كرابس - احتمال

يُعرف ذلك باحتمالات 3-4-5X، وهو شائع جدًا الآن. يوضح الجدول التالي جميع النتائج المحتملة، لتمريرات الحظ والاحتمالات مجتمعة، مع الاحتمالات الكاملة.


الانحراف المعياري لكل رهان على خط المرور هو 4.915632.

متوسط عدد الرميات لكل لاعب هو 8.525510. لمعرفة احتمالية رميتين إلى 200 رمية بالضبط، يُرجى مراجعة صفحة احتمالية البقاء في لعبة الكرابس .

من بين تلك النقاط الـ 100 التي تم تحديدها، في المتوسط سيكون 41.67 على 6 أو 8، و33.33 على 5 أو 9، و25.00 على 4 أو 10. يمكنك أن تتوقع في المتوسط الحصول على 18.94 نقطة على 6 أو 8، و13.33 على 5 أو 9، و8.33 على 4 أو 10.

حسناً، أي شخص معرض للخطأ، لكن لعبة الكرابس سهلة التحليل رياضياً، لذا سأكون واثقاً جداً من صحة احتمالاتي. نعم، المقامرة، بشكل أو بآخر، هي مهنتي التي أمارسها بشكل مستقل. زرت أتلانتيك سيتي مرات عديدة في السنوات القليلة الماضية، لكنني انتقلت إلى لاس فيغاس قبل شهرين. لذا، أخشى أنني لن أزور أتلانتيك سيتي كثيراً بعد الآن. أفضل النهج التوافقي على المحاكاة العشوائية كلما أمكنني ذلك. على أي حال، أستخدم Visual C++ في برمجيتي الخاصة. أما بالنسبة للأرقام العشوائية، فأستخدم Mersenne Twister .

شكراً لكلماتك الطيبة. هذه إجاباتي.

١. إذا عرّفنا ميزة الكازينو بأنها الخسارة المتوقعة لكل رهان غير محسوم (باستثناء التعادلات)، فإن ميزة الكازينو في رهان "عدم المرور" ستكون ١.٤٠٪، أي أقل بقليل من ١.٤١٪ في رهان "خط المرور". إذا كان بإمكان اللاعب المراهنة بمبلغ أكبر على رهان "عدم المرور"، وهو الحال في الكازينوهات الحقيقية وليس على الإنترنت، فإن ميزة الكازينو الإجمالية تصب في صالح جانب "عدم المرور" كلما زاد مضاعف الاحتمالات المسموح به.

٢. بافتراض أن اللاعب حافظ على احتمالاته خلال رمية "الخروج"، فإنّ هامش الربح الإجمالي للكازينو لا يتغير إذا أضاف اللاعب رهانات "الخروج"، مدعومًا بالاحتمالات. أما إذا حافظ اللاعب على احتمالاته ثابتة، وهي القاعدة الافتراضية، فإنّ هامش الربح الإجمالي للكازينو سيرتفع بشكل طفيف بإضافة رهانات "الخروج".

أهلاً بك، شكرًا على كلماتك الطيبة. احتمال رمي النرد n مرة دون الحصول على الرقم 7، ثم الحصول على الرقم 7، هو (5/6) ⁿ * (1/6). احتمال رمي n من الأرقام غير السبعية، دون تحديد الرمية التالية، هو (5/6) ⁿ . لذا، فإن احتمال رمي النرد أربع مرات على الأقل دون الحصول على الرقم 7 هو (5/6) ⁴ = 625/1296 = 0.4823.

فيما يلي النتائج المحتملة لرهان المرور/المجيء والاحتمالات المرتبطة بها:

• يفوز اللاعب عند الخروج: 22.22%
• يخسر اللاعب عند الخروج: 11.11%
• يفوز اللاعب بنقطة واحدة: 27.07%
• يخسر اللاعب عند نقطة واحدة: 39.60%

وبالتالي فإن اللاعب سوف يفوز بنقطة واحدة تقريبًا من أصل 3.7 لفة.

هذا سؤال جيد. من الواضح أن مُجاراة الجمهور أكثر متعة من مُعارضته. السؤال هو: لماذا يُفضّل الجمهور خط المرور؟ ربما يكون هذا مجرد تقليد. ربما عندما بدأ الناس بلعب الكرابس في الألعاب الخاصة، لم يكن خيار عدم المرور مُتاحًا أصلًا.

سؤال جيد. لنفكر في هذا بالوحدات بدلاً من رهانات بقيمة 100 دولار. سيكون لديك دائمًا رهان على التمريرة أو المجيء. في أي رمية، يكون احتمال وجود رهان تمريرة أو مجيء قديم على الرقم 4 هو 3/9. هذا هو الاحتمال بأنه بالنظر إلى الرميات القديمة ستجد 4 قبل 7. وبالمثل، فإن احتمال الرهان على 5 هو 4/10 وعلى 6 هو 5/11. لذا فإن متوسط الرهان الإجمالي هو 1 + pr(4) + pr(5) + pr(6) + pr(8) + pr(9) + pr(10) = 1 + 3/9 + 4/10 + 5/11 + 5/11 + 4/10 + 3/9 = 3.3758 وحدة. لن يكون هذا المتوسط صحيحًا في البداية، أثناء دخولك اللعبة. سينطبق فقط بعد ظهور جميع أرقام النقاط والرقم 7 مرة واحدة على الأقل.

