اسأل الساحر #237

سمعتُ أن الأرقام نفسها اختيرت في يانصيب 6/49 الألماني في أيام مختلفة. يبدو الأمر مُريبًا. ما هي احتمالات الفوز؟

Lotte من Hamburg

هذا صحيح، ولكنه ليس مُريبًا كما تظن. وفقًا لكتاب "فهم الاحتمالات: قواعد الحظ في الحياة اليومية" الصادر عن إتش سي تيمز، سُحبت نفس مجموعة الأرقام في 21 يونيو 1995 و20 ديسمبر 1986، في سحوبات تُجرى كل أسبوعين. وكان سحب 20 ديسمبر 1986 هو السحب رقم 3016. عدد المجموعات في يانصيب 6/49 هو combin(49,6) = 13,983,816. احتمال عدم تطابق أرقام السحب الثاني مع أرقام السحب الأول هو (c-1)/c، حيث c هو عدد المجموعات، أو 13,983,816. احتمال أن يُنتج السحب الثالث مجموعة فريدة من الأرقام هو (c-2)/c. إذن، احتمال أن يُنتج كل سحب من الثاني إلى الثالث، ٠١٦، أرقامًا فريدة هو (ج-١)/ج × (ج-٢)/ج × ... (ج-٣٠١٥)/ج = ٠٫٧٢٢٤١٣. وبالتالي، فإن احتمال ظهور مجموعة واحدة على الأقل من الأرقام المشتركة هو ١- ٠٫٧٢٢٤١٣ = ٠٫٢٧٧٥٨٧، أي ٢٧٫٨٪. يوضح الجدول التالي احتمال ظهور زوج واحد على الأقل من الأرقام المتطابقة على مدار عدد السنوات، بافتراض سحبتين أسبوعيًا.

احتمالية مطابقة الأرقام في يانصيب 6/49

سنين	احتمال
5	0.009640
10	0.038115
15	0.083800
20	0.144158
25	0.215822
30	0.295459
35	0.379225
40	0.463590
45	0.545437
50	0.622090
55	0.691985
60	0.753800
65	0.807008
70	0.851638
75	0.888086
80	0.917254
85	0.940000
90	0.957334
95	0.970225
100	0.971954

في حال كنت تتساءل، فإن عدد السحوبات لاحتمالية أن يتجاوز السحب المطابق 50% أولاً هو 4404.

لديّ لغزٌ أحاول حله منذ بضعة أشهر، دون أي تقدم يُذكر. إن سمح الوقت، آمل أن تُساعدوني، فهو يُؤرقني طوال الليل :-). على أي حال، في مسرد مصطلحات "ما وراء العد - الملحق CAA" ، وردت ثلاث تسلسلات من الأرقام والحروف كمدخل في المسرد لـ"الأرقام السحرية". حتى أن أحد هذه الأرقام يظهر على غلاف الكتاب، لذا أفترض أنها ذات أهمية. هل لديكم أي أفكار؟

مجهول

نادرًا ما أقول هذا، لكن ليس لديّ أدنى فكرة. كما ذكرتَ في رسالة إلكترونية أخرى، فإنهم يستخدمون صيغة الرقم التسلسلي للعملة الأمريكية، حرفين، بينهما رقم من عشرة أرقام. احترامًا لحقوق النشر، لن أذكر الأرقام هنا.

لنفترض أنك تلعب لعبة bonus deuces wild (أو أي لعبة أخرى حيث تكون الإستراتيجية الصحيحة هي الاحتفاظ بزوج واحد فقط من الزوجين الموزعين والسحب)، عند لعب هذه اللعبة على Spin Poker مع 9 أنماط، للأزواج ذات القيمة المتساوية، هل يحدث موضع كل زوج أي فرق من حيث الزوج الذي يجب الاحتفاظ به وإذا كان الأمر كذلك، ما هي أفضل وأسوأ المواضع التي يجب الاحتفاظ بها؟

Joe من Denver

لمصلحة القراء الآخرين، في بعض الأحيان في ألعاب deuces wild، تميل الاحتمالات إلى الاحتفاظ بزوج واحد على زوجين. وهذا صحيح في لعبة deuces wild ذات الدفع الكامل (100.76%) وأي نسخة شائعة من لعبة deuces bonus حيث يدفع الفول هاوس 3. سيكون الحساب الدقيق لهذا الأمر مملاً للغاية ويستغرق وقتًا طويلاً. ومع ذلك، من السهل ملاحظة أنه على البكرات 1 و2 و4 و5، تمر خطوط الدفع التسعة عبر كل موضع ثلاث مرات. ومع ذلك، على البكرة 3، يتم عبور الموضعين العلوي والسفلي مرتين فقط لكل منهما والموضع الأوسط 5 مرات. سيقلل الاحتفاظ بزوج يتضمن العمود الأوسط من تقلباتك. في 20% من الحالات التي يكون فيها العمود الأوسط هو المفرد، سأحتفظ بزوج إذا كان يتكون من العمودين 1 و5، أو 2 و4، إذا أمكنك ذلك. إذا لم يكن ذلك ممكنًا، فاحتفظ بزوج في العمودين 1 و2، أو 4 و5، إذا أمكنك ذلك. بخلاف ذلك، لا يوجد أي فرق في أي زوج تحمله.

