اسأل الساحر #251

من تقرير إيرادات مجلس مراقبة الألعاب في نيفادا لعام 2009، نرى أن ربح لعبة "21" بلغ بالفعل 1,008,525,000 دولار أمريكي. وهذا يشمل على الأرجح أنواع البلاك جاك. ووفقًا لعمودي "اسأل الساحر" الصادر في 20 فبراير 2010 ، تبلغ تكلفة الأخطاء في البلاك جاك حوالي 0.83%، وفقًا لمستشار الألعاب بيل زيندر.

الجزء المفقود هو: ما هي نسبة ربح الكازينو بدون الأخطاء؟ أعترف أن هذا مُبهم بعض الشيء، لكن متوسط نسبة ربح الكازينو في نشرة البلاك جاك الحالية لشهر أبريل 2010 هو 0.78%. لذا، فإن إجمالي ربح الكازينو في البلاك جاك، شاملاً الأخطاء، هو 0.78% + 0.83% = 1.61%. نسبة هذه النسبة الناتجة عن الأخطاء هي 0.83% / 1.61% = 51.55%. لذا، يمكن تقدير ربح عام 2009 من أخطاء البلاك جاك في نيفادا تقريبًا بـ 1,008,525,000 × 0.5155 = 519 مليون دولار.

تم طرح هذا السؤال ومناقشته في منتدى موقعي المرافق Wizard of Vegas .

يوضح الجدول التالي احتمالية كل نوع من أنواع البطاقات الملكية، وفقًا لعدد البطاقات، بشرط وجود بطاقة ملكية. ويُظهر أن 3.4% من البطاقات الملكية ناتجة عن بطاقة واحدة. واحتمالية وجود بطاقة ملكية في البداية هي 1 من 40,391، وبالتالي فإن الاحتمال غير المشروط لوجود بطاقة ملكية واحدة هو 1 من 1,186,106.

الصيغة هي V = P × [(1-(1+i) ^-n )]/(i/(1+i))، حيث:

V = قيمة المعاش التقاعدي
P = مبلغ الدفع الفردي
i = سعر الفائدة
ن = عدد المدفوعات

لنفترض أن الجائزة الكبرى كانت 15 مليون دولار. باستخدام i = 4.66% وn = 25، فإن المبلغ العادل لمواكبة التضخم سيكون 982,525 دولارًا. ستحصل فعليًا على 15 مليونًا ÷ 25 = 600,000 دولار. المبلغ الفعلي / المبلغ العادل = 61.07%.

ليس أنك سألت، ولكن الصيغة إذا تم إجراء المدفوعات في نهاية كل عام هي V = P × [(1-(1+i) ^-n )]/i.

تم طرح هذا السؤال ومناقشته في منتدى موقعي المرافق Wizard of Vegas .

هذه مسألة جيدة من نوع فاصل الثقة. في ١٠٠ عملية بيع، من المتوقع أن يكون سعر السلاحف المباعة ١٤.٢٩. الانحراف المعياري هو الجذر التربيعي (١٠٠ × (١/٧) × (٦/٧)) = ٣.٥٠.

ليكن t هو عدد السلاحف المصنعة، و x هو عدد السلاحف المباعة.

pr(x<=t)=0.9
pr(x-14.29<=t-14.29)=0.9
العلاقات العامة((x-14.29)/3.5)<=(t-14.29)/3.5))=0.9

يتبع الجانب الأيسر من المتباينة توزيعًا طبيعيًا معياريًا (متوسط صفر، انحراف معياري واحد). تتطلب هذه الخطوة التالية دراسةً تمهيديةً للإحصاء، أو بعض الإيمان، لقبولها.

(t-14.29)/3.5 = normsinv(0.9) هذه هي دالة Excel.
(ت-14.29)/3.5 = 1.282
t-14.29 = 4.4870
ت = 18.77

من غير المرجح أن يشتري أحد 0.77 من تمثال سلحفاة، لذا أُقرّب إلى 19. وفقًا للتوزيع الثنائي، فإن احتمال بيع 18 أو أقل هو 88.35%، و19 أو أقل هو 92.74%. طُرح هذا السؤال ونوقش في منتدى موقعي المرافق "ساحر فيغاس" .

تُحلُّ المسألة الحسابية بسهولة أكبر إذا راهن على اللاعب. أحلُّ مسألةً مشابهةً في لعبة الروليت على موقعي mathproblems.info، المسألة رقم ١١٦. للرهانات ذات القيمة المتساوية، الصيغة العامة هي ((q/p) ^b -1)/((q/p) ^g -1)، حيث:

ب = رأس المال الأولي بالوحدات.
g = هدف رأس المال بالوحدات.
p = احتمال الفوز بأي رهان معين، دون احتساب التعادلات.
س = احتمال خسارة أي رهان معين، دون احتساب التعادلات.

هنا، يبدأ اللاعب بـ ١٢ مليون دولار، أو ٦٠ وحدة من ٢٠٠ ألف دولار، ويستمر في اللعب حتى يصل إلى ١٢٠ وحدة أو يُفلس. لذا، في حالة رهان اللاعب، تكون قيم المعادلة كما يلي:

ب = 60
ج = 120
ص = 0.493175
س = 0.506825

إذن الإجابة هي ((0.506825/0.493175) ⁶⁰ -1)/(( 0.506825/0.493175) ¹²⁰ -1) = 16.27%.

الأمر أكثر تعقيدًا في رهان "المصرفي"، نظرًا لعمولة الـ 5%. هذا يعني احتمالًا كبيرًا لتجاوز اللاعب هدفه. إذا أضفنا قاعدةً تنص على أنه إذا كان الرهان الفائز سيُمكّن اللاعب من تحقيق هدفه، فعليه المراهنة فقط بما يلزم للوصول إلى 12 مليون دولار بالضبط، فإن احتمال نجاحه يُقدّر بـ 21.66%.

الصيغة الأبسط لاحتمال مضاعفة رأس المال هي 1/[1+(q/p) ^b].

تم طرح هذا السؤال ومناقشته في منتدى موقعي المرافق Wizard of Vegas .