اسأل الساحر #311

إذا كنت تريد احتواء 355 مليلترًا في علبة، ما هي الأبعاد التي يجب أن تكون عليها لتقليل مساحة السطح؟

مجهول

سؤال جيد! كنتُ أتساءل عن هذا عندما رأيتُ علب صودا رفيعة في معرض ألعاب، بسعة ٣٥٥ مليلترًا، وهو الحجم المعتاد. من المؤكد أن كلا الاسمين غير صحيح (ولا تناديني شيرلي). [حرق للأحداث] دعوني:
r = نصف قطر العلبة
h = ارتفاع العلبة
v = حجم العلبة
س = مساحة سطح العلبة

نعلم من الهندسة البسيطة أن مساحة السطح = 2*pi*r^2 + 2*pi*r*h.

وبنفس الطريقة، نعلم أيضًا أن الحجم هو pi*r^2*h، والذي أعطيناه يساوي 355.

لذا، 355=pi*r^2*h.

دعونا نعيد ترتيب ذلك إلى:

(1) ح = 355/(باي*ر^2)

نحن نعلم:

(2) س = 2*باي*ر^2 + 2*باي*ر*ح.

لنحصل على ذلك لدالة متغير واحد فقط عن طريق استبدال تعبيرنا عن h في المعادلة (1) في (2):

s = 2*pi*r^2 + + 2*pi*r*(355/(pi*r^2))) = 2*pi*r^2 + 710/r.

دعونا نأخذ المشتقة لـ s ونجعلها مساوية للصفر، لحل r الأمثل.

ds/dr = 4*pi*r - 710/(r^2 ) = 0

4*pi*r = 710/(r^2)

ضرب كلا الطرفين بـ r^2:

4*pi*r^3 = 710

r^3 = 177.5/باي.

ص = (177.5/بي) ^ (1/3) = 3.837215248.

أدخل هذه القيمة في المعادلة (1) للحصول على h = 7.674430496.[/spoiler]

تم طرح هذا السؤال ومناقشته في منتدياتي في Wizard of Vegas .

عدتُ للتو من ليلة البوكر في VFW. حصلتُ على 6-6 في الحفرة ثلاث مرات متتالية! لم يحدث هذا من قبل. ما هي احتمالات الحصول على زوج من أوراق الجيب من نفس التصنيف ثلاث مرات متتالية في أمسية واحدة؟ قد تفترض أن الأمسية تتكون من 120 جولة.

AZDuffman

الإجابة والحل تظهر في علامة المفسد التالية.

[كابح]

هناك أربع حالات محتملة يمكنك أن تكون فيها في أي وقت:

الحالة 1: اليد الأولى أو أي يد حيث لم تكن اليد الأخيرة زوجًا من البطاقات.
الحالة الثانية: كانت اليد الأخيرة عبارة عن زوج من البطاقات.
الحالة 3: كانت اليدين الأخيرتين من نفس زوج الجيب.
الحالة 4: تم بالفعل تحقيق ثلاثة أزواج من نفس الجيب على التوالي.

إذا كنتَ في الحالة ١، يمكنكَ الانتقال إلى الحالة ٢ باحتمال ٣/٥١. وإلا، فستبقى في الحالة ١.

إذا كنت في الحالة ٢، يمكنك الانتقال إلى الحالة ٣ باحتمالية (٤/٥٢)×(٣/٥١). وإلا، ستعود إلى الحالة ١.

إذا كنت في الحالة ٣، يمكنك الانتقال إلى الحالة ٤ باحتمالية (٤/٥٢)×(٣/٥١). وإلا، ستعود إلى الحالة ١.

إذا كنت في الولاية 4، عليك البقاء هناك.

وبناءً على ذلك، يمكنك إنشاء مصفوفة الانتقال الخاصة بك، T، على النحو التالي:

0.941176	0.058824	0.000000	0.000000
0.941176	0.054299	0.004525	0.000000
0.941176	0.054299	0.000000	0.004525
0.000000	0.000000	0.000000	1.000000

يبلغ إجمالي عدد الأيدي التي تم لعبها 120 يدًا، لذا ابحث عن T^120.

0.941044	0.058549	0.000265	0.000141
0.941025	0.058548	0.000265	0.000162
0.936786	0.058284	0.000264	0.004666
0.000000	0.000000	0.000000	1.000000

تُظهر لنا الخلية العلوية اليمنى احتمالية أن البدء بالحالة 1 سيقودنا إلى الحالة 4 بعد 120 يد بداية في تسلسل ثلاثي الأيدي، وهو 0.000141471.

خذ معكوس هذا العدد، الاحتمال هو 1 في 7068.605131.

[/spoiler]

تم طرح هذا السؤال ومناقشته في منتدياتي في Wizard of Vegas .