احتمال الفوز في رهان "هارد 4" هو 1/9. لذا، احتمال الفوز أربع مرات متتالية هو (1/9) ⁴ = 1 في 6561.

سؤال جيد. لمن لا يفهم السؤال، ما لم يُطلب خلاف ذلك، فإن احتمالات رهانات الخروج غير نشطة في رميات الخروج. لذا، إذا رمى اللاعب الرقم سبعة في رمية الخروج، فستخسر أي رهانات خروج وستُعاد احتمالات رهانات الخروج. وبالمثل، إذا تم رمي نقطة اللاعب في رهان الخروج في رمية الخروج، فسيفوز رهان الخروج ولكن ستُدفع الاحتمالات. تعتمد الإجابة على كيفية تعريفنا لميزة الكازينو. إذا عرفناها على أنها الخسارة المتوقعة لإجمالي الرهانات الموضوعة، فلن يكون إيقاف الاحتمالات مهمًا. هذا لأن اللاعب لا يزال يراهن على الاحتمالات ولا يزال يُحتسب كرهان حتى لو تم إرجاعه كدفع. ومع ذلك، إذا عرّفت ميزة الكازينو على أنها الخسارة المتوقعة للرهانات التي تم حلها، فإن إيقاف الاحتمالات في رمية الخروج يزيد بالفعل من ميزة الكازينو. لقد كتبت محاكاة حاسوبية لتحديد هذا التأثير. بافتراض أن اللاعب يحصل على احتمالات خمسة أضعاف، فإن إيقاف احتمالات رميات الخروج يزيد نسبة الخسائر إلى إجمالي الرهانات المنجزة من 0.326% إلى 0.377%، أي بزيادة قدرها 0.051%. لذا، إذا كنت ترغب في تعظيم عائدك على الرهانات المنجزة، فاترك احتمالات الخروج مفعلة.

أؤكد لك أنها مجرد مصادفة. هامش ربح الكازينو في لعبة الكرابس هو 7/495، وهو عدد نسبي بحكم التعريف. في الواقع، أزعم أن هامش ربح الكازينو في جميع ألعاب الكازينو يجب أن يكون عددًا نسبيًا نظرًا لمحدودية عدد النتائج المحتملة في جميع الألعاب، مما ينتج عنه هامش ربح للكازينو يساوي كسرًا كاملًا. 2 ليس مربعًا كاملًا، وبالتالي فإن الجذر التربيعي لـ 2 يجب أن يكون عددًا غير نسبي بحكم التعريف. لذلك، لا يمكن أن يكون الرقمان متساويين. للتوضيح، هامش ربح الكازينو في رهان بقيمة 100 دولار على خط المرور هو 1.41414141 دولار... الجذر التربيعي لـ 2 هو 1.4142135623731...

شكراً على الإطراء. أنصحك بتجربة لعبة المطابقة. أنا متأكد من أن مبلغ ١٠٠ دولار في لعبة السلوتس كان على ماكينات مصممة خصيصاً. بناءً على بعض القصص، أعتقد أن هذه الألعاب المجانية قليلة الفائدة، حيث تُسدد حوالي ٢٥٪. تبلغ قيمة لعبة المطابقة حوالي ٤٨ سنتاً للدولار. أنصحك بالمراهنة على لعبة الكرابس التي لا تُمرر. والسبب الذي يجعلني أفضّلها على البلاك جاك هو أن احتمالية فوز البلاك جاك أقل، مما يُقلل من قيمة لعبة المطابقة. لمزيد من التوضيح، يُرجى مراجعة مقالي بتاريخ ٣٠ أكتوبر ٢٠٠١ .

سؤال جيد. لتأكيد حساباتهم، أعددتُ الجدول التالي، بناءً على رهان ميداني ربحه 3 إلى 1 على 12. تُظهر الخلية السفلية اليمنى خسارة متوقعة قدرها 25 سنتًا على رهان بقيمة 22 دولارًا. لذا، فإن نسبة ربح الكازينو هي 0.25/22 = 1.136%.

السبب في أن الحافة الإجمالية للمنزل تبدو أقل من حافة المنزل لكل رهان فردي هو أن حافة المنزل في رهانات المكان يتم قياسها عمومًا على أنها خسارة اللاعب المتوقعة لكل رهان يتم حله.

مع ذلك، في هذه الحالة، يُبقي اللاعب رهاناته على المركز لرمية واحدة فقط. هذا يُقلل بشكل ملحوظ من هامش الكازينو على رهانات المركز من 4.00% إلى 1.11% في الرقمين 5 و9، ومن 1.52% إلى 0.46% في الرقمين 6 و8.

بالنسبة للنقاد المتشددين الذين يعتقدون أنني غير متسق في قياس حافة المنزل على رهانات المكان وفقًا للرهان الذي تم حله (أو تجاهل التعادلات)، فإنني أدعوك لزيارة الملحق 2 الخاص بلعبة الكرابس حيث يتم قياس جميع رهانات الكرابس لكل لفة (بما في ذلك التعادلات).

