بينغو - التعليمات

أنت على حق، وفقًا لجدول احتمالاتي في لعبة البنغو، فإن احتمال حصول أي شخص على بنغو ضمن 12 رقمًا مرسومًا هو 0.00199521.

عادةً، إذا كان احتمال وقوع حدث ما هو p، فإن احتمال وقوعه مرة واحدة على الأقل خلال n مرة هو 1-(1-p) ⁿ . في هذه الحالة، احتمال فوز شخص واحد على الأقل بلعبة بينجو هو 1 - 0.00199521 ⁷⁵ = 1 - 0.9980048 ⁷⁵ = 1 - 0.8608886 = 0.1391114.

مع ذلك، في لعبة البنغو، لا يمكننا استخدام الطريقة المذكورة أعلاه لأن جميع البطاقات تُسحب بنفس عدد الكرات. يصعب شرح ذلك، ولكن بما أن البطاقات مُرتبة في خمسة أعمدة، كل منها يحتوي على 15 رقمًا محتملًا، فإن العدد المتوقع للكرات مُرتبط. يتطلب الأمر محاكاة عشوائية للإجابة على سؤالك بدقة. بدون ذلك، يُعد 13.9% تخمينًا تقريبيًا جيدًا.

احتمال الحصول على بينجو (5 على التوالي) معقد للشرح، ويرجع ذلك أساسًا إلى المربع الحر. لقد استخدمت جهاز كمبيوتر للقيام بذلك. الزوايا الأربع أسهل بكثير. احتمال وجود 4 زوايا، مع العلم بوجود علامات x على البطاقة، هو combin (20، x - 4) / combin (24، x). بمعنى آخر، هو عدد الطرق لوضع 4 من العلامات في الزوايا والباقي في أي مكان آخر مقسومًا على عدد الطرق لوضع كل x في أي مكان على البطاقة. احتمال الحصول على أربع زوايا ضمن مكالمات y هو مجموع i = 4 إلى y لحاصل ضرب احتمال وجود علامات x على البطاقة مع العلم بوجود مكالمات y واحتمال أن تشكل هذه العلامات x أربع زوايا (أعلاه). احتمال الحصول على علامات x في مكالمات y هو combin (24، x) * combin (51، yx) / combin (75، y). باتباع هذا المنطق، يجب أن تكون قادرًا على رؤية الرياضيات للغطاء.

فيما يلي العدد المتوقع للمكالمات قبل أن يحصل شخص ما على لعبة البينغو وفقًا لعدد اللاعبين.

1 لاعب: 41.37
10 لاعبين: 25.51
50 لاعبًا: 18.28
100 لاعب: 15.88
200 لاعب: 13.82
500 لاعب: 11.56
1000 لاعب: 10.13

احتمال أن يكون لأي بطاقة مجموعة من 54 نداءً هو combin(51,30)/combin(75,54) = 114456658306760/2103535234151140000 = 1 من 18738. احتمال عدم فوز 600 بطاقة هو (1-1/18738)^600 = 96.79%. لذا، فإن احتمال فوز لاعب واحد على الأقل من بين 600 لاعب هو 3.21%.

دعوني أوضح أولاً أن هذا سؤال قديم نوعًا ما، وقد وضعته جانبًا، فشركة بينجوجالا تعمل منذ عامين وفقًا لصفحتها الرئيسية. احتمالية الحصول على رهان شامل خلال 54 مكالمة لبطاقة واحدة هي: COMBIN(75-24,54-24)/COMBIN(75,54) = 0.000054. احتمالية حصول بطاقة واحدة على الأقل من أصل 600 على رهان شامل خلال 54 مكالمة هي: 1-(1-.000054) ⁶⁰⁰ = 0.032121. العدد المتوقع للفائزين على مدار 380 يومًا بمعدل 8 جلسات يوميًا هو 97.65. الانحراف المعياري هو: (380*8*0.032121*(1-0.032121)) ^½ = 9.72. إذن، هذا هو: (97.58-76)/9.72 = 2.23 انحراف معياري أقل من التوقعات. احتمال فوز 76 أو أقل في لعبة عادلة هو 1.30%. لذا، يمكن تفسير ذلك إما بسوء حظ اللاعبين، أو بقلة عدد اللاعبين الذين فازوا في المتوسط. ربما لم يحصلوا على هذا العدد في البداية. لذا، لا تُبرر الأدلة، في رأيي، اتهامًا بالتلاعب غير النزيه.