أنا واحد من ستة مشاركين في مسابقة تقييم الرهانات في دوري كرة القدم الأمريكية (NFL). على كلٍّ منا اختيار 70 مباراة خلال الموسم بناءً على رهان أحد مواقع المراهنات الرياضية الإلكترونية الكبرى، والذي يُحدد رهانه بـ 20 سنتًا. قدّم أحد المشاركين الآخرين رهانًا على أعلى نتيجة في نهاية الموسم، وكان رهانه ربحًا قدره 8.5 وحدة. لنفترض أن الموسم لم يبدأ بعد، وأن المشاركين من خبراء المراهنات الرياضية. ما رأيك في هذا الرهان، وكيف تُحلله؟

Rob من Las Vegas, NV

السؤال الكبير الذي يجب أن تسأله لنفسك مع دعامة مثل هذه هو ما هو احتمال أن ينتهي اختيار معين بالفوز أو الخسارة أو التعادل. من قسمي حول المراهنة على دوري كرة القدم الأمريكية ، يمكننا أن نرى أن 2.8٪ من المباريات تقع على المحك. دعنا نقول فقط 3٪، لتبسيط الأمر. دعنا نسمي p احتمال الفوز، بشرط أن يكون الرهان قد تم حله. بالنسبة لمختار عشوائي بحت، سيكون p بالطبع 50٪. من السهل تحسين ذلك من خلال اختيار الأضعف فقط. كما توضح صفحتي المذكورة سابقًا، فإن المراهنة الثابتة على الأضعف على مدار 25 موسمًا كانت ستؤدي إلى معدل فوز بنسبة 51.5٪. من السهل أيضًا تحسين ذلك قليلاً من خلال اختيار الخطوط الأكثر ليونة ضد السوق بشكل عام. بين هذين، أعتقد أنه ليس من الصعب الوصول إلى 52٪. لذلك سأعتمد على الإيمان بأن هؤلاء الرجال يمكنهم على الأقل الوصول إلى 52٪.

لذا، بافتراض فوز 52% من الرهانات المحلولة، فإن الاحتمالات الإجمالية هي:

الفوز: 50.44%
التعادل: 3.00%
الخسارة: 46.56%

باستخدام الإحصاءات الأساسية، يتضح بسهولة أن معدل الفوز المتوقع لكل اختيار، عند -110، هو -0.0078. والانحراف المعياري لكل اختيار هو 1.0333. أما معدل الفوز المتوقع على 70 اختيارًا، فهو -0.5432، والانحراف المعياري هو ^70.5 × 1.0333 = 8.6452. فوز بمقدار 8.5 وحدة أعلى من التوقعات بمقدار 9.0432 وحدة، أو 9.0432/8.6452 = 1.0460 انحراف معياري على يمين التوقعات على منحنى غاوس. أعتقد أنه يمكننا تجاهل التعديل المتعلق بالتوزيع المنفصل نظرًا لتأثيرات الدفع، ولأن بعض المباريات لا تكون -110/-110، سيؤدي ذلك إلى منحنى سلس نسبيًا بمعامل 0.05 وحدة.

إذن، احتمال أن يُنهي أي لاعب المباراة بفارق يزيد عن 1.046 انحراف معياري فوق التوقعات هو 14.77%. يمكن إيجاد هذا الرقم في أي جدول لمنحنى غاوس، أو باستخدام الصيغة =1-normsdist(1.046) في برنامج إكسل. احتمال أن يُنهي جميع اللاعبين الستة المباراة بفارق أقل من 1.046 هو (1-0.1477) ⁶ = 38.31%. وبالتالي، فإن احتمال أن يُنهي لاعب واحد على الأقل المباراة بفارق يزيد عن 1.046 انحراف معياري هو 61.69%. هذا يجعل الرهان على "أكثر من" يبدو رهانًا قويًا عند -110. وأُظهر أنه رهان عادل عند -161.

يوضح الجدول التالي احتمالية فوز الشخص الذي يزيد عن 8.5 عند قيم مختلفة لـ p. ربما كان الشخص الذي وضع الرهان يفترض قيمة أقرب إلى 51% لـ p.

دعامة تقييم الإعاقة في دوري كرة القدم الأمريكية

ربما الاختيار الصحيح	احتمالية فوز أكثر من اللازم
50.0%	41.16%
50.5%	46.18%
51.0%	51.33%
51.5%	56.53%
52.0%	61.69%
52.5%	66.72%
53.0%	71.52%