أولًا، إذا كان احتمال وقوع حدث هو ص، فإن العدد المتوقع للمحاولات لحدوثه هو 1/ص. لنسمي س العدد المتوقع للرميات لكل لاعب. احتمال أن تنتهي أي جولة معينة برمية واحدة (مع 2 أو 3 أو 7 أو 11 أو 12) هو 1/3. إذا حصل اللاعب على 4 أو 10 في رمية الخروج، فإن العدد المتوقع للرميات الإضافية هو 4، لأن احتمال الحصول على 4 أو 7 هو (6 + 3) / 36 = 1/4. وبالمثل، إذا حصل اللاعب على 5 أو 9 في رمية الخروج، فإن العدد المتوقع للرميات الإضافية هو 3.6 وللحصول على 6 أو 8 هو 36/11. بافتراض أن نقطة قد تم إلقاؤها، فإن احتمال أن تكون 4 أو 10 هو 3/12، و5 أو 9 هو 4/12، و6 أو 8 هو 5/12. إذن، عدد الرميات المتوقع في كل جولة هو 1 + (2/3) * ((3/12) * 4 + (4/12) * 3.6 + (5/12) * (36/11)) = 3.375758. بعد ذلك، احتمال أن يخرج اللاعب سبعة هو (2/3) * ((3/12) * (2/3) + (4/12) * (3/5) + (5/12) * (6/11)) = 0.39596. احتمال ألا يخرج اللاعب سبعة هو 1 - 0.39596 = 0.60404. إذًا...

x = 3.375758 + 0.60404*x
0.39596*س = 3.375758
س = 8.52551

لا تزال هناك ألعاب فيديو بوكر تُحقق أرباحًا تتجاوز 100% عند اتباع استراتيجية سليمة. كما شاهدتُ لعبة بلاك جاك في فييستا رانشو وسلوتس-أ-فن في لاس فيغاس، والتي كانت تتميز بميزة استراتيجية أساسية. وكما أذكر في قسم المراهنات الرياضية، فإن المراهنة على فرق NFL الأضعف على أرضها ضد فارق النقاط قد حققت أيضًا ميزة تاريخية. لذا، لا تزال نسبة 100x في لعبة الكرابس من أفضل الرهانات المتاحة، ولكنها ليست الأفضل على الإطلاق. نعم، نسبة 0.014% تعني أن متوسط خسارة كل رهان بقيمة 100 دولار هو 1.4 سنت.

أوافق على أن هذا قرار سيء للغاية ونصيحة غير صائبة من الموزعين. بمجرد رمي نقطة 6 أو 8، تكون ميزة اللاعب في رهان "عدم المرور" أو "عدم الحضور" (6/11)*1 + (5/11)*-1 = 1/11 = 9.09%. عدم اتخاذ أي إجراء يُعادل استبداله برهان بنسبة ميزة للكازينو 1.36%. لذا، يُكلف هذا القرار اللاعب 10.45%. أقول: "عارٌ عليكم أيها الموزعون الذين يُشجعون هذا".

يوضح الجدول التالي أن نسبة ميزة المنزل هي 5.56%.

رهان منخفض

المجموع	التركيبات	احتمال	يدفع	يعود
صعب 6,8	2	0.055556	2	0.111111
ناعم 6,8	8	0.222222	1	0.222222
7	6	0.166667	1	0.166667
جميع الآخرين	20	0.555556	-1	-0.555556
المجموع	36	1		-0.055556

كلما قلّ عدد الأرقام السبعة، زادت احتمالات رهان خط المرور. يوضح الجدول التالي هامش ربح الكازينو وفقًا لنسبة الأرقام السبعة، بافتراض أن احتمال جميع الأرقام الأخرى متناسب مع الاحتمال العادل.

ميزة المنزل في لعبة الكرابس وفقًا لسبعة احتمالات

احتمالات سبعة	تمريرة حافة المنزل	لا تتجاوز حافة المنزل
15.000%	-0.666%	3.499%
15.333%	-0.202%	3.024%
15.667%	0.237%	2.574%
16.000%	0.652%	2.148%
16.333%	1.044%	1.744%
16.667%	1.414%	1.364%
17.000%	1.762%	1.005%
17.333%	2.089%	0.667%
17.667%	2.395%	0.349%
18.000%	2.682%	0.051%
18.333%	2.949%	-0.227%

أتلقى الكثير من الأسئلة حول مجموعات رهانات الكرابس. عادةً لا أجيب عليها، ولكن عندما تناديني بـ"الساحر العظيم والقوي"، فإن ذلك يزيد من فرصك في الحصول على رد. خطأك هو أن كلا الرهانين لا يُحسمان دائمًا. عندما تربح أيًا منهما، سواءً كان 6 أو 8، فإنك تُخفّض الرهان الآخر، مما يُقلل الخسارة المتوقعة لأنك تُراهن أقل. إذن، حساباتك صحيحة، لكنك تُقارن بين التفاح والبرتقال.

