WOO logo

يوصي المعالج

اسأل الساحر #321

بما أن الشكل الأكبر عبارة عن مربع، ما هي مساحة x؟

Dyana من Las Vegas

مفتاح حل مثل هذه المسائل يكمن في إعدادها. أنصح بمحاولة تلخيص المسألة إلى أقل عدد ممكن من المجهولات. في هذه الحالة، يمكننا التعبير عن المسافات المجهولة على المربع بثلاثة فقط، كما يلي:

أربعة مثلثات في حل مربع

التعامل مع المستطيلات أسهل من التعامل مع المثلثات. بمعرفة مساحة ثلاثة مثلثات، يمكننا مضاعفة حجمها ومساحاتها. هذا يعطينا:

  • أ ب = 10
  • التيار المتردد=16
  • (ab)(ac)=14

دعونا نحلل (ab)(ac):

أ 2 - أ ب - أ ج + ب ج = 14

أ 2 - 10 - 16 + ب ج = 14

(1) أ 2 + ب ج = 40

دعونا نعبر عن b و c من حيث a، لتقليص هذا إلى متغير واحد:

ب = 10/أ

ج = 16/أ

استبدال تلك القيم لـ b و c في المعادلة (1):

أ 2 + (10/أ)*(16/أ) = 40

أ 2 + 160/أ 2 = 18

الآن، دعونا نتخلص من الرقم 2 في المقام عن طريق ضرب كل شيء في 2 .

أ 4 + 160 = 40*أ 2

أ 4 - 40*أ 2 + 160 = 0

دعونا نحدد متغيرًا جديدًا y = a 2

ص 2 - 18ص + 32 = 0

بعد ذلك، دعنا نحل المعادلة y باستخدام الصيغة التربيعية:

y = (40 +/- الجذر التربيعي (1600-640))/2

y = (40 +/- الجذر التربيعي (960))/2

y = (40 +/- 8*sqrt(15))/2

y = 20 +/- 4*sqrt(15)

مساحة المربع بالكامل هي 2 ، وهي تساوي y. بناءً على المعادلة السابقة، إذا كانت قيمة +/- سالبة، فإن y = apx 4.5081، وهو خطأ واضح، لأننا نعلم أن المساحة تساوي 20 على الأقل، حتى مع x. لذا، يجب أن تكون مساحة المربع 20 + 4*sqrt(15).

مساحة المثلثات الثلاثة المعطاة هي ٥ + ٧ + ٨ = ٢٠. بطرح هذه المساحة من المساحة الكلية للمربع، نحصل على مساحة x: ٢٠ + ٤*الجذر التربيعي (١٥) - ٢٠ = ٤*الجذر التربيعي (١٥) = تقريبًا ١٥٫٤٩١٩.

تم طرح هذا السؤال ومناقشته في منتدياتي في Wizard of Vegas .

ساحل الشمس

لاحظ قميصي في هذه الصورة. أثنى عليه أمين الصندوق في دار السينما عندما ذهبت لمشاهدة فيلم Uncut Gems . شكرتها بإزعاجها بهذه المسألة، باستخدام مثلثات المناطق ٢ و٣ و٤ فقط. بعد الفيلم، تحققت منها، ولم تتمكن من حلها بعد، ولكن يبدو أنها تحاول. لذلك كتبت لها الحل التالي في حانة Suncoast. بدت ممتنة له بالفعل. أعتقد أن هذه الفتاة ستصل إلى آفاق جديدة في حياتها.

فيما يتعلق باليانصيب، هل هناك "نقطة تحول" في حجم الجائزة الكبرى في اليانصيب متعدد الولايات (باوربول، ميجا مليونز)، حيث يكون احتمال تقسيم الجائزة الكبرى أكبر من احتمال وجود فائز واحد؟ إذا كان الأمر كذلك، فما هو هذا المبلغ؟

Ayecarumba من California

لن أدخل في كل الرياضيات، ولكن إليك نقاط الجائزة الكبرى حيث تكون احتمالية الفوز بأكثر من فائز متساوية تمامًا مثل فائز واحد:

  • باوربول: 975 مليون دولار
  • ميجا مليونز: 1.65 مليار دولار

ليس أنك سألت، ولكن إليك الجوائز الكبرى حيث احتمالية فوز واحد على الأقل تساوي احتمالية عدم فوز أي شخص (50%).

