كينو - التعليمات

احتمال سحب n رقم في أول 40، أو آخر 40، أو أي 40 رقمًا محددًا هو combin(40,n)*combin(40,20-n)/combin(80,20). لذا، فإن احتمال ظهور 10 أرقام بالضبط في أول 40 (و10 أرقام في آخر 40) هو combin(40,10)*combin(40,10)/combin(80,20) = 0.203243. احتمال أن يكون أحد النصفين أكثر من الآخر هو 1-.203243 = 0.796757. احتمال أن يكون أحد النصفين أكثر من الآخر هو نصف هذا الرقم، أو 0.398378. إذا كان هذا الرهان متعادلًا، فإن نسبة ربح الكازينو ستكون 20.32%. إذا كان الرهان متعادلًا، فإن نسبة ربح الكازينو ستكون 18.70%. إذا كانت نسبة الربح 4 إلى 1، فسيكون لدى اللاعب ميزة 1.62%. فيما يتعلق بتوقعات لعبة البلاك جاك الإيجابية على الإنترنت، كلما لعب اللاعب أكثر، زاد احتمال ربحه الصافي. أفضل لعبة حاليًا هي لعبة Unified Gaming ذات المجموعة الواحدة من الأوراق، مع ميزة للاعب تبلغ 0.16%. إذا راهن اللاعب على مليون يد، فسيظل احتمال خسارته حوالي 8.6%. في لعبة Boss Media ذات اللاعب الفردي، مع ميزة للاعب تبلغ 0.07%، يبلغ احتمال الخسارة بعد مليون يد حوالي 27.5%.

لا يوجد أي فرق.

أشك في أن بعض الأرقام أرجح من غيرها. نصيحتي هي اختيار أي رقم، لا فرق.

عائدك المتوقع الإجمالي هو نفسه بغض النظر عن عدد الألعاب التي تلعبها. بالطبع، من المرجح أن تحقق رقمًا معينًا كلما زاد عدد الأجهزة التي تلعب عليها، ولكن إذا لم تحقق جميعها عائدًا، فستخسر المزيد من المال.

تعتبر لعبة باي غاو بوكر هي الأقل تقلبًا وفي المتوسط تعد لعبة كينو هي الأكثر تقلبًا.

في نيفادا، وأعتقد في أسواق القمار الرئيسية الأخرى في الولايات المتحدة، الكرات عشوائية حقًا، والنتيجة تُحددها الكرات. أما في ماكينات القمار من الفئة الثانية، والتي تُوجد أحيانًا في الكازينوهات الهندية، فكل شيء جائز.

احتمال فوز رهان التعادل هو: (combin(40,10)*combin(40,10)/combin(80,20) = 0.203243. عند دفع 3 إلى 1، تكون نسبة ربح الكازينو 18.703%. احتمال فوز رهان ظهور الصورة (أو الكتابة) هو (1-0.20343)/2 = 0.398378. عند دفع مبلغ متساوٍ، تكون نسبة ربح الكازينو 20.324%.

ستصلك المجاملات إلى كل مكان. عدد التركيبات لـ n من الرؤوس هو combin (40,n)*combin(40,20-n). هذا هو عدد طرق اختيار n من الأرقام من أعلى 40، و20-n من أسفل 40. يوضح الجدول التالي احتمالية ظهور 0 إلى 20 رأسًا.

احتمالية الحصول على جميع الأرقام العشرين هي 1 في المجموع (80، 20) = 3,535,316,142,212,180,000. لذا، فإن الاحتمالات أقرب إلى 3.5 كوينتيليون إلى واحد. بافتراض وجود 5 مليارات شخص على الأرض، وأنهم جميعًا يلعبون مرة واحدة أسبوعيًا، فسيكون هناك فائز واحد كل 13.56 مليون سنة في المتوسط. تدفع معظم الكازينوهات المبلغ نفسه للفوز بما يقارب 20. على سبيل المثال، يدفع فندق لاس فيغاس هيلتون 20,000 دولار للفوز بـ 17 أو أكثر من أصل 20. لم أسمع قط عن أي شخص يفوز دائمًا بـ 20 من أصل 20، وأشك كثيرًا في حدوث ذلك.

لا أتفق معك. لا أستطيع أن أتخيل كازينو كبيرًا واحدًا في قطاع لاس فيغاس يخلو من صالة كينو. عمومًا، الكازينوهات الوحيدة التي لا تحتوي على كينو هي الكازينوهات المحلية في ضواحي لاس فيغاس، لأن معظمنا نحن السكان المحليين نعلم أن الكينو لعبة خاسرة.