أنت محق، النرد وحده لا يُحدد النتيجة في لعبة الكرابس. هناك طرق مختلفة لاستخدام البطاقات بدلًا من النرد، مع بقاء احتمالات الفوز ثابتة. إحدى هذه الطرق هي استخدام مجموعتين منفصلتين من البطاقات، وبالتالي لا يُوجد أي تأثير لسحبها. طريقة أخرى هي استخدام مجموعة من 7 بطاقات، تحمل الأرقام من 1 إلى 6، بالإضافة إلى بطاقة مزدوجة سابعة. لا يُمكن أبدًا أن تكون البطاقة الأولى المسحوبة هي البطاقة المزدوجة. إذا كانت كذلك، تُعاد إلى مكانها وتُكرر العملية من البداية. إذا سُحبت البطاقة المزدوجة ثانيًا، تُحتسب بنفس الرقم الأول المسحوب. بغض النظر عن طريقة الكازينو، لم أرَ قط دليلًا قاطعًا على حالة كانت فيها الاحتمالات مختلفة عن استخدام نردين. لذا أعتقد أنك تُغفل شيئًا ما من القواعد.

نعم، كانت هناك قصة مسجلة عن بعض طلاب جامعة نيفادا، لاس فيغاس، وهم يحاولون استثمار 1000 دولار في 5000 دولار لشراء جهاز تلفزيون فاخر. لجأوا إليّ لنصيحتي حول أفضل طريقة لتحقيق هذا الهدف بسرعة. اقتصرت مسيرتي على ألعاب جولدن ناجيت. تتميز ناجيت بفرص ربح 10 أضعاف في لعبة الكرابس، وهو ما أتاح لي فرصة تحقيق هذا الهدف. كانت استراتيجيتي في كل رمية خروج هي المراهنة بالحد الأدنى (رأس المال/11، (5000 - رأس المال)/21)، مع مراعاة التقريب المناسب، وأخذ أقصى احتمالات. بهذه الطريقة، لن نتجاوز 5000 دولار أبدًا بعد فوزنا بنتيجة 4 أو 10، وسيكون لدينا دائمًا ما يكفي لأخذ كامل الاحتمالات، وسنخاطر بالحد الأقصى إذا لم يكن لدينا ما يكفي للوصول إلى 5000 دولار.

في الرهان الأول، كانت هذه الصيغة تتطلب رهانًا على خط النجاح بقيمة 90.91 دولارًا، لكنني قرّبته إلى 100 دولار. ثم ظهرت نقطة، أعتقد أنها 6 أو 8. في الرمية الثانية، خسر الرامي 7. وهكذا، ضاع المبلغ الإجمالي في رميتين. يبدو أن القصة لم تُثر اهتمامًا كبيرًا على التلفزيون، ولم تُبثّ على الهواء.

سؤالان أتوقع طرحهما: (1) لماذا راهنتُ على احتمالية النجاح بدلًا من عدم النجاح؟ و(2) لماذا لم أراهن بـ 91 دولارًا على الرهان و910 دولارات على الاحتمالات، مضافًا إليها دولار إضافي من مالي الخاص. للإجابة على السؤال الأول، أعتقد أن احتمالية النجاح أفضل لتحقيق ربح كبير وسريع. مع أن هامش الربح الإجمالي للكازينو أقل في احتمالية عدم النجاح، إلا أنني شعرتُ أن تحقيق هدف الـ 5000 دولار كان سيتطلب رميات أكثر، مما يعني زيادة في هامش الربح للكازينو. للإجابة على السؤال الثاني، لا يوجد فرق كبير بين احتمالات 9x و10x، ورأيتُ أنه سيبدو أفضل على التلفاز لو راهنتُ على الرقائق السوداء فقط، على الأقل في البداية.

كما يوضح قسم البلاك جاك ، فإن نسبة 2 إلى 1 في البلاك جاك تساوي 2.27%، ومضاعفة الرهان على 3 بطاقات تساوي 0.23%. وإلا، فالقواعد تبدو موحدة. مع الأخذ في الاعتبار جميع العوامل، فإن ميزة الكازينو في لعبة البلاك جاك تمنح اللاعب أفضلية قدرها 2.1%. احتمال الفوز على 4 أو 10 في لعبة الكرابس هو (6/36) × (3/9) = 5.56%. في كل مرة يحدث هذا، تحصل على وحدة إضافية، لذا فإن قيمتها تساوي 5.56%. عادةً ما تكون ميزة الكازينو على رهان "كوم" 1.41%، لذا فإن ميزة اللاعب الإجمالية بموجب هذه القاعدة هي 4.15%. لذا، أوافق على أن لعبة الكرابس كانت اللعبة الأفضل.

لم أكن أعلم بوجود رهان شراء في لعبة كرابس بلا كرابس. يوضح الجدول التالي هامش ربح الكازينو لرهانات المكان والشراء، بافتراض عدم وجود تقريب للأرباح. في مثالكم، رهان شراء بقيمة 30 دولارًا على رقمين أو 12، ستكون الأرباح 6 × 30 دولارًا - 1 دولار = 179 دولارًا. لذا، العائد المتوقع هو [(1/7) × 179 دولارًا + (6/7) × - 30 دولارًا] / 30 دولارًا = -0.0048، لذا نحن قريبون جدًا.

وضع وشراء الرهانات في Crapless Crapspass وشراء الاحتمالات في Crapless Craps

رهان	يدفع	احتمال الفوز	حافة المنزل
المكان 2، 12	11 إلى 2	0.142857	0.071429
المكان 3،11	من 11 إلى 4	0.25	0.0625
شراء 2، 12 (العمولة فقط على المكاسب)	119 إلى 20	0.142857	0.007143
شراء 3.11 (عمولة فقط على المكاسب)	من 59 إلى 20	0.25	0.0125
اشتري 2، 12 (العمولة دائما)	119 إلى 21	0.142857	0.047619
شراء 3.11 (العمولة دائما)	من 59 إلى 21	0.25	0.047619

من الصعب جدًا تقييد الموزعين بهذه الطريقة. في رهان دولارين، تصل نسبة ربح الكازينو إلى 29.02%، وفي رهان 5 دولارات، تصل إلى 41.94%.

