اسأل الساحر #259

لفائدة القراء الآخرين، في العديد من الكازينوهات الأوروبية، إذا راهنتَ بمبلغ متساوٍ في لعبة الروليت وسقطت الكرة على الصفر، يُصبح الرهان معلقًا. إذا كانت الرمية التالية ستؤدي إلى فوز الرهان، فيُعاد دون أي أرباح. إذا سقطت الكرة في الاتجاه المعاكس، يُخسر الرهان.

ماذا يحدث للرهانات ذات القيمة الواحدة إذا استقرت الكرة على الصفر؟ إذا كان الكازينو يسمح بالقيمة الواحدة فقط، فسيخسر. ومع ذلك، تسمح بعض الكازينوهات بالقيمة المزدوجة، وهذا ما يحدث. إذا فاز رهان القيمة المزدوجة، فإنه يعود إلى القيمة الفردية. إذا كان الكازينو يسمح بالقيمة المزدوجة فقط، فإن رهان القيمة المزدوجة سيخسر عند صفر آخر. وبنفس المنطق، إذا كان الكازينو يسمح بالقيمة الثلاثية، فإن رهان القيمة المزدوجة سيصبح رهان القيمة الثلاثية عند صفر آخر.

نسبة هامش الكازينو في حالة الحبس الثلاثي هي ١٫٣٧٠١٢٠٪. قبل أن أشرح كيف توصلت إلى ذلك، لنبدأ بحساب الحبس الفردي والمزدوج. لنفترض أن الرهان الأول على اللون الأحمر.

ليكن Z = احتمال الصفر = 1/37.
ليكن R = احتمال ظهور رقم أحمر = 18/37.

السجن الفردي

pr(الدفع) = ZR = 0.0131482834.
pr(win) = R = 0.4864864865.
العلاقات العامة(الخسارة) = 1-العلاقات العامة(الدفع)-العلاقات العامة(الفوز) = 0.5003652301.
القيمة المتوقعة = pr(win)-pr(loss) = -0.0138787436.

السجن المزدوج

سيدفع اللاعب إذا كانت الدورة الأولى صفرًا، ثم يمكنه تكرار ZR من صفر إلى عدد لا نهائي من المرات، ثم يحصل على أحمر. بعبارة أخرى، طرق الدفع هي:

ZR، Z(ZR)R، Z(ZR)(ZR)R، Z(ZR)(ZR)(ZR)R، ...

pr(الدفع) = 0.013323464
pr(win) = 18/37 = 0.4864864865.
العلاقات العامة(الخسارة) = 1-العلاقات العامة(الدفع)-العلاقات العامة(الفوز) = 0.5001900494.
القيمة المتوقعة = pr(win)-pr(loss) = -0.0137035629.

السجن الثلاثي

أولاً، لنحسب الاحتمال p ₁ بأن يصبح رهانٌ واحدٌ مسجونٌ ثلاثة أضعافٍ مع صفرين إضافيين، ثم يرتفع في النهاية ليصبح مسجونًا مرةً أخرى. يمكن أن يحدث هذا كما يلي:

ZZRR، ZZ(RZ)RR، ZZ(RZ)(RZ)RR، ZZ(RZ)(RZ)(RZ)RR، ...

بمعنى آخر، يمكن أن يتأرجح الرهان بين السجن الثلاثي والمضاعف حتى عدد لا نهائي من المرات.

ثانيًا، دع p ₂ = احتمال أن يصل رهان سجن واحد إلى المستوى الأول أو الثاني من السجن ثم يعود إلى السجن الفردي.

دع p ₂ = ZR + p ₁ = 0.013323464.

يمكن للاعب تكرار العودة إلى المستوى الأول من الصفر لعدد لا نهائي من المرات. لذا، فإن احتمالية الدفع هي:

ZR + Z p ₂ R + Z p ₂ p ₂ R + Z p ₂ p ₂ p ₂ R + ... =

Z × (1/(1- p ₂ )) × R = 0.013325830.

pr(الدفع) = 0.013325830.
pr(win) = 18/37 = 0.4864864865.
العلاقات العامة(الخسارة) = 1-العلاقات العامة(الدفع)-العلاقات العامة(الفوز) = 0.5001876839.
القيمة المتوقعة = pr(win)-pr(loss) = -0.0137011974.

السجن اللانهائي

ليس أنك سألت يا ماف، ولكن في إسبانيا سمعت أنهم يسمحون بالسجن اللانهائي. لنفترض أن p = احتمال الدفع. هذا أيضًا هو احتمال البدء من مستوى السجن x، ثم الانخفاض في المستويات، ثم العودة إلى x في النهاية.