ملاحظة: كتب لي أحد القراء لاحقًا لتصحيح معلوماتي، قائلاً إن كازينو نيويورك نيويورك في لاس فيجاس قام بإزالة صالة الكينو الخاصة به.

أتمنى أن تكون سعيدًا، فقد قضيتُ اليوم كله في هذا. بعد كتابة وتشغيل محاكاة، وجدتُ أن احتمال احتواء أي ثلاثة خطوط على 11 علامة أو أكثر هو 86.96%! هذا لا يمنح الطرف الآخر فرصةً للقتال. يمكنك الوصول إلى 12 علامة ولا يزال لديك احتمال فوز بنسبة 53.68%، أو ميزة بنسبة 7.36%. مع ذلك، أعتقد أنك أخطأت في رهان الصف الفارغ. احتمال وجود صف واحد فارغ على الأقل هو 33.39% فقط، لذا من الأفضل اختيار الجانب الآخر لعدم وجود صفوف فارغة. أثناء قيامي بذلك، قمتُ بالعديد من الاحتمالات الأخرى ووضعتها في صفحة جديدة لدعامات الكينو . إليك قائمة من تلك الصفحة بهذه الرهانات وغيرها من الرهانات الجيدة ذات الأموال المتساوية. تم إدراج الجانب الجيد.

تمامًا مثل لعبة الكينو المباشرة، تكون الاحتمالات هي نفسها بغض النظر عما تختاره، ولكنها مستقلة عن الكرات التي تسحبها اللعبة.

هذه في الواقع مسألة صعبة للغاية. من السهل حساب احتمالية سحب أيٍّ من كراتك الأربع، بما في ذلك التكرارات. الجزء الصعب هو تحديد احتمالية اختيار x من الكرات المختلفة، بشرط أن تكون أيٌّ منها قد اختيرت y مرة. أشير إلى الإجابة والحل في صفحتي على MathProblems.info ، المسألة 205.

1/2.

إذا استخدمنا لعبة الكينو للمقارنة، فسيكون لدى كل شخص 40 جينًا، كل منها مُمَثَّل بكرة كينو. ومع ذلك، سيكون لكل كرة رقم فريد. عندما يتزاوج شخصان غير مرتبطين، يكون الأمر أشبه بدمج 80 كرة بينهما في وعاء، واختيار 40 جينًا عشوائيًا لنسل التزاوج.

عندما خُلقت، حصلت على نصف الكرات في القادوس، وضاع النصف الآخر. عندما خُلقت، حصل أخوك أو أختك على نصف الكرات المسحوبة عند ولادتك، والنصف الآخر غير المسحوب. لذا، فأنتما متطابقان وراثيًا بنسبة ٥٠٪. وللسبب نفسه، إذا سُحبت ٤٠ رقمًا في لعبة الكينو، فإن سحبتين متتاليتين سينتج عنهما ٢٠ كرة مشتركة في المتوسط.

تم طرح هذا السؤال ومناقشته في منتدى موقعي المرافق Wizard of Vegas .

كتذكير لقرائنا الآخرين، تُلعب لعبة كليوباترا كينو كلعبة كينو تقليدية، إلا أنه إذا تطابقت آخر كرة مسحوبة مع أحد اختيارات اللاعب وحققت فوزًا، فسيفوز اللاعب أيضًا بـ ١٢ لعبة مجانية بمضاعف ٢x. الألعاب المجانية لا تُكسب المزيد من الألعاب المجانية.

لم تُحدد عدد مرات الالتقاط أو جدول الأجور، لذا لنستخدم جدول الأجور 3-10-56-180-1000 لاختيار 8 كمثال. أولًا، لنحسب العائد.

عدد طرق التقاط x كرة من y في لعبة الكينو هو عدد طرق اختيار x كرة من 20 وyx من 60. هذا يساوي combin(20,x)*combin(60,yx)، وذلك بصيغة Excel. وللتذكير، combin(x,y) = x!/(y!*(xy)!). وأخيرًا، x! = 1*2*3*...*x.

بعد هذه المراجعة، إليكم جدول العائدات لجدول الأرباح. يُظهر العمود الأيمن مربع الربح المتوقع، والذي سنحتاجه لاحقًا.