يتضح من تحليلي لرهان النار أن احتمال إحراز الرامي جميع النقاط الست هو 0.000162435. وبالتالي، فإن قيمة العرض الترويجي لكل رامي هي 4000 دولار × 0.000162435 = 0.649739.

السؤال التالي هو: ما هي الخسارة المتوقعة لكل لاعب؟ نسبة ربح الكازينو على رهان خط المرور هي 7/495 = 1.414141%. والجزء الأصعب هو عدد رهانات خط المرور التي سيضعها اللاعب في المتوسط.

هناك أربع حالات محتملة يمكن أن يكون فيها مطلق النار. دعنا نحدد كل حالة على أنها العدد المتوقع لرهانات خط المرور المستقبلية لهذا مطلق النار.

• أ = لفة الخروج
• ب = نقطة 4 أو 10 تم صنعها
• ج = نقطة 5 أو 9 تم صنعها
• د = نقطة 6 أو 8 تم صنعها

فيما يلي المعادلات التي توضح احتمالية أن تؤدي كل حالة إلى الحالة التالية.

أ = 1 + (12/36)*أ + (6/36)*ب + (8/36)*ج + (10/36)*د
ب = (1/3)*أ
ج = (2/5)*أ
د = (5/11)*أ

يؤدي القليل من الجبر إلى الحصول على A = 2.525510، وهو عدد رهانات خط المرور التي قام بها كل لاعب.

وبالتالي، فإن الخسارة المتوقعة لكل مطلق بقيمة 5 دولارات هي 5 دولارات * 2.525510 * 0.0141414 = 0.178571.

المبلغ المتوقع للرهان من قبل الرامي هو 5 دولارات * 2.525510 = 12.627551 دولارا.

وأخيرًا، العائد المتوقع هو الربح المتوقع مقسومًا على الرهان المتوقع: (٠٫٦٤٩٧٣٩ - ٠٫١٧٨٥٧١) / ١٢٫٦٢٧٥٥١ = ٣٫٧٣١٢٧٪. وبالتالي، فإن هامش الكازينو هو -٣٫٧٣٪.

نعم، احتمال كل رقم مزدوج هو ١/٣٦. مع ذلك، يجب مقارنة ذلك باحتمالية الحصول على تركيبة خاسرة. في حالة الرقم أربعة الثابت، هناك ٨ رميات خاسرة (اثنتان لكل من ١-٦، ٢-٥، ٣-٤، و١-٣)، لذا فإن احتمال الفوز هو ١/٩. أما في حالة الرقم ستة الثابت، فهناك عشر رميات خاسرة (اثنتان لكل من ١-٦، ٢-٥، ٣-٤، ١-٥، و٢-٤)، لذا فإن احتمال الفوز هو ١/١١. يُدفع في حالة الرقم ستة الثابت أكثر لأن احتمال الفوز أقل.

يُقدّم Crapless Craps هذين الرهانين أيضًا. هناك طريقة واحدة للحصول على 2، وست طرق للحصول على 7، لذا فإن احتمال الفوز برهان المركز على الرقم 2 هو 1/7. وينطبق نفس الاحتمال على الرقم 12. كما هو موضح في سؤال الباكارات، إذا كان احتمال حدوث شيء ما هو p، فإن الاحتمالات العادلة هي (1/p) -1 إلى 1. في هذه الحالة، تكون الاحتمالات العادلة 6 إلى 1. يمكن التعبير عن ميزة الكازينو بالصيغة (ta)/(t+1)، حيث t هي الاحتمالات الحقيقية، وa هي الاحتمالات الفعلية. في Crapless Craps، يدفع رهان المركز على الرقمين 2 و12 11 إلى 2. باستخدام هذه الصيغة، تكون ميزة الكازينو على الرقمين 2 و12 هي (6-5.5)/(6+1) = 0.5/7 = 7.14%.

في لعبة Crapless Craps، يدفع الرهانان 3 و11 نسبة 11 إلى 4. وباستخدام نفس الصيغة، t=3 وa=2.75، تكون نسبة ميزة الكازينو 0.25/4 = 6.25%.

إذا تجاهلنا هامش ربح الكازينو (وهو منخفض جدًا في لعبة الكرابس إذا تم اللعب بها بشكل صحيح)، فإن احتمال ربح 500 دولار، بدلًا من خسارة 1000 دولار، هو 2/3. واحتمال الفوز في 4 من أصل 5 جلسات هو 5 × (2/3) ⁴ × (1/3) = 32.9%.

احتمال ظهور الرقم ٧ هو ١/٦، واحتمال ظهور الرقم ١٢ هو ١/٣٦. واحتمال ظهور الرقم ٧، إذا كانت الرمية ٧ أو ١٢، هو (١/٦)/((١/٦)+(١/٣٦)) = ٦/٧. لذا، فإن احتمال ظهور الرقم ٦ في أول ست مرات من الرميات، أي ٦ مرات، هو ( ^٦/٧ ) = ٣٩.٦٦٪.

