اسأل الساحر #262

لمن لا يعرف قواعد اللعبة، تجدها مشروحة على موقع "برايس إز رايت" . تفضل بزيارة الموقع إذا لم تكن تعرف اللعبة، لأنني أفترض أنك تعرف القواعد. هناك أيضًا العديد من مقاطع فيديو اللعبة على يوتيوب. إليك مقطع فيديو قديم يُظهر فرصة ثانية، لكن الحد الأقصى للجائزة آنذاك كان 10,000 دولار فقط. أما الآن، فقد أصبح 25,000 دولار.

أولاً، لنحسب القيمة المتوقعة لجائزة غير مرتبطة بفرصة ثانية. يوضح الجدول التالي أن متوسط القيمة هو ١٣٧١.٧٤ دولارًا أمريكيًا.

توزيع جوائز "لكمة مجموعة" بدون فرصة ثانية

جائزة	رقم	احتمال	الفوز المتوقع
25000	1	0.021739	543.478261
10000	1	0.021739	217.391304
5000	3	0.065217	326.086957
1000	5	0.108696	108.695652
500	9	0.195652	97.826087
250	9	0.195652	48.913043
100	9	0.195652	19.565217
50	9	0.195652	9.782609
المجموع	46	1.000000	1371.739130

ثانيًا، احسب متوسط الجائزة التي تتضمن فرصة ثانية. يوضح الجدول التالي أن المتوسط هو ٢٢٥ دولارًا.

توزيع جوائز Punch a Bunch مع فرصة ثانية

جائزة	رقم	احتمال	الفوز المتوقع
500	1	0.250000	125.000000
250	1	0.250000	62.500000
100	1	0.250000	25.000000
50	1	0.250000	12.500000
المجموع	4	1.000000	225.000000

ثالثًا، أنشئ جدولًا للقيمة المتوقعة بناءً على عدد الفرص الثانية التي يحصل عليها اللاعب. يمكن حساب ذلك باستخدام عملية حسابية بسيطة. على سبيل المثال، احتمال وجود فرصتين ثانتين هو (4/50) × (3/49) × (46/48). الربح المتوقع مع وجود فرصتين ثانتين هو 1371.74 دولارًا أمريكيًا + s × 225 دولارًا أمريكيًا. يوضح الجدول التالي احتمالية ومتوسط الربح لعدد من الفرص الثانية يتراوح بين 0 و4.

طاولة إرجاع الجوائز

فرص ثانية	احتمال	متوسط الفوز	الفوز المتوقع
4	0.000004	2271.739130	0.009864
3	0.000200	2046.739130	0.408815
2	0.004694	1821.739130	8.551020
1	0.075102	1596.739130	119.918367
0	0.920000	1371.739130	1262.000000
المجموع	1.000000		1390.888067

وبالتالي فإن متوسط الفوز لكل لكمة (بما في ذلك الأموال الإضافية من الفرص الثانية) هو 1390.89 دولارًا.

يوضح الجدول التالي استراتيجيتي للحد الأدنى للفوز، بناءً على عدد اللكمات المتبقية. يُرجى العلم أنه يمكن للاعب الوصول إلى 1400 دولار أمريكي بجوائز 1000 دولار أمريكي + 250 دولارًا أمريكيًا، + 100 دولار أمريكي + 50 دولارًا أمريكيًا، من خلال ثلاث فرص ثانية.

استراتيجية الضربة القاضية

اللكمات المتبقية	الحد الأدنى للوقوف
3	5000 دولار
2	5000 دولار
1	1400 دولار

تم طرح هذا السؤال ومناقشته في منتدى موقعي المرافق Wizard of Vegas .

إذا تم تحديد نقطة، فإن احتمال إصابة الرامي للنقطة هو pr(النقطة هي 4 أو 10) × pr(إحداث 4 أو 10) + pr(النقطة هي 5 أو 9) × pr(إحداث 5 أو 9) + pr(النقطة هي 6 أو 8) × pr(إحداث 6 أو 8) = (6/24) × (3/9) + (8/24) × (4/10) + (10/24) × (5/11) = 201/495 = 0.406061.

إذا كان احتمال وقوع حدث ما هو p، فإن عدد مرات حدوثه المتوقع قبل الفشل هو p/(1-p). وبالتالي، فإن عدد النقاط المتوقع لكل رامٍ هو 0.406061/(1-0.406061) = 0.683673.

تم طرح هذا السؤال ومناقشته في منتدى موقعي المرافق Wizard of Vegas .

هناك عدة طرق بنفس الجودة تقريبًا. مع ذلك، أجد أن أسهلها فهمًا هي فرز الدمج . إليك كيفية عملها:

1. قسّم القائمة إلى قسمين. استمر في تقسيم كل مجموعة فرعية إلى قسمين، حتى يصبح حجم كل مجموعة فرعية ١ أو ٢.
2. قم بفرز كل مجموعة فرعية من 2 عن طريق وضع العضو الأصغر أولاً.
3. دمج أزواج المجموعات الجزئية معًا. كرّر العملية حتى تحصل على قائمة واحدة مرتبة فقط.

