ألعاب غير كازينو - التعليمات

دعوني أولاً أجيب على السؤال غير المطروح حول احتمال ظهور رقم معين n مرة على ورقة نقدية عشوائية. تحتوي الورقة النقدية على 8 أرقام، لذا فإن احتمال ظهور رقم معين n هو: combin(8,n)*0.1 ⁿ *0.9 ^8-n /10 ^8. إليكم جدولًا يوضح احتمال ظهور رقم معين من 0 إلى 8.

يوضح الجدول التالي احتمالية كل نوع ممكن من الأوراق النقدية، مُصنّفًا حسب عدد كل ن من نفس النوع. على سبيل المثال، الرقم التسلسلي 66847680 سيحتوي على ثلاثة أنواع، وزوج واحد، وثلاثة أنواع مفردة، باحتمالية 0.1693440.


البلوط = "من نوع ما"

لمزيد من المعلومات، راجع صفحتي على liars poker .

ربحك المتوقع ثابت بغض النظر عن عدد مرات تقسيم إيداعاتك. الاستراتيجية الجيدة هي إيداع وسحب نفس المبلغ مرارًا وتكرارًا قدر الإمكان. مع ذلك، قد تكون فرصك ضئيلة جدًا بحيث لا يستحق الأمر كل هذا العناء.

احتمال مطابقة ثلاثة أرقام هو ١/٢١٦. احتمال مطابقتين هو ٣*٥/٢١٦. احتمال مطابقة واحدة هو ٢٥*٥/٢١٦. احتمال عدم مطابقة أي رقم هو ٥*٥*٥/٢١٦. لذا، فإن العائد المتوقع هو ٣*(١/٢١٦)+٢*(١٥/٢١٦)+١*(٧٥/٢١٦)-١*(١٢٥/٢١٦)=-١٧/٢١٦=-٧.٨٧٪. لا يوجد عدد مثالي للرهانات، وستخسر ٧.٨٧٪ من إجمالي قيمة الرهان مهما فعلت.

يمكن إجراء هذه الرهانات في كل من لعبة sic bo ولعبة chuck a luck .

ربما يكون هذا هو السؤال الأكثر شيوعًا الذي أتلقاه والذي لا أملك إجابة عليه. لم يسبق لأحد أن لعب لعبة سوليتير كلوندايك كاملة. ربما، عندما تصبح أجهزة الكمبيوتر أسرع بملايين المرات، سيفعلها أحدهم في النهاية. مع ذلك، يُشاع أن كازينوهات فيغاس كانت تُقدم اللعبة منذ خمسينيات القرن الماضي على الأقل. لقد طلبت من عدد من مُحبي فيغاس القدامى التحقق من ذلك، لكن لم يتمكن أي منهم من ذلك حتى الآن.

مع كل لفة جديدة، احتمال أن تكون اللفات الأربع التالية كلها ستة مزدوجة هو (1/36) ⁴ = 1 في 1679616.

ابدأ بإزالة لؤلؤتين من الصف الذي يحتوي على 3 لؤلؤات، ليتبقى 1+4+5. بغض النظر عما يفعله خصمك في دورك التالي، اتركه مع أيٍّ من الخيارات التالية: 1+1+1، 1+2+3، أو 4+4. من أيٍّ من هذه الخيارات، اجبر خصمك على وضع كومتين من لؤلؤتين أو أكثر، أو عدد فردي من الأكوام من لؤلؤة واحدة.

أفضل المجموعة البرتقالية، فهي توفر أفضل عائد استثمار. على سبيل المثال، يبلغ سعر الفندق ٥٠٠ دولار للمجموعة البرتقالية، ومتوسط إيجاره ٩٦٦.٦٧ دولارًا، بنسبة إيجار إلى مصاريف ١.٩٣. المجموعة الوحيدة ذات النسبة الأعلى هي المجموعة الزرقاء الفاتحة، بنسبة ٢.٢٧. مع ذلك، يبلغ الحد الأقصى للإيجار للمجموعة الزرقاء الفاتحة ٦٠٠ دولار فقط. إيجارات المنازل المكونة من ثلاثة منازل في المجموعة البرتقالية مماثلة لإيجارات الفنادق في المجموعة الزرقاء الفاتحة، ولكنها أقل بنسبة ٢٠٪، مع وجود مساحة لبناء المزيد. كما أن المجموعة البرتقالية جاهزة للسكن فور خروجك من السجن. لذا، اتبع نصيحتي، وحاول عند التداول الحصول على المجموعة البرتقالية.

أفضل نصيحة في هذا الموقع قد تكون: في الجولة الأولى، اختر الورقة دائمًا. وذلك لأن اللاعبين الهواة يميلون إلى اختيار الحجر من المرة الأولى. ما عليك سوى مد يدك في كل موضع، واحدًا تلو الآخر، وستجد أن الحجر هو الخيار الأكثر راحة وطبيعية. إذا لعبت جولات متكررة، فيجب عليك اختيار ما يهزم خصمك في الجولة الأخيرة باحتمالية أقل من الثلث. وذلك لأنني أعتقد أن الهواة يكررون أقل من ثلث الوقت. إذا كنت تلعب مع لاعب محترف تخشى أن يتسلل إلى رأسك، فقم بالاختيار العشوائي من خلال النظر إلى عقرب الثواني في ساعتك، واقسم عدد الثواني على ثلاثة وخذ الباقي، ثم قم بربط الباقي على النحو التالي: 0 = حجر، 1 = مقص، 2 = ورقة (أو أي ربط آخر طالما تم تحديده مسبقًا). لذا في المرة القادمة التي تذهب فيها إلى مطعم على الطريقة الهولندية، أقترح عليك لعب جولة واحدة للفحص ثم اختر الورقة. يمكنك أن تشكرني لاحقًا.

لمن لا يعرف لعبة "ريسك"، فهي أعظم لعبة لوحية على الإطلاق. من لم يلعبها لم يعشها بعد. للإجابة على سؤالك في معركة 3 ضد 2 الشائعة، إليك النتائج المحتملة:

• المدافع يخسر كلاهما: 37.17%
• كل واحد يخسر واحد: 33.58%
• يخسر المهاجم كلاهما: 29.26%

يوضح الجدول التالي احتمال النجاح في اللفة الأخيرة وفقًا لعدد النرد الإضافي الذي تحتاجه لصنع Yahtzee.

يوضح الجدول التالي احتمالات التحسن. يوضح العمود الأيسر عدد النرد اللازم قبل أي رمية، بينما يوضح العمود العلوي العدد اللازم بعد الرمية. يوضح الجدول احتمالية درجة التحسن المحددة.

الجدول التالي يوضح احتمالية الحاجة إلى 0 إلى 4 أحجار نرد إضافية في اللفة الأولية لتكوين Yahtzee.