مايك س. آخر، ما هي احتمالات الفوز؟ تسمح العديد من حلبات السباق بما يُسمى "الفئة الثانية"، والتي يجب أن تعتمد على اليانصيب أو البنغو. طريقة عرض ماكينات القمار بموجب هذه القاعدة هي إقامة لعبة يانصيب أو بنغو خلف الكواليس، وعرض النتيجة على شكل فوز في ماكينة القمار. على سبيل المثال، إذا حددت لعبة اليانصيب فوزك بعشرين ضعف رهانك، فسيتم عرض أي رموز ماكينة قمار تدفع 20 ضعفًا. لذا، فهي خدعة ذكية.

في أوكلاهوما، والعديد من الكازينوهات الهندية الأخرى، توجد ما يُسمى بماكينات القمار "الفئة 2". تُحدد النتيجة فعليًا بسحب كرات البنغو. يرتبط اللاعبون في ماكينات القمار المختلفة ببعضهم البعض، ولكل لاعب بطاقات مختلفة، لكن سحب الكرات مشترك بين جميع اللاعبين المتصلين عبر الشبكة. عادةً ما يكون هناك "نمط نهاية اللعبة"، فإذا أكمله أحد اللاعبين، تتوقف الكرات عن السحب لدى جميع اللاعبين الآخرين. مع ذلك، يصعب تحقيق أنماط نهاية اللعبة هذه لدى معظم الشركات المصنعة، لذا فإن عنصر المنافسة ضئيل. ما لم يتم تحقيق نمط نهاية اللعبة، يتم سحب عدد معين من الكرات، وتُلطخ بطاقاتك تلقائيًا، وتُدفع لك وفقًا لأعلى نمط ربح تُغطيه، وهناك مئات الأنماط. تمثيل فيديو لماكينة القمار هو مجرد توضيح لمبلغ ربحك. إذا تم تنفيذه بشكل جيد، وهو غالبًا ما يكون غير جيد، فإن الألعاب تُلعب تقريبًا مثل ماكينات القمار في لاس فيغاس.

شكراً على الإطراء. يعتمد الجواب على كيفية تحديد موقع البنغو للجائزة الكبرى. إذا كانت نسبة مئوية من إجمالي البطاقات المباعة، وهو ما يحدث عادةً، فلن يُحدث فرقاً. أما إذا كانت هناك جائزة ثابتة للفائز، فمن الأفضل لعب لعبة واحدة في كل مرة، حتى لا تُنافس نفسك.

نعم، هذا صحيح. في بعض الولايات، مثل أوكلاهوما، تُعتبر ماكينات القمار التقليدية من الفئة الثالثة غير قانونية. إحدى طرق التحايل على هذا القانون هي اختيار ماكينة لبطاقات وكرات البنغو عشوائيًا. سيتم ربط أنماط معينة بفوز معين، وستُعرض النتيجة للاعب كما لو كان فوزًا في ماكينة القمار. إذا تم ذلك بشكل صحيح، وهو ما يحدث غالبًا، فإن طريقة اللعب تُشبه تلك الموجودة في لاس فيغاس. إذا لم تخني الذاكرة، فقد رأيت بعض ماكينات القمار الشهيرة من ويليامز، مثل "ريل إم إن"، عندما كنت في كازينو في تولسا، مع بطاقة بنغو صغيرة في زاوية الشاشة. بخلاف ذلك، بدت لي متشابهة. لا أعرف ما هو العائد الذي يُحددونه لماكينات القمار في أوكلاهوما، لذا لا يمكنني مساعدتك في هذا السؤال.

احتمال عدم وجود أرقام مشتركة بين بطاقتي بينغو هو ( combin (10,5)/combin(15,5)) ⁴ ×(combin(11,4)/combin(15,4)) = 1 من 83,414. احتمال تطابق جميع الأرقام الـ 24 في بطاقتي بينغو هو (1/combin(15,5)) ⁴ ×(1/combin(15,4)) = 1 من 111,007,923,832,371,000.