  • باوربول: 704 مليون دولار
  • ميجا ميليونز: 867 مليون دولار

تم طرح هذا السؤال ومناقشته في منتدياتي في Wizard of Vegas .

  • يوجد في السجن 12 سجينًا، كل واحد منهم مرقم من 1 إلى 12.
  • يقوم المشرف بتجهيز 12 صندوقًا، كل منها مرقم من 1 إلى 12.
  • بداخل الصناديق الـ12 توجد الأرقام من 1 إلى 12، موضوعة بشكل عشوائي، رقم واحد في كل صندوق.
  • يُسمح لكل سجين، واحدًا تلو الآخر، بفتح ستة صناديق من اختياره. ويحق له اختيارها وفتحها واحدًا تلو الآخر.
  • هدف كل سجين هو العثور على رقمه الخاص داخل صندوق، من بين خياراته الستة. إذا نجح في ذلك، يُقال إنه سينجو.
  • إذا لم يتمكن السجين من العثور على رقمه الخاص، يقال أن المجموعة بأكملها فشلت وسيتم نقلهم على الفور إلى فرقة الإعدام.
  • إذا نجا أحد السجناء، فيجب عليه إعادة الأرقام إلى صناديقها الأصلية للسجين التالي.
  • لا يجوز للسجناء مشاهدة اللاعبين الآخرين أو التواصل معهم بمجرد بدء اللعبة.
  • قبل البدء، يُسمح للمجموعة بأكملها بالتعاون على استراتيجية. الهدف هو نجاة جميع السجناء الاثني عشر (أي إيجاد رقم كل واحد داخل صندوق).

ما هي الاستراتيجية التي يجب أن يتبعوها لتعظيم احتمالية بقائهم على قيد الحياة وما هو هذا الاحتمال؟

مجهول

باتباع الاستراتيجية الموضحة في الحل، فإن احتمال البقاء على قيد الحياة هو 166112640/479001600 = حوالي 34.68%.

يجب أن يكون أول ما يختاره كل سجين هو رقمه. إذا كان هذا الرقم صحيحًا، فسينجو. وإلا، فيفتح رقم الصندوق داخل الصندوق الأول. ويكرر هذه العملية حتى يفتح ستة صناديق أو يجد رقمه.

[spoiler=الحل]

كما هو الحال في لعبة بابا نويل السرية، ستكون هناك حلقات تؤدي من رقم إلى آخر. مع ١٢ سجينًا، يمكن أن يكون هناك من ١ إلى ١٢ حلقة. إذا لم يتجاوز طول أي حلقة ٦، فسيجد كل سجين رقمه في النهاية. السؤال المهم هو: ما احتمال عدم وجود حلقة أكبر من ٦؟ لنعكس الأمر ونوجد عدد المجموعات التي يبلغ طول حلقة ٧ أو أكثر.

حل 12 سجينًا

حلقات التركيبات احتمال
12 39,916,800 0.083333
11,1 43,545,600 0.090909
10,2 23,950,080 0.050000
10،1،1 23,950,080 0.050000
9,3 17,740,800 0.037037
9،2،1 26,611,200 0.055556
9،1،1،1 8,870,400 0.018519
8,4 14,968,800 0.031250
8،3،1 19,958,400 0.041667
8،2،2 7,484,400 0.015625
8،2،1،1 14,968,800 0.031250
8،1،1،1،1 2,494,800 0.005208
7,5 13,685,760 0.028571
7،4،1 17,107,200 0.035714
7،3،2 11,404,800 0.023810
7،3،1،1 11,404,800 0.023810
7،2،2،1 8,553,600 0.017857
7،2،1،1،1 5,702,400 0.011905
7،1،1،1،1،1 570,240 0.001190
المجموع 312,888,960 0.653211

يوضح الجدول التالي الصيغ الخاصة بالتركيبات الموجودة في الجدول أعلاه.