يوضح الجدول التالي احتمالية التحسن، ثم النجاح النهائي، وفقًا للعدد المطلوب بعد الرمية الأولى. على سبيل المثال، إذا احتاج اللاعب إلى 3 أحجار نرد إضافية لتشكيل ياتزي، فإن احتمالية التحسن إلى الحاجة إلى حجرين إضافيين بعد الرمية الثانية والفوز بالياتزي في الرمية الثالثة هي 0.010288066.

للحصول على الإجابة النهائية، احسب حاصل الضرب النقطي للعدد المطلوب بعد رمية النرد الأولى على طاولتين، ثم احسب احتمالية النجاح في العمود الأخير على طاولة واحدة. هذا يساوي 0.092593*0.012631+ 0.694444*0.029064 + 0.192901*0.093364 + 0.019290*0.305556 + 0.000772*1 = 4.6028643%. للتأكد من ذلك، أجريت محاكاة للعبة 100,000,000، وكانت احتمالية المحاكاة 4.60562%.

أولاً، يمكننا استبعاد فكرة لعب الورق. بغض النظر عمّا يرميه اللاعب الآخر، ستُحقق نتيجة مساوية أو أفضل برمي الديناميت على الورقة. بمجرد استبعاد الورقة، يصبح الديناميت هو الورقة الجديدة، متغلبًا على الحجرة ومُخسرًا أمام المقص. لذا، فإن الاستراتيجية المثالية هي الاختيار عشوائيًا، وباحتمالات متساوية، بين الحجرة والمقص والديناميت.

طرحتُ هذا السؤال على راندي هيل من شركة "فن إندستريز" . قال إنه يجب عليك مد ذراعيك، وراحة يديك للأسفل، وترك النقود تتدفق على باطن يديك وذراعيك. عندما يتراكم لديك ما يكفي، ضعها في الفتحة.

دعونا نطلق على x عدد التقلبات المتوقعة من نقطة البداية.
دعونا نسمي y عدد التقلبات المتبقية المتوقعة إذا كان أحد الجانبين هو تقلب واحد في الأغلبية.
دعونا نطلق على z العدد المتوقع للتقلبات المتبقية إذا كان أحد الجانبين يحتوي على تقلبين في الأغلبية.

E(x) = 1 + E(y)
E(y) = 1 + 0.5*E(x) + 0.5*E(z)
E(z) = 1 + 0.5*E(y)

من السهل إذن، من خلال جبر المصفوفات، أن نلاحظ أن E(x) = 9، وE(y) = 8، وE(z) = 5. لذا، في المتوسط، سيستغرق الأمر 9 رميات ليصبح الفرق بين النقش والكتابة 3. لذا، عند 8 روبيات، يُعد هذا رهانًا جيدًا لمن يحصل على روبية واحدة في كل رمية، لأنه سيحصل في المتوسط على 9 روبيات، لكنه سيسدد 8 روبيات فقط. تبلغ نسبة ربح الكازينو للمقامر 11.11%. عند 9 روبيات، يُعد رهانًا عادلًا، أما عند 7 روبيات، فتبلغ نسبة ربح الكازينو 22.22%.

أشرح في عمود ٢٨/١١/٢٠٠٢ كيفية اللعب عندما يتبقى ثلاثة صفوف فقط. إليك استراتيجيتي للعب بأربعة صفوف. عندما يحين دورك، انظر إلى ترتيب الصفوف على طول العمود الأيسر والعب ما هو موجود في العمود الأيمن. على سبيل المثال، موضع البداية ٣٤٥٦ هو الأخير، ويُظهر أنه يجب عليك إزالة ٤ لآلئ من الصف الذي يحتوي على ٥، ليتبقى ١٣٤٦. إذا كان العمود الأيسر يقول "خسارة"، فلا سبيل للفوز إذا اتبع الخصم الاستراتيجية المثلى، وهو ما يبدو أن لعبة Transcience تفعله دائمًا.

يبدو أن أحد أنماط هذا الجدول هو إجبار الخصم على وضع يكون فيه مجموع اللآلئ في أصغر وأكبر الصفوف مساويًا لمجموع اللآلئ في المنتصف. وهذا يشمل ترك صفر في الصف الذي يحتوي على أقل عدد من اللآلئ.

كتب براد س. ليضيف استراتيجية عامة لأي عدد من اللآلئ والصفوف. أولًا، عليك تقسيم كل صف إلى مكوناته الثنائية. على سبيل المثال، نقطة بداية لعبة Transcience ستكون كما يلي.

• 3 = 2 + 1
• 4 = 4
• 5 = 4 + 1
• 6 = 4 + 2

ثم حاول ترك عدد زوجي من كل قوة من قوى 2. على سبيل المثال، في المثال السابق، يوجد رقمان 1، ورقمان 2، وثلاثة أرقام 4. وبالتالي، يصبح لديك 4 إضافية. ثم احذف 4 من أي صف يحتوي على حد 4. استمر في ذلك حتى تتمكن من تقليص عدد أرقام خصمك إلى 2، أو 2، أو عدد فردي من الأرقام 1.

جرب هذه الاستراتيجية في لعبة بيرل 3 ، ستفوز دائمًا. إذا بدأتَ بخسارة كما فعلتُ في اللعبة 10 (4+7+8+11)، يمكنك الضغط على "انطلق" لجعله يبدأ أولًا.

أنت على الطريق الصحيح مع الأرقام الثنائية، ولكن هذه ليست استراتيجية الفوز تمامًا. أولًا، إذا استطعت ترك خصمك بعدد فردي من الصفوف، كل صف يحتوي على رقم واحد، فافعل ذلك. وإلا، فقسّم كل صف إلى مكوناته الثنائية. على سبيل المثال، 99 يساوي 64 + 32 + 2 + 1. ثم اجمع عدد كل مكون على جميع الصفوف. ثم ابحث عن طريقة تجعل خصمك يمتلك عددًا زوجيًا من جميع المكونات الثنائية على جميع الصفوف.

لنلقِ نظرة على مثال. لنفترض أن دورك في السيناريو التالي.

يقوم الجدول التالي بتقسيم كل صف إلى مكوناته الثنائية.

دور اللاعب 1

صف	1	2	4	8	16
6	0	1	1	0	0
9	1	0	0	1	0
4	0	0	1	0	0
5	1	0	1	0	0
25	1	0	0	1	1
المجموع	3	1	3	2	1

كما ترى، هناك عدد فردي من الآحاد والاثنينات والأربعات والستة عشر. من الواضح أننا نحتاج إلى وضع صف الـ ٢٥ تحت ١٦ لحذف الوحدة ١٦. وللحفاظ على مجموع العناصر الثنائية زوجيًا، نحتاج إلى حذف ١، وإضافة ٢، وإضافة ٤، والإبقاء على ٨، ثم حذف ١٦. هذا يعني أن أفضل طريقة هي ٢ + ٤ + ٨ = ١٤ في الصف الأخير. وبترك ١٤ في الصف السفلي، نحصل على ما يلي.