في شرحك لآلة سحب ألسنة لعب الفيديو بوكر ، ذكرتَ المثال التالي: "حتى لو بدت اللعبة كلعبة سحب بخمس بطاقات، فإن نتيجتك مُقدّرة. على سبيل المثال، إذا حصلت على رويال فلش عند التوزيع ثم تخلصت منها، فستحصل على رويال فلش آخر عند السحب." سؤالي هو: ماذا يحدث إذا تخلصت من أوراق تجعل النتيجة المُقدّرة مستحيلة (مثل ورقة 2 في لعبة ديوسيس وايلد مقابل ورقة 4-ديوسيس مُقدّرة، أو ورقة آص في لعبة مكافأة مزدوجة مقابل 4 آص؟) ربما لا تُقدّم هذه الأنواع من الألعاب، ولكن فقط تلك الألعاب، مثل جاكس أو بيتر، حيث لا يُمكن حدوث مثل هذه الحالة؟

مجهول

ما أسمعه يحدث هو أن جنية تأتي وتغير يدك عند السحب إلى ما كان مقدرًا لها. على سبيل المثال، إذا كان مقدرًا لك الحصول على ورقتي ديو عند التوزيع، ثم تحسينها إلى أربعة ديو بعد السحب، فإذا تخلصت من ورقتي ديو، فمن المرجح أن تحصل على الورقتين الأخريين بشكل طبيعي عند السحب، ثم تقوم الجنية بتغيير ورقتي ديو اللتين لم تعدا صالحتين إلى ورقتي ديو اللتين تخلصت منهما.

يبدو لي أن معظم محترفي المقامرة الذين أعرفهم يُفضلون معرفة تقلب اللعبة مُعبرًا عنه بالتباين بدلًا من الانحراف المعياري. بالطبع، الأول هو مجرد مربع الثاني. مع ذلك، أُفضل الانحراف المعياري لأنه بنفس وحدات الرهان والربح/الخسارة. ربما يُفضلون رقمًا أكبر لإبراز تقلب أكبر؟ ما رأيك - هل يُفضل المقامرون استخدام "التباين"، وإذا كان الأمر كذلك، فلماذا؟

Gary J. Koehler

أوافقك الرأي بأنك تسمع تباين اللعبة أكثر من انحرافها المعياري، وهو أمرٌ لطالما وجدته مزعجًا بعض الشيء. أعتقد أن السبب الذي يدفع المقامرين للاهتمام بتقلب اللعبة هو ربط الفوز أو الخسارة باحتمالية جلسة لعب. على سبيل المثال، ما هي نسبة الخسارة الفادحة 1% بعد 200 جولة بلاك جاك؟ للإجابة على ذلك، يمكنك استخدام الانحراف المعياري للبلاك جاك، وهو حوالي 1.15، حسب القواعد.

الإجابة المحددة لهذا السؤال هي 1.15 × 200^0.5 × -2.32635 (وهي نقطة 1% على المنحنى الغاوسي) = -37.83 وحدة أقل من المتوقع. تذكر أنه نظرًا لنسبة ربح الكازينو، يمكنك توقع خسارة. إذا افترضنا أن نسبة ربح الكازينو 0.3%، فبعد 200 يد، يمكنك توقع خسارة 0.003 × 200 = 0.6 يد. لذا، فإن خسارة 1% ستكون 0.6 + 37.83 = 38.43 يد.

حقق كازينو ميلووكي، الذي بدأ كصالة بنغو، رقمًا قياسيًا بـ 290 بنغو في لعبة واحدة هذا الأسبوع. كان النمط هو حرف الـ I، إما لأعلى ولأسفل (3 في الأعلى والأسفل وجميع حروف الـ N) أو جانبيًا (3 حروف الـ B وO في المنتصف). استغرق الأمر 43 نقرة لإعلان أول كرة G، مما أسفر عن فوز جماعي. حصل كل شخص على 25 دولارًا.

إليكم مقالاً عنه: بينغو! سجّل بوتاواتومي رقماً قياسياً في عدد الفائزين في لعبة واحدة.

سؤالي هو ما هي احتمالات إجراء 43 مكالمة دون الاتصال بأي أرقام من حرف معين؟

PlayYourCardsRight

لقد كنت في مواقف مماثلة حيث كان معظم الأشخاص ينتظرون رسالة معينة، ولكن أكبر عدد من الفائزين الذين رأيتهم في وقت واحد كان حوالي 25.

أُبيّن أن احتمالية إجراء 44 مكالمة وتجنب أي حرف (ليس فقط G) هي 1 من 1,517,276. إليك صيغة لهذا الاحتمال: 5*combin(60,44)/combin(75,44) - combin(5,2)*combin(45,44)/combin(75,44)

كيف أقوم بتحويل الاحتمالات في الرهان الرياضي بين الطرق الأمريكية والأوروبية للتعبير عنها؟

Teddys

دعونا نجعل الاحتمالات معبر عنها بالطريقة الأمريكية و e بالطريقة الأوروبية.

للانتقال من الأمريكي إلى الأوروبي:

إذا كانت a>0، فإن e=1+(a/100).
إذا كانت a <0، فإن e = (a-100) / a.

للانتقال من الأوروبية إلى الأمريكية:

إذا e>=2، فإن a=100×(e-1).
إذا كان e < 2، فإن a = 100/(1-e).