إذا أعدت صياغة السؤال ليكون: ما هو احتمال ظهور خمس نتائج 6 قبل ظهور 12؟ الإجابة هي (6/7) ⁵ = 46.27%. بأربع رميات، تكون النسبة (6/7) ⁴ = 53.98%. لذا، لا يوجد عدد من نتائج 7 قبل ظهور 12 بنسبة 50/50 تمامًا. إذا كنت تبحث عن رهان خاسر جيد، فننصحك إما بظهور أربع نتائج 7 قبل ظهور 12، أو ظهور 12 قبل ظهور خمس نتائج 7.

تم طرح هذا السؤال ومناقشته في منتدى موقعي المرافق Wizard of Vegas .

في قائمة الخروج هناك ثلاث نتائج محتملة في هذه المرحلة.

1. سبعة خارج.
2. تكرار نقطة سبق ذكرها (4 إلى 9).
3. الحصول على 10 في لفة الخروج، ثم صنعها.

نحتاج إلى تحديد الاحتمالين الثاني والثالث فقط. سيُصيب الرامي نقطةً في النهاية، ثم يُصيبها في النهاية أو يُخرجها سبع مرات. احتمال أن يُصيب النقطة ويُصيبها هو من 4 إلى 9، وهو:

(3/24)×(3/9) + (4/24)×(4/10) + (5/24)×(5/11) + (5/24)×(5/11) + (4/24)×(4/10) = 0.364394.

احتمالية تحديد النقطة 10 ثم الوصول إليها هي (3/24)*(1/3) = 0.041667.

ليكن p هو احتمال الحصول على ١٠ نقاط قبل الخروج بسبع نقاط. إذا حصل اللاعب على أي نقطة أخرى، يعود إلى نقطة البداية. إذًا...

ص = 0.364394 × ص + 0.041667
ص × (1-0.364394) = 0.041667
ص = 0.041667/(1-0.364394)
ص = 0.065554

تم طرح هذا السؤال ومناقشته في منتدى موقعي المرافق Wizard of Vegas .

إذا تم تحديد نقطة، فإن احتمال إصابة الرامي للنقطة هو pr(النقطة هي 4 أو 10) × pr(إحداث 4 أو 10) + pr(النقطة هي 5 أو 9) × pr(إحداث 5 أو 9) + pr(النقطة هي 6 أو 8) × pr(إحداث 6 أو 8) = (6/24) × (3/9) + (8/24) × (4/10) + (10/24) × (5/11) = 201/495 = 0.406061.

إذا كان احتمال وقوع حدث ما هو p، فإن عدد مرات حدوثه المتوقع قبل الفشل هو p/(1-p). وبالتالي، فإن عدد النقاط المتوقع لكل رامٍ هو 0.406061/(1-0.406061) = 0.683673.

تم طرح هذا السؤال ومناقشته في منتدى موقعي المرافق Wizard of Vegas .

طُرح هذا السؤال على موقع TwoPlusTwo.com، وأجاب عليه BruceZ بشكل صحيح. الحل التالي هو نفس طريقة BruceZ، الذي يستحق التقدير. الإجابة صعبة، لذا انتبه.

1. أولاً، خُذ في الاعتبار العدد المتوقع للرميات للحصول على مجموع اثنين. احتمال الحصول على اثنين هو ١/٣٦، لذا يتطلب الأمر ٣٦ رمية في المتوسط للحصول على أول اثنين.

2. بعد ذلك، لنفترض عدد الرميات المتوقعة للحصول على الرقمين اثنين وثلاثة. نعلم بالفعل أن الحصول على الرقم اثنين يتطلب 36 رمية في المتوسط. إذا حصلنا على الرقم ثلاثة أثناء انتظار الرقم اثنين، فلن نحتاج إلى رميات إضافية للحصول على الرقم ثلاثة. أما إذا لم يحدث ذلك، فسيتعين رمي النرد أكثر للحصول على الرقم ثلاثة.

   احتمال ظهور الرقم ثلاثة هو 1/18، لذا يتطلب الأمر 18 رمية إضافية في المتوسط للحصول على الرقم ثلاثة، إذا ظهر الرقمان أولاً. بما أن هناك طريقة واحدة لظهور الرقمين، وطريقتين لظهور الرقم ثلاثة، فإن احتمال ظهور الرقمين أولاً هو 1/(1+2) = 1/3.

   إذن، هناك احتمال بنسبة 1/3 أننا سنحتاج إلى 18 رمية إضافية للحصول على الرقم 3. وبالتالي، فإن عدد الرميات المتوقع للحصول على الرقمين 2 و3 هو 36 + (1/3) × 18 = 42.

3. بعد ذلك، فكّر في عدد الرميات الإضافية التي ستحتاجها للحصول على أربعة أيضًا. بحلول الوقت الذي تحصل فيه على الرقمين اثنين وثلاثة، إذا لم تحصل على أربعة بعد، فسيتعين عليك رمي النرد ١٢ مرة أخرى، في المتوسط، للحصول على واحد. هذا لأن احتمال الحصول على أربعة هو ١/١٢.