دور الكمبيوتر 1

صف	1	2	4	8	16
6	0	1	1	0	0
9	1	0	0	1	0
4	0	0	1	0	0
5	1	0	1	0	0
14	0	1	1	1	0
المجموع	2	2	4	2	0

يأتي دور الكمبيوتر، ويترك لنا هذا.

وهنا التقسيم الثنائي لذلك.

دور اللاعب الثاني

صف	1	2	4	8	16
6	0	1	1	0	0
9	1	0	0	1	0
2	0	1	0	0	0
5	1	0	1	0	0
14	0	1	1	1	0
المجموع	2	3	3	2	0

هنا نحتاج إلى حذف ٢ و٤ لنحصل على المجموعين متساويين. يوجد صف واحد فقط، وهو الصف ١٤، والذي يحتوي على كلا العنصرين. لذا، نحذف ٦ منه، ليتبقى ٨.

دور الكمبيوتر الثاني

صف	1	2	4	8	16
6	0	1	1	0	0
9	1	0	0	1	0
2	0	1	0	0	0
5	1	0	1	0	0
8	0	0	0	1	0
المجموع	2	2	2	2	0

يأتي دور الكمبيوتر، ويترك لنا هذا.

الآن نحتاج إلى تغيير الأعمدة 1 و 4 و 8.

دور اللاعب الثالث

صف	1	2	4	8	16
6	0	1	1	0	0
4	0	0	1	0	0
2	0	1	0	0	0
5	1	0	1	0	0
8	0	0	0	1	0
المجموع	1	2	3	1	0

يمكن القيام بذلك عن طريق تغيير الصف من 8 إلى 5 على النحو التالي.

دور الكمبيوتر الثالث

صف	1	2	4	8	16
6	0	1	1	0	0
4	0	0	1	0	0
2	0	1	0	0	0
5	1	0	1	0	0
5	1	0	1	0	0
المجموع	2	2	4	0	0

يأتي دور الكمبيوتر، ويترك لنا هذا.

الآن نحتاج إلى تغيير الإجمالي 2 و 4.

دور اللاعب الرابع

صف	1	2	4	8	16
6	0	1	1	0	0
4	0	0	1	0	0
2	0	1	0	0	0
5	1	0	1	0	0
3	1	1	0	0	0
المجموع	2	3	3	0	0

يمكن القيام بذلك عن طريق تغيير الرقم 6 إلى 0.

دور الكمبيوتر الرابع

صف	1	2	4	8	16
0	0	0	0	0	0
4	0	0	1	0	0
2	0	1	0	0	0
5	1	0	1	0	0
3	1	1	0	0	0
المجموع	2	2	2	0	0

يأتي دور الكمبيوتر، ويترك لنا هذا.

الآن نحتاج إلى تغيير 2 و 4.

دور اللاعب الخامس

صف	1	2	4	8	16
0	0	0	0	0	0
2	0	1	0	0	0
2	0	1	0	0	0
5	1	0	1	0	0
3	1	1	0	0	0
المجموع	2	3	1	0	0

يمكن تحقيق ذلك عن طريق تغيير الصف من 5 إلى 3. إذا تمكنت يومًا ما من جعل خصمك يصل إلى موقف x،x،y،y، فلن يمكنك إلا الفوز، إذا تمكنت من الحفاظ على نفس الموقف حتى النهاية.

دور الكمبيوتر الخامس

صف	1	2	4	8	16
0	0	0	0	0	0
2	0	1	0	0	0
2	0	1	0	0	0
3	1	1	0	0	0
3	1	1	0	0	0
المجموع	2	4	0	0	0

في الحركات القليلة التالية، أبقي الحاسوب على أنماط س، س، ص، ص. هنا يتركني الحاسوب مع ٢، ٢، ٣، ٢؛ لذا أتركه مع ٢، ٢، ٢، ٢.

ثم يُعطيني الحاسوب ٢، ٢، ١، ٢. فأتركه مع ٢، ٢، ١، ١.

ثم يتركني الحاسوب مع ٢، ٢، ١. فأتركه مع ٢، ٢. إذا استطعتَ يومًا ما أن تجعل خصمك يصل إلى صفين متساويين، فلا مفر من الفوز، فقط حافظ على تساوي الصفين.

ثم يتركني الكمبيوتر مع كومة واحدة من 2، وأقوم بإزالة 1.

وهنا نهاية اللعبة.

إذن، لدينا 30 رقمًا أسود، و30 رقمًا أحمر، و4 أرقام خضراء. هذا يعني أن احتمالية اللون الأسود هي 30/64، والأحمر 30/64، والأخضر 4/64. إذا كان احتمال وقوع حدث ما هو p، فإن الاحتمالات العادلة هي (1-p)/p إلى 1. لذا، فإن الاحتمالات العادلة لأي لون أحمر هي (34/64)/(30/64) = 34 إلى 30 = 17 إلى 15. وينطبق الأمر نفسه على اللون الأسود. والاحتمالات العادلة للون الأخضر هي (60/64)/(4/64) = 60 إلى 4 = 15 إلى 1. وبالنسبة لرقم محدد، فإن الاحتمالات العادلة هي (63/64)/(1/64) إلى 63 إلى 1.

أقترح دفع 1 إلى 1 على الأحمر والأسود، و14 إلى 1 على الأخضر، و60 إلى 1 على أي رقم فردي. إحدى صيغ نسبة ربح الكازينو هي (ta)/(t+1)، حيث t هي الاحتمالات الحقيقية، وa هي الاحتمالات الفعلية. في هذه الحالة، تكون نسبة ربح الكازينو على رهان الأحمر أو الأسود (63-60)/(63+1) = 3/64 = 4.69%. أما على رهان الأخضر، فتبلغ نسبة ربح الكازينو (15-14)/(15+1) = 1/16 = 6.25%. أما على الأرقام الفردية، فتبلغ نسبة ربح الكازينو (63-60)/(63+1) = 3/64 = 4.69%.

ألعاب VLT هي ألعاب سحب ألسنة مُمجدّة. هناك مجموعة نتائج مُحددة مُسبقًا. عند اللعب، تختار اللعبة نتيجة عشوائية من المجموعة، وتعرض الفوز للاعب على شكل ماكينة قمار أو لعبة فيديو بوكر. ولأن النتيجة مُقدّرة مُسبقًا، فإن أي عنصر من عناصر المهارة يكون خياليًا. على سبيل المثال، إذا قُدّمت لك مجموعة رويال فلاش ورميتها بعيدًا، فستحصل على واحدة أخرى عند السحب. عادةً ما أقول إنه في المقامرة، لا يُهم الماضي، ولكن في هذه الحالة، هناك تأثير الإزالة. إذا لعبت مرة واحدة وخسرت، فسيُحسّن ذلك بشكل طفيف احتمالات نتائج اللعبة المتبقية، حتى ينفد مخزون مجموعات السحب الافتراضية، وأفترض أن الطبلة الافتراضية تُملأ مُجددًا. أعتقد أن تقلباتك المُتذبذبة هي مجرد حظ طبيعي، وأي قدر مُسبق هو من نسج الخيال.