طريقة دمج قائمتين هي مقارنة العنصر الأول في كل قائمة، ووضع العنصر الأصغر في قائمة جديدة. ثم كرر العملية، وضع العنصر الأصغر بعد العنصر الأصغر من المقارنة السابقة. استمر في التكرار حتى يتم دمج المجموعتين في مجموعة واحدة مرتبة. إذا كانت إحدى القائمتين الأصليتين فارغة، يمكنك إضافة القائمة الأخرى إلى نهاية القائمة المدمجة.

يوضح الجدول التالي الحد الأقصى لعدد المقارنات اللازمة وفقًا لعدد العناصر الموجودة في القائمة.

دمج الفرز

عناصر	الحد الأقصى للمقارنات
1	0
2	1
4	5
8	17
16	49
32	129
64	321
128	769
256	1,793
512	4,097
1,024	9,217
2,048	20,481
4,096	45,057
8,192	98,305
16,384	212,993
32,768	458,753
65,536	983,041
131,072	2,097,153
262,144	4,456,449
524,288	9,437,185
1,048,576	19,922,945
2,097,152	41,943,041

تم طرح هذا السؤال ومناقشته في منتدى موقعي المرافق Wizard of Vegas .

أُظهر أنه بعد خسارة 21 نقطة أو أكثر، سيُغطي الفريق فارق النقاط بنسبة 51.66%. مع ذلك، هذا ضمن هامش الخطأ. يُظهر الجدول التالي النتائج مقارنةً بفارق النقاط في المباراة السابقة، وفقًا لفوز أو خسارة الفريق نفسه في المباراة السابقة. النتائج لا تبتعد أبدًا عن 50%، ودائمًا ما تكون ضمن انحراف معياري عنها. باختصار، لا أجد أي ارتباط إحصائي بين نسبة الفوز/الخسارة وفارق النقاط وعدد النقاط التي فاز بها الفريق أو خسرها في المباراة السابقة.

الفوز أو الخسارة أو التعادل مقابل الفارق وفقًا لهامش الفوز أو الهزيمة في المباراة السابقة

نتيجة المباراة السابقة	الفوز ضد الفارق	الخسارة مقابل الفارق	التعادل ضد الفارق	نسبة الفوز	الانحراف المعياري
الفوز بفارق 21 نقطة أو أكثر	233	247	17	48.54%	2.28%
الفوز بنتيجة 14 مقابل 20	235	219	11	51.76%	2.35%
الفوز بنتيجة 10 إلى 13	188	180	8	51.09%	2.61%
الفوز بنتيجة 7 إلى 9	198	181	12	52.24%	2.57%
الفوز بنتيجة 4 إلى 6	164	170	12	49.10%	2.74%
الفوز بفارق 3 نقاط	202	212	14	48.79%	2.46%
خسارة 2 للفوز 2	184	188	14	49.46%	2.59%
خسارة بـ 3	209	207	12	50.24%	2.45%
خسارة 4 إلى 6	174	163	9	51.63%	2.72%
خسارة 7 إلى 9	187	195	9	48.95%	2.56%
خسارة 10 إلى 13	173	189	14	47.79%	2.63%
خسارة 14 إلى 20	220	232	15	48.67%	2.35%
خسارة بمقدار 21 أو أكثر	249	233	15	51.66%	2.28%

الجدول يعتمد على كل مباراة في دوري كرة القدم الأميركي من الأسبوع الأول من موسم 2000 إلى الأسبوع الرابع من موسم 2010.

لننظر إلى مباراة ليلة الإثنين لكرة القدم، التي أُقيمت في 25 أكتوبر/تشرين الأول 2010، كمثال. تُنشر احتمالات المباريات الأوروبية على النحو التالي:

نيويورك جاينتس 2.750
دالاس كاوبويز 1.513

يمثل كلا الرقمين ما ستحصل عليه مقابل وحدة رهان واحدة في حال فوزك، بما في ذلك رهانك الأصلي. عندما تكون الاحتمالات العشرية أكبر من أو تساوي ٢، يكون التحويل سهلاً: اطرح واحدًا، ثم اضربه في ١٠٠. إذا كانت الاحتمالات أقل من ٢، (١) اطرح ١، (٢) احسب العكس، (٣) اضربه في -١٠٠.

بالنسبة لأولئك الذين يفضلون الصيغة، إذا كانت الاحتمالات العشرية تدفع x، فإليك الحساب للاحتمالات الأمريكية المكافئة:

إذا x>=2: 100*(x-1)
إذا x <2: -100/(x-1)

في المثال أعلاه، الخطوط بالتنسيق الأمريكي هي:

نيويورك جاينتس: 100*(2.750-1) = +175
دالاس كاوبويز: -100/(1.513-1) = -195

يمكنك أيضًا تحويل جميع الخطوط تلقائيًا عن طريق تحديد "American Odds" في القائمة المنسدلة في الجزء العلوي الأيسر من موقع Pinnacle على الويب، فوق الشعار.