   ما احتمال الحصول على أربعة قبل الحصول على اثنين وثلاثة؟ أولًا، لنراجع قاعدة شائعة للاحتمالات عندما لا يكون A وB متنافيين:

   العلاقات العامة (أ أو ب) = العلاقات العامة (أ) + العلاقات العامة (ب) - العلاقات العامة (أ و ب)

   تطرح pr(A وB) لأن هذا الاحتمال يُحسب مرتين في pr(A) + pr(B). إذًا،

   pr(4 قبل 2 أو 3) = pr(4 قبل 2) + pr(4 قبل 3) - pr(4 قبل 2 و3) = (3/4)+(3/5)-(3/6) = 0.85.

   احتمال عدم الحصول على الرقم أربعة في طريق الحصول على الرقمين اثنين وثلاثة هو 1.0 - 0.85 = 0.15. لذا، هناك احتمال بنسبة 15% للحاجة إلى 12 رمية إضافية. وبالتالي، فإن عدد الرميات المتوقع للحصول على الرقمين اثنين وثلاثة وأربعة هو 42 + 0.15 × 12 = 43.8.

4. بعد ذلك، فكّر في عدد الرميات الإضافية التي ستحتاجها للحصول على خمسة أيضًا. بحلول الوقت الذي تحصل فيه على الرقم من اثنين إلى أربعة، إذا لم تحصل على خمسة بعد، فسيتعين عليك رمي النرد 9 مرات أخرى، في المتوسط، للحصول على واحد، لأن احتمال الحصول على خمسة هو 4/36 = 1/9.

   ما احتمال الحصول على الخمسة قبل تحقيق الاثنين، أو الثلاثة، أو الأربعة؟ القاعدة العامة هي:

   pr (A أو B أو C) = pr(A) + pr(B) + pr(C) - pr(A و B) - pr(A و C) - pr(B و C) + pr(A و B و C)

   إذن، pr(5 قبل 2 أو 3 أو 4) = pr(5 قبل 2)+pr(5 قبل 3)+pr(5 قبل 4)-pr(5 قبل 2 و3)-pr(5 قبل 2 و4)-pr(5 قبل 3 و4)+pr(5 قبل 2 و3 و4) = (4/5)+(4/6)+(4/7)-(4/7)-(4/8)-(4/9)+(4/10) = 83/90. احتمال عدم الحصول على الرقم أربعة في الطريق إلى الرقمين اثنين وأربعة هو 1 - 83/90 = 7/90. لذا، هناك احتمال بنسبة 7.78% للحاجة إلى 7.2 رمية إضافية. وبالتالي، فإن العدد المتوقع للرميات للحصول على اثنين وثلاثة وأربعة وخمسة هو 43.8 + (7/90)*9 = 44.5.

5. استمر بنفس المنطق، لمجموع من ستة إلى اثني عشر. عدد العمليات الحسابية المطلوبة لإيجاد احتمال الحصول على الرقم التالي قبل الحاجة إليه هو عدد العمليات الحسابية، إذ يتضاعف الرقم الأخير تقريبًا في كل مرة. عند الوصول إلى اثني عشر، سيكون عليك إجراء 1023 عملية حسابية.

   هذه هي القاعدة العامة لـ pr(A أو B أو C أو ... أو Z)

   pr(A أو B أو C أو ... أو Z) =
   pr(A) + pr(B) + ... + pr(Z)
   - pr (A و B) - pr(A و C) - ... - pr(Y و Z) اطرح احتمال كل مجموعة من حدثين
   + pr (A و B و C) + pr(A و B و D) + ... + pr(X و Y و Z) أضف احتمال كل مجموعة من ثلاثة أحداث
   - pr (A و B و C و D) - pr(A و B و C و E) - ... - pr(W و X و Y و Z) اطرح احتمال كل مجموعة من أربعة أحداث

   ثم كرر العملية، وتذكر إضافة احتمالات الأحداث الفردية وطرح احتمالات الأحداث الزوجية. من الواضح أن هذا الأمر يصبح مملاً مع وجود عدد كبير من الأحداث المحتملة، مما يتطلب عملياً استخدام جدول بيانات أو برنامج حاسوبي.

يوضح الجدول التالي العدد المتوقع لكل خطوة. على سبيل المثال، ٣٦ للحصول على اثنين، و٤٢ للحصول على اثنين، وثلاثة. توضح الخلية اليمنى السفلية العدد المتوقع للرميات للحصول على جميع النتائج الإحدى عشرة، وهو ٦١٫٢١٧٣٨٥.

تم طرح هذا السؤال ومناقشته في منتدى موقعي المرافق Wizard of Vegas .

في 61 رمية، العدد المتوقع للسبعات هو 61 × (1/6) = 10.17. كان لديك 14. احتمال ظهور 14 سبعات بالضبط هو 7.96%، واحتمال ظهور 14 أو أكثر هو 12.77%. لذا، لا يوجد أي شيء غير عادي. أجريتُ أيضًا اختبار مربع كاي في كل رمية. أعلم أن إجراء اختبار مربع كاي على عينة صغيرة كهذه ليس بالأمر المقبول، لذا لا تأخذ النتائج بحذر. إليك النتائج:

تُظهر الخلية اليمنى السفلية إحصائية مربع كاي تساوي 8.70. احتمالية الحصول على إحصائية مرتفعة أو أعلى من ذلك مع عشر درجات حرية هي 56.09%. كانت هذه النتائج قريبة من ذروة منحنى الجرس، لذا يجتاز الكازينو اختبار مربع كاي العشوائية بسهولة.