أضاف أحد القراء فيما بعد ما يلي إلى هذا الموضوع.

لديّ تعليق على مقالتك "اسأل الساحر" المنشورة في ١٤ فبراير (العدد ١٨٣). لا علاقة له بالسؤال الذي أجبتَ عنه، بل هو مجرد شيء قد يثير اهتمامك.

قبل إقرار الاقتراح 1A، الذي سمح بإقامة ألعاب كاملة من الفئة 3، كان لدينا نظام VLT محدود لمدة عامين. في نظامنا، الذي كانت تديره SDG (وهي الآن جزء من Bally)، بدأ مجموع الجوائز بأربعة ملايين سحب. عندما خُفِّض مجموع الجوائز وتبقى مليونان، أُضيفت الجائزة التالية، وهي 4 ملايين، ليصل المجموع الإجمالي إلى ستة ملايين سحب. وعندما خُفِّض مجموع الجوائز إلى مليونين مرة أخرى، تكررت العملية.

بافتراض أن اللاعب يحمل دائمًا الرقم الأكثر تمثيلًا، يكون المتوسط ١١٫٠٩. فيما يلي جدول يوضح توزيع عدد الرميات على محاكاة عشوائية لـ ٨٢٫٦ مليون محاولة.

تجربة ياتزي

لفات	الحوادث	احتمال
1	63908	0.00077371
2	977954	0.0118396
3	2758635	0.0333975
4	4504806	0.0545376
5	5776444	0.0699327
6	6491538	0.0785901
7	6727992	0.0814527
8	6601612	0.0799227
9	6246388	0.0756221
10	5741778	0.0695131
11	5174553	0.0626459
12	4591986	0.0555931
13	4022755	0.0487016
14	3492745	0.042285
15	3008766	0.0364257
16	2577969	0.0312103
17	2193272	0.0265529
18	1864107	0.0225679
19	1575763	0.019077
20	1329971	0.0161013
21	1118788	0.0135446
22	940519	0.0113864
23	791107	0.00957757
24	661672	0.00801056
25	554937	0.00671837
26	463901	0.00561624
27	387339	0.00468933
28	324079	0.00392347
29	271321	0.00328476
30	225978	0.00273581
31	189012	0.00228828
32	157709	0.00190931
33	131845	0.00159619
34	109592	0.00132678
35	91327	0.00110565
36	76216	0.00092271
37	63433	0.00076795
38	52786	0.00063906
39	44122	0.00053417
40	36785	0.00044534
41	30834	0.00037329
42	25494	0.00030864
43	21170	0.0002563
44	17767	0.0002151
45	14657	0.00017745
46	12410	0.00015024
47	10299	0.00012469
48	8666	0.00010492
49	7355	0.00008904
50	5901	0.00007144
51	5017	0.00006074
52	4227	0.00005117
53	3452	0.00004179
54	2888	0.00003496
55	2470	0.0000299
56	2012	0.00002436
57	1626	0.00001969
58	1391	0.00001684
59	1135	0.00001374
60	924	0.00001119
61	840	0.00001017
62	694	0.0000084
63	534	0.00000646
64	498	0.00000603
65	372	0.0000045
66	316	0.00000383
67	286	0.00000346
68	224	0.00000271
69	197	0.00000238
70	160	0.00000194
71	125	0.00000151
72	86	0.00000104
73	79	0.00000096
74	94	0.00000114
75	70	0.00000085
76	64	0.00000077
77	38	0.00000046
78	42	0.00000051
79	27	0.00000033
80	33	0.0000004
81	16	0.00000019
82	18	0.00000022
83	19	0.00000023
84	14	0.00000017
85	6	0.00000007
86	4	0.00000005
87	9	0.00000011
88	4	0.00000005
89	5	0.00000006
90	5	0.00000006
91	1	0.00000001
92	6	0.00000007
93	1	0.00000001
94	3	0.00000004
95	1	0.00000001
96	1	0.00000001
97	2	0.00000002
102	1	0.00000001
المجموع	82600000	1

الطاولة من ألعاب القمار المفضلة لدي. لا أكتب عنها لأن ألعاب اللاعبين ضد بعضهم البعض صعبة التحليل. كما أنني لا أجد أي مجال جديد لأتقدم فيه. لذا، سأترك النصائح للآخرين. إليكم مصادري المقترحة:

الطاولة بقلم بول ماجرييل: لو كان هناك كتاب مقدس عن الطاولة، لكان هذا هو. أنا فخور بامتلاكي نسخة قديمة بغلاف مقوى. سيكون هذا الكتاب نقطة انطلاق رائعة. على الرغم من أنه كُتب عام ١٩٧٦، إلا أن نصائحه لا تزال قيّمة.

٥٠١ مسألة أساسية في لعبة الطاولة بقلم بيل روبرتي: أحاول قراءة هذا الكتاب منذ سنوات، وما زلت في منتصف الطريق. من المُحبط أن أخطئ في نصف المسائل، لدرجة تجعلني أعتقد أنني سيئ في لعبة الطاولة كما هو الحال في لعبة الغولف. مع ذلك، مع كل مسألة أغفلها، هناك درسٌ قيّمٌ يجب تعلمه. يُعد هذا الكتاب أداةً تعليميةً قيّمةً ومُشجعةً للاعبين من المستوى المتوسط إلى المتقدم.

برنامج طاولة سنوي : ألعب حوالي ألف لعبة سنويًا ضد هذه اللعبة. لا يقتصر برنامج سنوي على تقديم أداء شبه مثالي فحسب، بل يُخبرك أيضًا بدقة بمدى تكلفة أخطائك عند ارتكابها. هناك العديد من الميزات الأخرى التي لم أستكشفها من قبل. إذا كان هناك شيء واحد تعلمته من سنوي، فهو أن أكبر مشكلة في لعبتي هي الأخطاء الفادحة التي قد تؤدي أحيانًا إلى عدم وضوح الحركات تمامًا. وكما هو الحال في الشطرنج، فإن حركة خاطئة واحدة قد تُلغي مئة حركة جيدة.

موقع موتيف : قبل شراء سنوي، لعبتُ عددًا لا يُحصى من الألعاب ضد موتيف. استراتيجية موتيف فعّالة جدًا، برأيي. لا شيء يُضاهي اللعب ضد خصم أقوى لتحسين أدائك.

يوضح الجدول التالي احتمالية فوز كل لاعب، وفقًا للدورة الأولى للاعب الأول، حيث يبدأ اللاعب 1 أولاً، يليه اللاعب 2، ثم اللاعب 3. يوضح الصف السفلي إجمالي احتمالات الفوز قبل الدورة الأولى.