الآن، لنحسب متوسط المكافأة. يتضح من الجدول أعلاه أن متوسط الربح، دون احتساب المكافأة، هو 0.593301. يحصل اللاعب في هذه المكافأة على 12 دورة مجانية مضاعفة. وبالتالي، فإن الربح المتوقع من المكافأة هو 2 × 12 × 0.593301 = 14.239212.

الآن، لنحسب احتمال الفوز بالمكافأة. إذا التقط اللاعب أربعة أرقام، فإن احتمال أن تكون الكرة العشرون واحدة منها هو 4/20. عمومًا، إذا التقط اللاعب الرقم c، فإن احتمال أن تكون الكرة العشرون قد ساهمت في الفوز هو c/20.

صيغة الفوز بالمكافأة هي احتمال (الفرصة الرابعة) * (4/20) + احتمال (الفرصة الخامسة) * (5/20) + احتمال (الفرصة السادسة) * (6/20) + احتمال (الفرصة السابعة) * (7/20) + احتمال (الفرصة الثامنة) * (8/20). نعرف احتمال أي فوز من جدول العائدات أعلاه. لذا، فإن احتمال الفوز بالمكافأة هو:

0.081504*(4/20) + 0.018303*(5/20) + 0.002367*(6/20) + 0.000160*(7/20) + 0.000004*(8/20) = 0.021644.

وباستخدام احتمالية الفوز بالمكافأة ومتوسط الفوز بالمكافأة، يمكننا حساب العائد من المكافأة على النحو التالي: 0.021644 × 14.239212 = 0.308198.

ليس أننا بحاجة إلى معرفة ذلك، ولكن العائد الإجمالي للعبة هو العائد من اللعبة الأساسية بالإضافة إلى العائد من المكافأة، وهو ما يساوي 0.593301 + 0.308198 = 0.901498.

لنبدأ الآن بشرح التباين الفعلي. للتذكير، الصيغة العامة للتباين هي:

var(x + y) = var(x) + var(y) + 2*cov(x,y)، حيث var تعني التباين وcov تعني التغاير. في هذه الحالة:

التباين الإجمالي = var(اللعبة الأساسية) + var(المكافأة) + 2*cov(اللعبة الأساسية والمكافأة).

الصيغة الأساسية للتباين هي E(x^2) - [E(x)]^2. بمعنى آخر، مربع الربح المتوقع مطروحًا منه مربع الربح المتوقع.

مع ذلك، لنبدأ بتباين اللعبة الأساسية. تذكروا عندما ذكرتُ سابقًا متى نحتاج إلى مربع الفوز المتوقع من الجدول الأول. تُظهر لنا الخلية السفلية اليمنى من الجدول الأول أن مربع الفوز المتوقع هو 19.530214. نعلم بالفعل أن الفوز المتوقع هو 0.593301. وبالتالي، فإن تباين اللعبة الأساسية هو 19.530214 - 0.593301 ^² = 19.178208.

الآن، لنحسب تباين المكافأة (بافتراض أنها مُحققة بالفعل). لذلك، تذكر ما يلي:

var(ax) = a ² x، حيث a هو ثابت.

وتذكر أيضًا أن تباين n متغير عشوائي x هو nx.

مع ذلك، إذا كان x هو الربح الأساسي في لعبة المكافأة، فإن تباين المكافأة بأكملها يساوي ² × 12 × x. نعلم من المعادلة السابقة أن تباين دورة واحدة في اللعبة الأساسية، دون احتساب المكافأة، يساوي 19.178208. لذا، فإن تباين المكافأة، بشرط الحصول على مكافأة بالفعل، هو ² × 12 × 19.178208 = 920.554000.

مع ذلك، ما نحتاج معرفته هو تباين المكافأة قبل سحب الكرة الأولى، بما في ذلك احتمال عدم الفوز بها إطلاقًا. لا، لا يمكننا ببساطة ضرب تباين المكافأة في احتمال الفوز بها. بدلًا من ذلك، تذكر أن var(x) = E(x^2) - [E(x)]^2. لنعد ترتيب ذلك إلى:

E(x^2) = var(x) + [E(x)]^2

نحن نعلم المتوسط والتباين للمكافأة، لذا فإن مربع الفوز المتوقع في المكافأة هو 920.554000 + 19.178208 ² = 1123.309169.

وبالتالي، فإن مربع الفوز المتوقع من المكافأة، قبل سحب الكرة الأولى، هو prob(bonus) × E(x^2) = 0.021644 × 1123.309169 = 24.313239.