صيغ التركيبة

حلقات التركيبات صيغة
12 39916800 = حقيقة(11)
11,1 43545600 =COMBIN(12,11)*FACT(10)
10,2 23950080 =COMBIN(12,10)*FACT(9)
10،1،1 23950080 =COMBIN(12,10)*FACT(9)
9,3 17740800 =COMBIN(12,9)*FACT(8)*FACT(2)
9،2،1 26611200 =كومبين(12,9)*كومبين(3,2)*حقيقة(8)
9،1،1،1 8870400 =COMBIN(12,9)*FACT(8)
8,4 14968800 =COMBIN(12,8)*FACT(7)*FACT(3)
8،3،1 19958400 =كومبين(12,8)*كومبين(4,3)*حقيقة(7)*حقيقة(2)
8،2،2 7484400 =COMBIN(12,8)*COMBIN(4,2)*FACT(7)/2
8،2،1،1 14968800 =كومبين(12,8)*كومبين(4,2)*حقيقة(7)
8،1،1،1،1 2494800 =COMBIN(12,8)*FACT(7)
7,5 13685760 =COMBIN(12,7)*FACT(6)*FACT(4)
7،4،1 17107200 =COMBIN(12,7)*5*FACT(6)*FACT(3)
7،3،2 11404800 =كومبين(12,7)*كومبين(5,3)*حقيقة(6)*حقيقة(2)
7،3،1،1 11404800 =كومبين(12,7)*كومبين(5,3)*حقيقة(6)*حقيقة(2)
7،2،2،1 8553600 =COMBIN(12,7)*COMBIN(5,2)*COMBIN(3,2)*FACT(6)/2
7،2،1،1،1 5702400 =كومبين(12,7)*كومبين(5,2)*حقيقة(6)
7،1،1،1،1،1 570240 =COMBIN(12,7)*FACT(6)

من الخلية السفلية اليمنى للجدول الأول، يوجد ٣١٢,٨٨٨,٩٦٠ مجموعة خاسرة. العدد الإجمالي لطرق ترتيب الأرقام هو ١٢! = ٤٧٩,٠٠١,٦٠٠. وبالتالي، فإن احتمال الفشل هو ٣١٢,٨٨٨,٩٦٠ / ٤٧٩,٠٠١,٦٠٠ = ٦٥.٣٢٪. وبالتالي، فإن احتمال النجاح هو ١٠٠٪ - ٦٥.٣٢٪ = ٣٤.٦٨٪.

[/كابح]

تم طرح هذا السؤال ومناقشته في منتدياتي في Wizard of Vegas .

مرحباً. لديّ قسيمة تسمح لي بجمع ٢٢ يداً. يمكنني الاحتفاظ بها حتى أول ٢٢ يداً. لا تنطبق على الزوجي أو المقسم. ما قيمة هذه القسيمة؟

MrGoldenSun

الإجابة السريعة هي قيمة الحد الأقصى المسموح لك بالمراهنة عليه. انتظر حتى يصل إلى ٢٢ ثم العب، مما يؤدي إلى انسحابك من الطاولة بوحدة إضافية.

الجواب الأكثر صرامة يجب أن ينظر إلى تكلفة الانتظار حتى ذلك التاريخ 22. هذا شيء لا أعرفه بالضبط، ولكن يمكنني تقديره.

تكلفة قاعدة "دفع الموزع ٢٢" على اللاعب هي ٦.٩١٪. ومع ذلك، سيحصل الموزع على ٢٢ أكثر من ذلك، لأن اللاعب لن يكترث إذا خسر أولًا. وحسب القواعد، سيخسر اللاعب حوالي ١٥.٧٪ من المرات. إذا افترضنا أن هذا لا يرتبط باحتمال خسارة الموزع (وهو ليس كذلك)، فإن احتمال خسارة الموزع هو ٦.٩١٪ / (١.٠-٠.١٥٧) = ٨.٢٪.

أعلم أن هذا تقريبي، لكن لنفترض أن احتمال فوز اللاعب بـ ٢٢ متساوٍ. أعلم أن الموزع سيخسر أكثر من اللاعب، لكن هذه القسيمة لا تُحتسب أيضًا بعد التقسيم، لذا لنفترض أن هذين العاملين متساويان. لذا، إذا حصل اللاعب على ٢٢ بنسبة ٨.٢٪ من الأيدي، فسيحصل على ٢٢ مرة واحدة كل ١/٠.٠٨٢ = ١٢.٢ يد في المتوسط.

لنفترض أن هامش ربح الكازينو في اللعبة الأساسية هو 0.75%. تكلفة لعب 12.2 يدًا بهذه الهامش هي 12.2 × 0.0075 = 0.0915. بطرح هذا من قيمة الوحدة، نحصل على قيمة القسيمة من 1.0 إلى 0.0915، أي ما يعادل 91% تقريبًا من القيمة الاسمية.

تم طرح هذا السؤال ومناقشته في منتدياتي في Wizard of Vegas .