احتمالات في عرض السعر الصحيح

الدوران 1	الاستراتيجية	اللاعب 1	اللاعب 2	اللاعب 3
0.05	يلف	20.59%	37.55%	41.85%
0.10	يلف	20.59%	37.55%	41.86%
0.15	يلف	20.57%	37.55%	41.87%
0.20	يلف	20.55%	37.55%	41.9%
0.25	يلف	20.5%	37.56%	41.94%
0.30	يلف	20.43%	37.56%	42.01%
0.35	يلف	20.33%	37.58%	42.10%
0.40	يلف	20.18%	37.60%	42.22%
0.45	يلف	19.97%	37.64%	42.39%
0.50	يلف	19.68%	37.71%	42.61%
0.55	يلف	19.26%	37.81%	42.93%
0.60	يلف	18.67%	37.96%	43.36%
0.65	يلف	17.86%	38.21%	43.93%
0.70	يقضي	21.56%	38.28%	40.16%
0.75	يقضي	28.42%	35.21%	36.38%
0.80	يقضي	36.82%	31.26%	31.92%
0.85	يقضي	46.99%	26.35%	26.66%
0.90	يقضي	59.17%	20.36%	20.47%
0.95	يقضي	73.61%	13.19%	13.21%
1.00	يقضي	90.57%	4.72%	4.72%
متوسط		30.82%	32.96%	36.22%

إليكم عدد التركيبات الفائزة من أصل 6×20 ⁶ ممكنة.

اللاعب 1: 118,331,250
اللاعب 2: 126,566,457
اللاعب 3: 139,102,293

طريقة اللعب، حيث تكون مباراة البطاقة الثالثة متعادلة، تميل احتمالات الفوز لصالحك عندما يكون هناك ستة صفوف على الأقل بين أول بطاقتين (فارق ست بطاقات). كما لعبتُ في مقاطعة أورانج، كانت مباراة البطاقة الثالثة تؤدي إلى خسارة مضاعفة. بموجب هذه القاعدة، تكون احتمالات الفوز متعادلة مع فارق ثماني بطاقات. إذا انتهت مباراة البطاقة الثالثة بخسارة مضاعفة، فأنت بحاجة إلى فارق سبع بطاقات لتكون احتمالات الفوز في صالحك.

أتمنى أن تكون سعيدًا؛ فقد قضيتُ اليوم كله في هذا. تجد الإجابة والحل على موقعي الآخر mathproblems.info ، أو على المسألة ٢٠٣، أو على الورقة الأكاديمية "نظرية الألعاب والبوكر" لجيسون سوانسون.

لمصلحة القراء الآخرين، النقطة هي عمولة تُفرض على القرض. على سبيل المثال، في قرض بقيمة 250,000 دولار أمريكي، تُعادل النقطة 2,500 دولار أمريكي. سأفترض أن المقترض سيضيف النقطة إلى رصيده الأصلي، ولن يُسدد أصل القرض مُبكرًا.

الجدول التالي يبين سعر الفائدة المكافئ بدون النقطة، وفقاً لسعر الفائدة بنقطة واحدة والأجل.

معدل فائدة مكافئ بدون نقاط

سعر الفائدة بنقطة واحدة	10 سنوات	15 سنة	20 سنة	30 سنة	40 سنة
4.00%	4.212%	4.147%	4.115%	4.083%	4.067%
4.25%	4.463%	4.398%	4.366%	4.334%	4.318%
4.50%	4.714%	4.649%	4.617%	4.585%	4.570%
4.75%	4.965%	4.900%	4.868%	4.836%	4.821%
5.00%	5.216%	5.151%	5.119%	5.088%	5.073%
5.25%	5.467%	5.402%	5.370%	5.339%	5.324%
5.50%	5.718%	5.654%	5.621%	5.590%	5.576%
5.75%	5.969%	5.905%	5.873%	5.842%	5.827%
6.00%	6.220%	6.156%	6.124%	6.093%	6.079%
6.25%	6.471%	6.407%	6.375%	6.344%	6.330%
6.50%	6.723%	6.658%	6.626%	6.596%	6.582%
6.75%	6.974%	6.909%	6.878%	6.847%	6.834%
7.00%	7.225%	7.160%	7.129%	7.099%	7.085%
7.25%	7.476%	7.412%	7.380%	7.350%	7.337%
7.50%	7.727%	7.663%	7.631%	7.602%	7.589%
7.75%	7.978%	7.914%	7.883%	7.853%	7.841%
8.00%	8.229%	8.165%	8.134%	8.105%	8.093%
8.25%	8.480%	8.416%	8.385%	8.357%	8.344%
8.50%	8.731%	8.668%	8.637%	8.608%	8.596%
8.75%	8.982%	8.919%	8.888%	8.860%	8.848%
9.00%	9.233%	9.170%	9.140%	9.112%	9.100%
9.25%	9.485%	9.421%	9.391%	9.363%	9.352%
9.50%	9.736%	9.673%	9.642%	9.615%	9.604%
9.75%	9.987%	9.924%	9.894%	9.867%	9.856%
10.00%	10.238%	10.175%	10.145%	10.119%	10.108%

يُظهر هذا أن معدل فائدة ٥.٧٥٪ مع نقطة واحدة يُعادل ٥.٨٤٢٪ بدون نقاط. بمعنى آخر، سيكون الدفع متساويًا في كلا الحالتين، بافتراض إضافة النقطة المُضافة إلى الرصيد الأصلي. كان عرضك الآخر ٥.٨٧٥٪ بدون نقاط، وهو أعلى من ٥.٨٤٢٪، لذا سأقبل ٥.٧٥٪ مع النقطة.

PS: بالنسبة لأولئك منكم الذين يتساءلون عن كيفية حل i، فقد استخدمت وظيفة المعدل في Excel.

وفقًا لكتاب Life: the Odds (and How to Improve Them) بقلم جريجوري بير، فإن احتمالات الحصول على حفرة واحدة في حفرة ذات ثلاث ضربات في جولة PGA هي 1 من 2491. أعتقد أن هذه المسافات تقع ضمن نطاق الثلاث ضربات.

إن معدل إعاقة واحد جيد جدًا، لذا لن أقدم خصمًا كبيرًا مقارنةً بلاعبي جولة PGA. لنفترض أن احتمالية فوز ابنك في كل حفرة من 3 بار هي 1 من 3000. عادةً ما يحتوي ملعب الجولف الذهبي على حوالي أربعة حفر من 3 بار. لنفترض أن ابنك يلعب يوميًا، أي 28 حفرة من 3 بار أسبوعيًا. احتمالية الفوز بحفرتين بالضبط في حفرة واحدة هي (28،2) × (1/3000) ² × (2999/3000) ²⁶ = 1 من 24017.

لتبسيط الأمر، دعونا نتجاهل حقيقة أنه كلما زادت التذاكر التي تشتريها، انخفضت قيمة كل تذكرة لأنك تتنافس مع نفسك. مع ذلك، فإن احتمال خسارة جميع التذاكر الخمس هو (١٢/١٣) ^٥ = ٦٧.٠٢٪. لذا، فإن احتمال الفوز بجائزة واحدة على الأقل هو ٣٢.٩٨٪. يوجد ٧٠٣٣ × ١٣ = ٩١٤٢٩ تذكرة إجمالية في الأسطوانة قبل شراء أي منها. ٩١٤٢٩ - ٤٠ = ٩١٣٨٩ ليست جوائز كبيرة. واحتمال عدم الفوز بأي جوائز كبيرة بخمس تذاكر هو (٩١٣٨٩ / ٩١٤٢٩) ^٥ = ٩٩.٧٨٪. لذا، فإن احتمال الفوز بجائزة كبيرة واحدة على الأقل هو ٠.٢٢٪، أو ١ من ٤٥٨.

