0.000932. لا تكفي نسبة 0.1% تقريبًا لتكون "متحيزًا بشكل قاطع للاعب". إذا كنت لا تزال تعتقد أن اللعبة غير عادلة، أنصحك بجمع المزيد من البيانات لعينة أكبر.

يُقسم زميلٌ له في العمل أن والدته تُحقق سلسلة انتصاراتٍ في لعبة فيديو بوكر منذ ٢٥ عامًا. تُسافر أربع مراتٍ سنويًا إلى لاس فيغاس، وتفوز دائمًا بألف دولارٍ على الأقلّ مع رسوم دخولٍ قدرها ٤٠٠ دولار. يقول إنها عادةً ما تربح ١٠,٠٠٠ دولار. إنه منزعجٌ من عدم ثقتي بحظّها. يُريد أن يُراهنني على أن والدته ستفوز بعد جلسةٍ مدتها أربع ساعات. هل أقبل هذا الرهان المُتساوي؟

مجهول

طالما أنها تراهن بمعدل ثابت، فبالتأكيد، خذ الرهان. إما أنها تستخدم نوعًا من التقدم غير المجدي، أو أن هذه مبالغة غير مباشرة. هذا دفعني للتفكير في العدد الأمثل للأيدي لجانب صديقك. بافتراض 9/6 جاك أو أفضل، والاستراتيجية المثلى، فإن احتمالية الفوز تكون عند 136 يدًا، بنسبة احتمال 39.2782%.