لفائدة القراء، يُعدّ رهان "الثلاثة الكبار" رهانًا جانبيًا في لعبة البنغو في جميع كازينوهات ستيشن وفييستا رانشو. يُمنح اللاعب تذكرة، إما ورقية أو إلكترونية، بثلاثة أرقام بنغو عشوائية من أصل 75 رقمًا ممكنًا. إذا احتوت أول أربعة أرقام بنغو تُعلن في تلك الجلسة على جميع أرقام اللاعب الثلاثة، فسيفوز بجائزة كبرى تراكمية. تبدأ الجائزة الكبرى من 1000 دولار أمريكي، وتزداد بمقدار 200 دولار أمريكي يوميًا حتى يفوز أحد اللاعبين. لكل جلسة، ولكل عقار، جائزة كبرى مستقلة.

عدد التركيبات الفائزة هو 72، لأن ثلاث كرات يجب أن تتطابق، ويمكن أن تكون التركيبة الرابعة أي كرة من الكرات الـ 72 الأخرى. هناك تركيبات (75،4) = 1,215,450 تركيبًا ممكنًا. وبالتالي، فإن احتمال الفوز هو 72/1,215,450 = 0.000059. يمكن للاعب شراء 48 تذكرة مقابل 10 دولارات، وبالتالي فإن تكلفة التذكرة الواحدة هي 10/48 = 0.208333 دولار. نقطة التعادل، حيث تكون ميزة الكازينو صفرًا، هي (10/48)/(72/1,215,450) = 3,516.93 دولارًا.

تشير كازينوهات ستيشن إلى الجوائز الكبرى الثلاث الكبرى على موقعها الإلكتروني "جامبو بينجو" . ستجد هناك أن العداد غالبًا ما يتجاوز 3517 دولارًا. عندما أجبت على هذا السؤال في 30 أغسطس 2007، كان اثنان من الفنادق الثمانية يتمتعان بأفضلية للاعب، وهما بالاس ستيشن وفييستا رانشو. هذا أحد الرهانات القليلة في لاس فيغاس التي غالبًا ما تتمتع بأفضلية للاعب. للأسف، يحدّون من عدد البطاقات التي يمكنك شراؤها، مما يجعل الأمر لا يستحق عناء القيام برحلة خاصة بالنسبة لمعظم الناس، بمن فيهم أنا.

تُطبع البطاقات عشوائيًا، فإذا اشتريت عددًا كافيًا، ستحصل على بطاقات متكررة. لذا، لا يوجد رقم يضمن لك الفوز. احتمال فوز كل بطاقة هو 0.00000000243814، أو 1 من 410,148,569. لنفترض أنك ستكون سعيدًا باحتمال فوز p، وعدد البطاقات التي اشتريتها n، واحتمال فوز كل بطاقة c. لنحسب قيمة n:

P = 1-(1-ج) ^ن
1-ص = (1-ج) ^ن
ln(1-p) = n×ln(1-c)
ن=ln(1-p)/ln(1-c)

على سبيل المثال، للحصول على فرصة 90% للفوز، ستحتاج إلى شراء ln(1-.9)/ln(1-0.00000000243814) بطاقة، وهو ما يعادل 944,401,974.

يوضح الجدول التالي قيمة الجوائز الأساسية وهي 1/5 من سنت واحد لكل بطاقة.

قيمة جائزة الترضية لكل بطاقة هي ٥٠/ن، حيث ن هو عدد البطاقات المتنافسة. على سبيل المثال، إذا كان هناك ١٠٠٠ بطاقة متنافسة، فإن قيمة جائزة الترضية لكل بطاقة ستكون ٥ سنتات.

يعتمد الأمر على عدد البطاقات المستخدمة. بافتراض وجود c بطاقة، فإن التقريب الجيد لاحتمالية وجود مجموعة واحدة على الأقل من البطاقات المتطابقة هو 1-e ^{(-c/471,000,000)} . على سبيل المثال، مع وجود 10,000 بطاقة في اللعبة، وهو ما أعتقد أنه مناسب تقريبًا لجلسة بنغو في لاس فيغاس، فإن احتمالية وجود مجموعة واحدة على الأقل من البطاقات المتطابقة هي حوالي 1 من 47,000. وللحصول على احتمال 50/50 لوجود مجموعة واحدة على الأقل من البطاقات المتطابقة، ستحتاج إلى حوالي 330 مليون بطاقة في اللعبة.