ع = ZR + ZpR + ZppR + ZpppR + ...

ص ² - ص + ZR = 0

بالصيغة التربيعية p = (1-(1-4*RZ) ^1/2 )/2 = 0.0133258620.

pr(الدفع) = 0.0133258620.
pr(win) = 18/37 = 0.4864864865.
العلاقات العامة(الخسارة) = 1-العلاقات العامة(الدفع)-العلاقات العامة(الفوز) = 0.5001876515.
القيمة المتوقعة = pr(win)-pr(loss) = -0.0137011650.

أصفار تجاهلت السجن

أخيرًا، في بعض الكازينوهات، يتم تجاهل الأصفار بعد الصفر الأول، مما يُبقي الرهان معلقًا. هناك، يكون احتمال التعادل ببساطة (1/37) × (1/2) = 0.0135135135.

يوضح الجدول التالي ملخصًا لجميع أنواع القواعد الأربعة.

احتمالات السجن

السجن	يفوز	يدفع	خسارة	مُتوقع قيمة
أعزب	0.48648649	0.01314828	0.50036523	-0.01387874
مزدوج	0.48648649	0.01332346	0.50019005	-0.01370356
ثلاثي	0.48648649	0.01332583	0.50018768	-0.01370120
لانهائي	0.48648649	0.01332586	0.50018765	-0.01370117
تم تجاهل الأصفار	0.48648649	0.01351351	0.50000000	-0.01351351

أود أن أشكر ChesterDog وweaselman على مساعدتهما الرياضية. كما أود أن أتقدم بالشكر والتقدير للأستاذ ج. أرتيكو وpolarprof.it على صيغة الجمع المذكورة أعلاه.

تم طرح هذا السؤال ومناقشته في منتدى موقعي المرافق Wizard of Vegas .

٧,٢٨١.٨ عملة. من الجدير بالذكر أنه إذا لعبت مرة واحدة فقط عند هذا العداد بالضبط، فسيكون العائد ٩٨.٥٪ فقط. والسبب الذي يدفعك للعب في هذه المرحلة هو افتراض قدرتك على اللعب حتى الفوز بالجائزة الكبرى. هذا يشبه وجود نادٍ لألعاب السلوتس مع استرداد نقدي ٢٪. ٩٨.٥٪ + ٢٪ = ١٠٠.٥٪.

أود أن أضيف أنه إذا بدأتَ اللعب باستراتيجية الفوز بجائزة كبرى قدرها 4000 عملة، وبلغت قيمة الجائزة الكبرى 7,281.8 بالضبط، فستربح 201.18 رهانًا. أما إذا خصصتَ وقتًا لتعلم تغييرات الاستراتيجية للفوز بجائزة كبرى قدرها 7,281.8، فسيكون ربحك المتوقع 234.31 عملة.

في سياق متصل، انتهيتُ للتو من قراءة كتاب "العالم السري لألعاب الفيديو بوكر التقدمية" لفرانك نيلاند. يحتوي هذا الكتاب على العديد من الصيغ لمواقف تقدمية أكثر تعقيدًا، بالإضافة إلى نصائح عملية وقصص مستوحاة من سنوات إدارته لفريق من صائدي الألعاب التقدمية. أنصح به للاعبي الفيديو بوكر التقدميين المميزين.

تناول ستانفورد وونغ أوراق الجوكر في لعبة البلاك جاك في كتابه "البلاك جاك الأساسي" . ويذكر أن قيمة كل جوكر في كل مجموعة أوراق هي 4.2% للاعب. لذا، فإن نصف جوكر في كل مجموعة أوراق يساوي 2.1%. يتضمن كتابه استراتيجية لتحديد نوع ورقة الجوكر، بناءً على أوراقك الأخرى وبطاقة الموزع المكشوفة.

تم طرح هذا السؤال ومناقشته في منتدى موقعي المرافق Wizard of Vegas .

وفقًا لنشرة البلاك جاك الحالية لشهر سبتمبر 2010، كان هناك 2099 طاولة بلاك جاك في لاس فيغاس. يوضح الجدول التالي عدد أكبر أربعة أنواع مختلفة.

أنواع لعبة البلاك جاك في لاس فيغاس

لعبة	الجداول	النسبة المئوية
من 6 إلى 5	467	22.2%
بلاك جاك سويتش	42	2.0%
سوبر فن 21	41	2.0%
الإسبانية 21	6	0.3%
المجموع	556	26.5%

تم طرح هذا السؤال ومناقشته في منتدى موقعي المرافق Wizard of Vegas .