احتمالات البدلة الطويلة في القلوب

بطاقات	التركيبات	احتمال
4	222766089260	0.35080524800183
5	281562853572	0.44339660045899
6	105080049360	0.16547685914958
7	22394644272	0.03526640326564
8	2963997036	0.00466761219692
9	235237860	0.00037044541245
10	10455016	0.00001646424055
11	231192	0.00000036407412
12	2028	0.00000000319363
13	4	0.00000000000630
المجموع	635013559600	1

متوسط عدد البطاقات في المجموعة الطويلة هو 4.9.

أولاً، "قاعدة 72" هي تقدير تقريبي للمدة اللازمة لمضاعفة أموالك، وليست إجابة دقيقة. يوضح الجدول التالي قيم "قاعدة 72" وعدد السنوات بدقة، لمعدلات فائدة سنوية مختلفة.

لماذا ٧٢؟ ليس بالضرورة أن يكون ٧٢ بالضبط. هذا هو الرقم المناسب لمعدلات الفائدة الواقعية التي من المرجح أن تراها على أي استثمار. وهو يُطابق تقريبًا معدل فائدة ٧٫٨٤٦٩٪. لا يوجد شيء مميز في ٧٢، كما هو الحال مع π أو e. لماذا يُجدي أي رقم نفعًا؟ إذا كان معدل الفائدة هو i، فلنحسب عدد السنوات (y) اللازمة لمضاعفة الاستثمار.

2 = (1+i) ^y
ln(2)= ln(1+i) ^y
ln(2)= y×ln(1+i)
y = ln(2)/ln(1+i)

قد لا تكون هذه أفضل إجابة لي على الإطلاق، ولكن حاول اتباع هذا المنطق: دع y = ln (x).
dy/dx=1/x.
1/x =~ x عند قيم x قريبة من 1.
وبالتالي فإن dy/dx =~ 1 لقيم x القريبة من 1.
وبالتالي فإن ميل ln(x) سيكون قريبًا من 1 لقيم x القريبة من 1.
وبالتالي فإن ميل ln(1+x) سيكون قريبًا من 1 لقيم x القريبة من 0.
تقول "قاعدة 72" أن .72/i =~ .6931/ln(1+i).
لقد أثبتنا أن i وln(1+i) متشابهتان لقيم i القريبة من 0.
لذا فإن 1/i و1/ln(1+i) متشابهان لقيم i القريبة من 0.
يؤدي استخدام 72 بدلاً من 69.31 إلى تعديل الاختلافات بين i وln(1+i) لقيم i حوالي 8%.

آمل أن يكون هذا منطقيًا. حساباتي صدئة نوعًا ما؛ استغرق شرح هذا لنفسي ساعات.

تم طرح هذا السؤال ومناقشته في منتدى موقعي المرافق Wizard of Vegas .

يُطلق على هذه اللعبة في عالم الصناعة اسم "رازل دازل". أتذكر رؤيتها في جنوب كاليفورنيا عندما كنت طفلاً، والعام الماضي في سان فيليبي، المكسيك. عادةً ما تُصمَّم لتبدو وكأنها لعبة كرة قدم. هذه اللعبة، في رأيي، أسوأ عمليات الاحتيال في ألعاب الكرنفال. يجب أن تخجل ولاية نيويورك من السماح بها. بناءً على بعض الأبحاث، تختلف القواعد من مكان لآخر، لكن جوهر الاحتيال يبقى واحدًا دائمًا.

يعتمد هذا الرهان على نفس وهم رهان الحقل في لعبة الكرابس. لمن لا يعرف رهان الحقل، يفوز اللاعب إذا كان مجموع رميتي نرد 2، 3، 4، 9، 10، 11، أو 12. الأرقام الخاسرة هي 5، 6، 7، و8. تُدفع أرباح متساوية في كل رهان، باستثناء الرقم 2 الذي يدفع 2 إلى 1، والرقم 12 الذي يدفع 3 إلى 1 (باستثناء كازينوهات هارا البخيلة، حيث تدفع 2 إلى 1 فقط على الرقم 12). قد يظن المقامر الذي لا يملك خبرة في الرياضيات أن هذا رهان جيد، لأن هناك 7 أرقام فائزة و4 أرقام خاسرة فقط. والسبب في أن احتمالات الفوز في صالح الكازينو هي أن الأرقام الخاسرة لديها أكبر فرصة للفوز.

فيما يلي القواعد المحددة للعبة Razzle Dazzle، كما تم أخذها من المقال "احتمالات الفوز في لعبة كرنفال معينة" بقلم دونالد أ. بيري ورونالد ر. ريجال، والذي ظهر في عدد نوفمبر 1978 من مجلة The American Statistician.

1. هدف اللعبة هو التقدم مسافة 100 ياردة عبر ملعب كرة القدم. سيحصل اللاعب على جائزة قيّمة عند تحقيق ذلك.
2. يبدأ اللاعب بدفع رسوم محددة لكل لعبة، مثل 1 دولار.
3. سيُسقط اللاعب ٨ كرات زجاجية على شبكة ١١ × ١٣. ستسقط كل كرة زجاجية في إحدى الثقوب الـ ١٤٣.
4. تحتوي كل حفرة على عدد من النقاط من 1 إلى 6. يوضح الجدول التالي تكرار كل عدد من النقاط.
   
   

   توزيع نقاط رازل دازل

   نقاط	رقم صعد على متنها	احتمال
   1	11	0.076923
   2	19	0.132867
   3	39	0.272727
   4	44	0.307692
   5	19	0.132867
   6	11	0.076923
   المجموع	143	1.000000

5. سيتم إضافة إجمالي النقاط. سيبحث الكارنيه عن إجمالي النقاط في جدول التحويل لمعرفة عدد الياردات التي قطعها اللاعب. يظهر جدول التحويل أدناه.
   
   

   مخطط تحويل رازل دازل

   نقاط	ياردات اكتسبت
   8	100
   9	100
   10	50
   11	30
   12	50
   13	50
   14	20
   15	15
   16	10
   17	5
   من 18 إلى 38	0
   39	5
   40	5
   41	15
   42	20
   43	50
   44	50
   45	30
   46	50
   47	100
   48	100

6. إذا حصل اللاعب على مجموع 29، فسيتم مضاعفة الرسوم لجميع الرميات اللاحقة، وسيتم منح اللاعب جائزة إضافية إذا وصل إلى الطرف الآخر من ملعب كرة القدم.