احتمالية الحصول على مكافأة شاملة ضمن 50 كرة في أي لعبة هي 1 من 212,085. واحتمالية الفوز في أربع من ست ألعاب هي 1 من 134,882,670,482,530,000,000. هذا يبدو كخلل، إن وُجد أصلاً. أعتقد أن للكازينو مبررًا مشروعًا لرفض الجوائز الكبرى، لأن الألعاب لم تعمل بشكل صحيح على ما يبدو. مع ذلك، أعتقد أن سرقة أموالك المودعة مجرد سرقة. كما يجب أن أشك في نزاهة اللعبة، إذا كان بإمكانها إفساد فوز كهذا. هذا يجعلني أشك في أن السحب قد لا يكون عشوائيًا تمامًا.

تم طرح هذا السؤال ومناقشته في منتدياتي في Wizard of Vegas .

لقد كنت في مواقف مماثلة حيث كان معظم الأشخاص ينتظرون رسالة معينة، ولكن أكبر عدد من الفائزين الذين رأيتهم في وقت واحد كان حوالي 25.

أُبيّن أن احتمالية إجراء 44 مكالمة وتجنب أي حرف (ليس فقط G) هي 1 من 1,517,276. إليك صيغة لهذا الاحتمال: 5*combin(60,44)/combin(75,44) - combin(5,2)*combin(45,44)/combin(75,44)

هذا إجابة يصعب شرحها. دعوني أبدأ بالقول إن عدد مرات الرفض المتوقعة في لعبة بطاقة واحدة سيكون متساويًا. ومع ذلك، هناك تأثير ارتباط مع أكثر من بطاقة واحدة.

من الصعب إعطاء إجابة سريعة على هذا السؤال، ولكن إذا كان ذلك مُجبرًا، فذلك لأن نمط الزوايا الأربع يتطلب تركيزًا للكرات في عمودي B وO. من المرجح أن يُصاب نمط الماس الصغير بتوزيع أكثر تسطحًا للكرات على أعمدة B وN وO.

لنبسط اللعبة بحيث يكون فيها عدد لا نهائي من البطاقات، وتُسحب الكرات مع استبدالها. إليك عدد الكرات المطلوبة للفوز في كلتا اللعبتين:

• الزوايا الأربع: 2.5+2.5+((1/2)*10+(1/2)*(2.5+5)) = 13.75
• الماس الصغير: =(5/3)+((1/3)*((5/3)+(5/2)+5)+(2/3)*((5/2)+((1/2)*((5/2)+5)+(1/2)*(5+5)))) = 12 + 2/9

وهذا يوضح أن الزوايا الأربع تحتاج إلى 1.53 كرة إضافية.

من خلال تشغيل هذا من خلال محاكاة وفقًا لقواعد البنغو العادية، بافتراض وجود عدد لا نهائي من البطاقات، إليك النتائج:

• أربع زوايا: 12.8289
• الماس: 11.3645

هذه المرة مختلفة عن الكرات 1.46.

ما آمل أن أوضحه هو أن الأنماط تكون أكثر عرضة للتغطية بشكل أسرع إذا كانت العلامات موزعة على أعمدة أكثر. لهذا السبب، أعتقد أنه في لعبة بنغو واحدة، عادةً ما يكون البنغو الفائز أفقيًا.

تم طرح هذا السؤال ومناقشته في المنتدى الخاص بي في Wizard of Vegas .

فيما يلي متوسط عدد العلامات المطلوبة على البطاقة لأنماط الفوز الشائعة:

• بينجو فردي — 13.60808351
• بينجو مزدوج — 16.37193746
• بينجو ثلاثي — 18.02284989
• طريق واحد — 15.29273554
• طريق مزدوج — 18.09327842
• الطريق الثلاثي الصعب — 19.79294406
• عبوة من ستة قطع — 14.62449358
• عبوة من تسعة قطع — 18.97212394