لقد حسبنا بالفعل الربح المتوقع من المكافأة قبل الكرة الأولى، وهو 0.308198. وبالتالي، فإن التباين الإجمالي للمكافأة قبل الكرة الأولى هو 24.313239 - 0.308198 ² = 24.218253.

الخطوة التالية هي حساب التباين. قد تتساءل: "لماذا يوجد ارتباط بين الفوز الأساسي والفوز الإضافي؟". ذلك لأن آخر كرة مسحوبة يجب أن تُسهم في الفوز لتفعيل المكافأة. وبما أن الكرة الأخيرة ساهمت في الفوز، فإن متوسط الفوز يرتفع. للتذكير، تنص صيغة بايز لاحتمالية الشرط على ما يلي:

P(A معطاة B) = P(A و B)/P(B).

دعونا الآن نعيد عمل جدول الإرجاع للعبة الأساسية، مع الأخذ في الاعتبار أن الكرة الأخيرة كانت ضربة:

تُظهر الخلية الموجودة في أسفل اليمين أنه بافتراض أن الكرة الأخيرة كانت ضربة، فإن متوسط الفوز هو 6.757734.

بعد ذلك، تذكر من درس الإحصاء في جامعتك أن:

cov(x,y) = exp(xy) - exp(x)*exp(y) .

في حالتنا، لنفترض أن x = الفوز الأساسي في اللعبة، وy = الفوز الإضافي. لنبدأ بـ exp(xy).

Exp(xy) = احتمال (المكافأة المربحة) * (متوسط الفوز في المباراة الأساسية مع مكافأة الفوز) * متوسط (الفوز بالمكافأة) + احتمال (عدم الفوز بالمكافأة) * (متوسط الفوز في المباراة الأساسية مع مكافأة الفوز) * متوسط (الفوز بالمكافأة مع مكافأة الفوز). من السهل القول إن متوسط (الفوز بالمكافأة مع مكافأة الفوز) = 0، لذا يُمكننا إعادة صياغته كالتالي:

Exp(xy) = احتمال (المكافأة التي تم ربحها) * (متوسط الفوز في اللعبة الأساسية مع المكافأة التي تم ربحها) * متوسط (الفوز بالمكافأة) =

لقد قمنا بالفعل بحل E(x) و E(y)، لذا فإن التباين هو:

cov(x,y) = exp(xy) - exp(x)*exp(y) = 2.082719 - 0.593301 × 0.308198 = 1.899865.

دعونا نعود إلى المعادلة الإجمالية للتباين عندما يتعلق الأمر بالتغاير:

التباين الكلي = var(اللعبة الأساسية) + var(المكافأة) + 2*cov(اللعبة الأساسية والمكافأة) = 19.178208 + 24.218253 + 2×1.899865 = 47.196191. الانحراف المعياري هو الجذر التربيعي لذلك، وهو 6.869948.

حسناً، هذا كل ما في الأمر. استغرق مني هذا ساعات، لذا آمل أن تكون سعيداً.

تم طرح هذا السؤال ومناقشته في منتدياتي في Wizard of Vegas .

بعد بحث، وجدتُ أن هذا ليس رهانًا جانبيًا، بل ما تدفعه بطاقة "اختر 20" عند الحصول على صفر. فيما يلي تحليلي الكامل لبطاقة "اختر 20" من كازينوهات ستيشن.

تُظهر الخلية الموجودة في أسفل اليمين أن العائد الإجمالي للتذكرة هو 69.70%، وهو أمر طبيعي بالنسبة للكينو المباشر.

للإجابة على السؤال حول الحصول على 0، يظهر عمود الاحتمالية أن احتمال ذلك هو 0.001186 وفي حالة الفوز بـ 200 مقابل 1، فإنه يعود بنسبة 23.71% نحو العائد.

يوضح الجدول التالي عدد التركيبات، والاحتمال، والمساهمة في أصغر كرة (حاصل ضرب الكرة في الاحتمال). تُظهر الخلية اليمنى السفلية أن أصغر كرة متوقعة هي 9.1818182.

هناك طريقة أسهل لحل مسائل كهذه، حيث تكون قيمة الكرة الأصغر هي 1. صيغة الكرة الأصغر هي (م+1)/(ب+1)، حيث م هي أقصى قيمة للكرة و ب هي عدد الكرات. في هذه الحالة، م=100 و ن=10، لذا فإن قيمة الكرة الأصغر هي 101/11 = 9.181818.

تم طرح هذا السؤال ومناقشته في منتدياتي في Wizard of Vegas .