متوسط النقاط لكل كرة زجاجية هو 3.52، والانحراف المعياري هو 1.31. لاحظ أن احتمالية الحصول على 3 و4 نقاط هي الأعلى. هذا يُبقي الانحراف المعياري منخفضًا، ومجموع الكرات الزجاجية قريبًا من التوقعات. بالمقارنة، الانحراف المعياري لرمية نرد واحدة هو 1.71.

لاحظ الآن وجود ٢٠ مجموع فوز و٢١ مجموع خسارة في جدول تحويل المسافات. قد يظنّ المراهنون على ألعاب الكرنفال، وهم ساذجون، أن احتمالية فوزهم هي ٢٠/٤١ أو ٤٨.٨٪. لن أتفاجأ إذا ادّعى أصحاب الكازينو زورًا أن هذه هي احتمالات الفوز. مع ذلك، وكما هو الحال في رهان الميدان، فإن النتائج الأكثر احتمالية لا تفوز بأي شيء.

يوضح الجدول التالي احتمالية كل عدد من النقاط في كل دورة، والمسافات المكتسبة، والمسافات المتوقعة. تُظهر الخلية السفلية اليمنى أن متوسط المسافة المكتسبة في كل دورة هو 0.0196.

الياردات المتوقعة المكتسبة في كل دورة

نقاط	احتمال	ياردات اكتسبت	مُتوقع ياردات اكتسبت
8	0.00000000005	100	0.00000000464
9	0.00000000176	100	0.00000017647
10	0.00000002586	50	0.00000129285
11	0.00000022643	30	0.00000679305
12	0.00000143397	50	0.00007169849
13	0.00000713000	50	0.00035650022
14	0.00002926510	20	0.00058530196
15	0.00010234709	15	0.00153520642
16	0.00031168305	10	0.00311683054
17	0.00083981462	5	0.00419907311
18	0.00202563214	0	0.00000000000
19	0.00441368617	0	0.00000000000
20	0.00874847408	0	0.00000000000
21	0.01586193216	0	0.00000000000
22	0.02642117465	0	0.00000000000
23	0.04056887936	0	0.00000000000
24	0.05757346716	0	0.00000000000
25	0.07566411880	0	0.00000000000
26	0.09221675088	0	0.00000000000
27	0.10431970222	0	0.00000000000
28	0.10958441738	0	0.00000000000
29	0.10689316272	0	0.00000000000
30	0.09677806051	0	0.00000000000
31	0.08125426057	0	0.00000000000
32	0.06317871335	0	0.00000000000
33	0.04540984887	0	0.00000000000
34	0.03009743061	0	0.00000000000
35	0.01833921711	0	0.00000000000
36	0.01023355162	0	0.00000000000
37	0.00520465303	0	0.00000000000
38	0.00239815734	0	0.00000000000
39	0.00099365741	5	0.00496828705
40	0.00036673565	5	0.00183367827
41	0.00011909673	15	0.00178645089
42	0.00003349036	20	0.00066980729
43	0.00000797528	50	0.00039876403
44	0.00000155945	50	0.00007797235
45	0.00000023832	30	0.00000714969
46	0.00000002632	50	0.00000131607
47	0.00000000176	100	0.00000017647
48	0.00000000005	100	0.00000000464
المجموع	1.00000000000	0	0.01961648451

فيما يلي بعض نتائج المحاكاة العشوائية لـ 17.5 مليون لعبة.

نتائج محاكاة رازل دازل

سؤال	إجابة
احتمال التقدم في كل دورة	0.0028
الياردات المتوقعة المكتسبة في كل دورة	0.0196
الياردات المتوقعة المكتسبة لكل تقدم	6.9698
عدد الأدوار المتوقعة لكل لعبة	5238.7950
متوسط الضربات الثنائية في كل مباراة	559.9874
متوسط الجوائز لكل لعبة	560.9874

كنت أود الإشارة إلى متوسط إجمالي الرهان لكل لعبة، لكن جهازي لا يستطيع التعامل مع أرقام كبيرة كهذه. في اللعبة المتوسطة، ضاعف اللاعب رهانه 560 مرة خلال متوسط 5239 دورة في اللعبة. في إحدى ألعاب المحاكاة، ضاعف اللاعب رهانه 1800 مرة. حتى مع متوسط 560 ضعفًا، سيكون الرهان لكل رمية 3.77 دولار × 10 ¹⁶⁸ ، بافتراض رهان ابتدائي بقيمة دولار واحد. هذا أكبر بكثير من عدد الذرات في الكون المعروف ( المصدر ).

حتى أكثر اللاعبين سذاجةً لن يلعبوا طويلًا إذا كان يتقدم مرة واحدة كل 355 لعبة فقط. ما سيفعله عاملو الكازينو هو الغش لصالح اللاعب في البداية. قد يلاحظون رميات اللاعب المجانية، أو يكذبون في جمع النقاط، مما يمنح اللاعب مجموع نقاط الفوز لتعزيز ثقته بنفسه. لم ألعب هذه اللعبة من قبل، لكنني أتخيل أنه عندما يقترب اللاعب من المنطقة الحمراء (20 ياردة أو أقل من الهبوط)، سيبدأ عامل الكازينو باللعب بنزاهة. قد يتساءل اللاعب عن سبب عدم تحقيقه أي تقدم مفاجئ، ولكن مع استثماره للمال بالفعل، وقربه الشديد من خط النهاية، سيتردد في الانسحاب والتخلي عن المسافة التي دفع ثمنها بالفعل.

الروابط

• رازل دازل ، مقتطف من كتاب "على الطريق".
• لعبة Razzle Dazzle Carny Board Game Arcade Scam .
• احتمالات الفوز في لعبة كرنفال معينة بقلم دونالد أ. بيري ورونالد ر. ريجال

هناك ثماني طرق للفوز: ثلاثة صفوف، ثلاثة أعمدة، وقطران. هناك مجموع (9، 3) = 84 طريقة لاختيار 3 مربعات من أصل 9. لذا، فإن احتمال الفوز هو 8/84 = 9.52%.

تم طرح هذا السؤال ومناقشته في منتدى موقعي المرافق Wizard of Vegas .