الجواب هو 219.149467.

هناك طريقتان أفكر بهما لحل هذه المشكلة. الأولى هي استخدام سلسلة ماركوف. يوضح الجدول التالي عدد الرميات المتوقعة المطلوبة من أي حالة من الحالات الـ ١٢٨ الممكنة.

باختصار، فإن اللفائف المتوقعة من أي حالة معينة هي اللفائف المتوقعة حتى يتم الحصول على نقطة أو خسارتها (5.063636) بالإضافة إلى عدد اللفات المتوقعة إذا تقدم اللاعب إلى حالة أخرى، مقسومًا على احتمال عدم التقدم في الحالة.

الطريقة الأخرى تستخدم حساب التكامل. أولاً، احسب الرميات المتوقعة لكل نتيجة محتملة. ثم احسب حاصل الضرب النقطي لاحتمال كل حدث ومتوسط الرميات للحصول على متوسط الرميات لحل رهان خط النجاح، والذي يظهر في الزاوية اليمنى السفلية وهو 3.375758 = 557/165.

ومن هناك يمكننا الحصول على اللفات المتوقعة بين أي نقطة فوز معينة:

• اللفات بين نقطة 4 فائزة = (3/36) * (3/9) * 5 * (557/165) = 6684/55 = تقريبًا 121.527273.
• اللفات بين نقطة 5 فائزة = (4/36) * (4/10) * 4.6 * (557/165) = 1671/21 = حوالي 75.954545.
• الرميات بين نقطة 6 فائزة = (5/36) * (5/11) * (47/11) * (557/165) = 6684/125 = حوالي 53.472.

النتائج المتوقعة للفائز بـ 10 و9 و8 نقاط هي نفسها للفائز بـ 4 و5 و6 على التوالي.

لنفترض أنه بدلًا من أن يحدث فائز بنسبة 0.4 على أساس منفصل، فإنه يتبع توزيعًا أُسيًا بمتوسط 6684/55. احتمالية عدم حدوث هذا المتغير العشوائي لمدة x وحدات زمنية هي exp(-x/(6684/55)) = exp(-55x/6684).

احتمال حدوث ذلك خلال x وحدات من الزمن، مرة واحدة على الأقل، هو 1-exp(-55x/6684).

إذا مثلنا جميع النقاط الست كمتغيرات مستمرة، فإن احتمال حدوث كل هذه النقاط الست خلال x وحدات من الزمن هو (1-exp(-55x/6684))^2 * (1-exp(-22x/1671))^2 * (1-exp(-125x/6684))^2.

احتمال عدم وقوع حدث واحد على الأقل من الأحداث الستة خلال x وحدات زمنية هو 1 - (1-exp(-55x/6684))^2 * (1-exp(-22x/1671))^2 * (1-exp(-125x/6684))^2.

يمكننا الحصول على الوقت المتوقع لحدوث جميع الأحداث الستة عن طريق دمج ما سبق من 0 إلى ما لا نهاية.

إن استخدام هذه الآلة الحاسبة التكاملية يعطي إجابة 8706865474775503638338329687/39730260732259873692189000 = تقريبًا 219.1494672902.

من الصعب تفسير سبب نجاح هذا الأمر، لذا يرجى أخذ هذا الجزء على محمل الإيمان.

ستؤدي هذه القاعدة الرهيبة إلى زيادة نسبة ميزة المنزل من 1.41% إلى 33.26%.

أولاً، دعنا نضيف عمودًا إلى الجدول لإظهار النتيجة المتوقعة لكل إجمالي، بافتراض حدوث رمية عشوائية بالكامل.

لم تسألني عن كيفية تحليل البيانات، لذا سأفعل ذلك بعدة طرق مختلفة.

اختبار مربع كاي له قيمة إحصائية مربع كاي تساوي 21.43009، مع 10 درجات حرية. احتمال أن تكون البيانات منحرفة بهذا الشكل أو أكثر هو 1.83%.

بالنظر إلى الأرقام الداخلية فقط، والتي ذكرتَ أنها الهدف، بلغ إجمالي العدد المُحقق 12,802، بينما كان من المتوقع أن يكون الإجمالي 25,227 × (2/3) = 12613.5. هذا الفائض في الأرقام الداخلية أعلى من التوقعات بمقدار 2.52 انحراف معياري. واحتمالية حدوث هذا الفائض، أو أكثر، هي 0.59%.

لم أستطع إلا أن ألاحظ نقصًا في الأرقام السبعة. في 25,227 رمية، كانت الأرقام السبعة المتوقعة هي 25,227 × (1/6) = 4204.5. كان لدى الرامي 3,963. أي ما يعادل 4.08 انحرافًا معياريًا عن التوقعات. احتمال هذا النقص هو 0.0000225، أو واحد من 44,392.

مع ذلك، لا بد لي من القول إنه من السهل عادةً النظر إلى البيانات التاريخية واكتشاف أمرٍ مريب فيها. ولكن، من ناحية أخرى، يُعدّ تجنب السبعات هدفًا جوهريًا لمؤثر النرد.

الطريقة العلمية لاختبار ما إذا كان مطلق النار قادرًا على التأثير على النرد هي تحديد الهدف قبل جمع البيانات.