هذه هي الاستراتيجية الأساسية التي يتبعها ساحري في لعبة المونوبولي:

• اشترِ كل شيء. قد يستثني اللاعبون المتقدمون العقار إذا لم يُمكّنك من تحقيق احتكار، أو منع شخص آخر، أو إذا كانت قيمته ضئيلة كورقة مساومة. كما يُمكن رفض شراء المرافق في حالة نقص السيولة.
• تاجر بأفضل ما يمكنك. هنا تبرز المهارة. حاول التداول للحصول على أفضل مجموعة ممكنة. إليك ترتيبي لها بشكل عام: برتقالي، أصفر، أزرق فاتح، أزرق داكن، بنفسجي فاتح، أحمر، أخضر، بنفسجي داكن. يختلف هذا الترتيب باختلاف الظروف. في لعبة ذات ميزانية محدودة، اختر المجموعات الأرخص في التطوير، مثل الأزرق الفاتح. أما في لعبة ذات ميزانية غنية، فاختر المجموعات التي توفر إمكانية إنفاق المال عليها، مثل الأصفر أو الأزرق الداكن.
• بمجرد حصولك على مجموعة، سواءً بشكل طبيعي أو عن طريق المبادلة، ابدأ ببناء منزل بسرعة. حاول الوصول إلى ثلاثة منازل في كل عقار بأسرع وقت ممكن. سينخفض العائد الهامشي لكل منزل بعد ثلاثة منازل. رهِن معظم عقاراتك الأخرى وأنفق نقودك. من الأفضل أن تترك بعض رأس المال للنفقات الصغيرة. عدم إنفاق أموالك أشبه بجندي في المعركة لا يستخدم رصاصه.
• خالف جميع قواعد اللعبة السخيفة. ينطبق هذا تحديدًا على جائزة الموقف المجاني (لا أطيقها!). إذا كنت أكثر مهارة من خصومك، فعليك تقليل عشوائية اللعبة.

تم طرح هذا السؤال ومناقشته في منتدى موقعي المرافق Wizard of Vegas .

الوجوه المركزية الستة للمكعب ثابتة. بتدوير الوجوه، كل ما يمكنك فعله هو إعادة ترتيب الزوايا والحواف. إذا فككتَ المكعب، فسيكون هناك 8 طرق لترتيب الزوايا الثمانية، بغض النظر عن اتجاه كل قطعة. وبالمثل، هناك 12 طريقة لترتيب الحواف الاثني عشر، بغض النظر عن اتجاهها.

هناك ثلاث طرق لتوجيه كل زاوية، بإجمالي ٣ ^⁸ = ٦٥٦١ اتجاهًا للزوايا. وبالمثل، هناك طريقتان لتوجيه كل حافة، بإجمالي ٢ ^⁸ = ٤٠٩٦ اتجاهًا للحافة.

لذا، إذا فككنا المكعب وأعدنا ترتيب مجموعات الحواف والزوايا، فسيكون لدينا 8! × 12! × 3 ⁸ × 2 ¹² = 519,024,039,293,878,000,000 تبديل ممكن. مع ذلك، لا يمكن الوصول إلى جميع هذه التبديلات من نقطة البداية بتدوير الوجوه.

أولًا، من المستحيل تدوير زاوية واحدة فقط وترك باقي القطع كما هي. لا يمكن لأي مجموعة من الدورات تحقيق ذلك. باختصار، لكل فعل رد فعل. إذا أردت تدوير زاوية واحدة، فسيؤدي ذلك إلى اضطراب القطع الأخرى بطريقة ما. وبالمثل، من المستحيل قلب قطعة حافة واحدة فقط. لهذه الأسباب، يجب قسمة عدد التباديل على 3 × 2 = 6.

ثانيًا، من المستحيل تبديل قطعتين من الحافة دون إزعاج باقي المكعب. هذا هو الجزء الأصعب في هذه الإجابة للشرح. كل ما يمكنك فعله بمكعب روبيك هو تدوير وجه واحد في كل مرة. كل حركة تدور أربع قطع من الحافة وأربع قطع من الزوايا ليصبح المجموع ثماني قطع متحركة. يمكن تمثيل سلسلة الدورات بعدد من حركات القطع القابلة للقسمة على 8. غالبًا ما تؤدي سلسلة الحركات إلى إلغاء حركتين لبعضهما البعض. ومع ذلك، سيكون هناك دائمًا عدد زوجي من القطع المتحركة مع أي سلسلة من الدورات. إن تبديل قطعتين من الحافة سيكون حركة واحدة، وهو عدد فردي، لا يمكن تحقيقه بمجموع أي مجموعة من الأرقام الزوجية. سيطلق علماء الرياضيات على هذه مشكلة التكافؤ. لذلك يتعين علينا القسمة على 2 أخرى لأنه لا يمكن تبديل قطعتين من الحافة دون إزعاج القطع الأخرى.

إذن، هناك ١٢ مجموعة محتملة من تبديلات مكعب روبيك. إذا فككتَ مكعب روبيك وأعدتَ تركيبه عشوائيًا، فإن احتمال حله هو ١ من ١٢. لذا، فإن العدد الإجمالي للتبديلات في مكعب روبيك هو ٨! × ١٢! × ٣ ^١٢ × ٢ ^١٢ ÷ ١٢ = ٤٣,٢٥٢,٠٠٣,٢٧٤,٤٨٩,٩٠٠,٠٠٠. إذا كان لديك سبعة مليارات قرد، أي ما يعادل تقريبًا عدد سكان العالم، يلعبون عشوائيًا بمكعب روبيك، بمعدل دورة واحدة في الثانية، فسيمر المكعب عبر الموضع الذي تم حله مرة واحدة كل ١٩٦ عامًا في المتوسط.

الروابط

• نظرية المجموعات عبر مكعب روبيك بقلم توم ديفيس (PDF)
• مدخل مكعب روبيك على ويكيبيديا

لمن لا يعرف قواعد لعبة القلوب، تبدأ اللعبة بتوزيع ١٣ بطاقة على أربعة لاعبين. لنوع القلوب أهمية كبيرة في اللعبة، لذا فإن عدد البطاقات التي تحصل عليها مهم. يوضح الجدول التالي احتمالات الحصول على من ٠ إلى ١٣ بطاقة.

تم طرح هذا السؤال ومناقشته في منتدى موقعي المرافق Wizard of Vegas .

أتمنى أن تكون سعيدًا. للإجابة على هذا السؤال، اشتريتُ لفافة تذاكر كبيرة من متجر أوفيس ديبوت. ثم وضعتُ 500 تذكرة في كيس ورقي، نصفها مطوي إلى نصفين بزاوية 90 درجة تقريبًا، والنصف الآخر مفتوح. ثم طلبتُ من ستة متطوعين سحب ما بين 40 و60 تذكرة واحدة تلو الأخرى، مع استبدالها، بينما كنتُ أسجل النتائج. إليكم النتائج.

وبالتالي، تم طي 58.3% من التذاكر المسحوبة!

إذا افترضنا أن طيّ البطاقات لم يكن له تأثير، فإن هذه النتائج ستكون بعيدة عن التوقعات بمقدار 2.89 انحراف معياري. احتمال الحصول على هذا العدد من البطاقات المطوية، أو أكثر، بافتراض أن طيّ البطاقات لم يؤثر على احتمالات الفوز، هو 0.19%، أو 1 من 514.

أود أن أضيف أن المشاركين الذين سحبوا التذاكر على عجل كانوا أكثر عرضة لسحب بطاقات مطوية. أما أولئك الذين حرصوا على وقتهم في كل سحب، فكانت نسبة فوزهم متساوية تقريبًا.

لذا، استنتاجي هو بالتأكيد أن أطويهم.

لمناقشة هذا السؤال، يرجى زيارة منتدياتي في Wizard of Vegas .