بوكر - التعليمات

هناك طريقتان للحصول على فول هاوس في هذه الحالة: (١) سحب ثلاثة من نفس النوع، أو (٢) سحب بطاقة إضافية للزوج وزوج آخر. سأفترض أنك تتخلص من ثلاث بطاقات فردية.

أولاً، لنحسب عدد التركيبات تحت (1). هناك 3 رتب متبقية منها 3 مجموعات فقط (تذكر أنك تخلصت من 3 مجموعات فردية) و9 رتب متبقية منها 4 مجموعات. بالتالي، عدد التركيبات هو 3*combin(3,3)+9*combin(4,3) = 3*1 + 9*4 = 39.

الآن، لنحسب عدد المجموعات تحت (2). يتبقى مجموعتان لإضافتهما إلى الزوج الحالي. هناك طريقتان لتكوين زوج من الصفوف الثلاثة مع بقاء 3 أوراق، وطريقة (4،2) لتكوين زوج من الصفوف مع بقاء 4 أوراق. لذا، فإن مجموع المجموعات تحت (2) هو 2*(3*مجموعة(3،2)+9*مجموعة(4،2)) = 2*(3*3 + 9*6) = 126. العدد الإجمالي لترتيب فل هاوس هو المجموع تحت (1) و(2)، أو 39+126=165. هناك طريقة (47،3)=16,215 لترتيب الصفوف الثلاثة في السحب الثاني. احتمال الحصول على فول هاوس هو عدد الطرق للحصول على فول هاوس مقسومًا على إجمالي التركيبات، أو 165/16215 = 0.0101758، أو حوالي 1 في 98.

لمزيد من المعلومات حول وظيفة combin()، يرجى الاطلاع على قسمي حول الاحتمالات في صفحة البوكر .

لا، احتمالية الحصول على أي يد متساوية بغض النظر عن عدد اللاعبين الآخرين على الطاولة. البطاقة غير المرئية تبقى غير مرئية، سواءً كان لدى لاعب آخر أو كانت لا تزال في المجموعة.

سأقدم إجابة تقريبية بافتراض أن كل لاعب حصل على يد من مجموعة أوراق منفصلة. هذا لن يغير الاحتمالات كثيرًا. احتمالية حصول أي لاعب على ستريت فلاش، كما وردت في قسم الاحتمالات في البوكر، هي 36/2,598,960. لنُسمِّ هذا الاحتمال p. احتمالية حصول لاعبين على ستريت فلاش هي combin (6,2)* ^p2 *(1-p) ⁴ = 0.000000028779. بمعنى آخر، احتمالية عدم حدوث ذلك هي 347,477,740 إلى 1.

أولاً، دعوني أقول إنني لستُ خبيراً في البوكر. ليس سراً أن لعبة تكساس هولدم هي الأكثر شيوعاً. في هذه اللعبة، هناك خمس بطاقات مشتركة وبطاقتان مكشوفتان فقط لكل لاعب، لذا فإن الشخص الماهر في حساب الاحتمالات لديه خيارات أكثر. ومع ذلك، حتى أفضل عباقرة الرياضيات قد يصبحون لاعبين سيئين إذا لم يتمكنوا من فهم اللاعبين الآخرين أو إذا تمكنوا من فهمه بسهولة (وكلاهما صحيح في حالتي).

احتمال ظهور أيِّ فلش ملكي هو عدد أوراق الملكية المُحتملة، وهو أربعة (واحدة لكلِّ نوع)، مقسومًا على عدد طرق اختيار 5 أوراق من أصل 52، أي الجمع (52، 5) = 2,598,960. إذن، الإجابة هي 4/2,598,960 = 0.00000153908، أو 1 من 649,740.

احتمال ظهور فلاش ملكي متتالي يساوي (عدد الألوان) * (عدد الاتجاهات) / (إجمالي تبديلات 5 بطاقات من أصل 52) = 4 * 2 / التبديل (52، 5) = 8 / 311,875,200 = 8 / عدد البطاقات الملكية المحتملة، وهو أربعة (بطاقة واحدة لكل لون)، مضروبًا في عدد الاتجاهات التي يمكن أن تظهر فيها مقسومًا على عدد طرق اختيار 5 بطاقات من أصل 52، أي التبديل (52، 5) = 311,875,200. إذن، الإجابة هي 4/311,875,200 = 0.00000002565، أو 1 من 38,984,400.

كتبتُ برنامجًا بلغة C++ لاختبار جميع طرق ترتيب 7 أوراق من أصل 52، باستخدام طريقة combin(52,7)=133,784,560. لكل طريقة، كوّنتُ جميع طرق combin(7,5)=21 لترتيب 5 أوراق من أصل 7. ثم سجّلتُ نقاطًا لكل يد من هذه الطرق. كانت أعلى نتيجة من بين الطرق الـ 21 هي قيمة اليد المكونة من سبع أوراق. لذا، كان عليّ تسجيل أكثر من 2.8 مليار يد، وقد استغرق هذا من الحاسوب طوال الليل، إن لم تخني الذاكرة.

هذه هي الأيدي من الأعلى إلى الأدنى، لكل من لعبة البوكر ذات الخمس والسبع بطاقات: ستريت فلاش، أربعة من نفس النوع، فول هاوس، فلاش، ستريت، ثلاثة من نفس النوع، زوجان، زوج.

إذا قرأتَ كتاب "البوكر القذر" لريتشارد ماركوس، فغالبًا ما تشعر بقلقٍ من التواطؤ كلما لعبتَ مع غرباء. مع ذلك، تُجيب خبيرة البوكر آشلي آدامز على هذا السؤال كما يلي:

لقد لعبتُ في معظم صالات لعب الورق العامة في لاس فيغاس، وفي أكثر من 100 صالة أخرى في جميع أنحاء البلاد. لم أصادف أي تواطؤ في حدود الرهان المنخفضة. في إحدى المرات، في لعبة ستاد 20/40، ظننتُ أن لاعبين ربما يتواطآن. سمعتُ أن هذا التواطؤ قد يكون موجودًا في الألعاب ذات الرهانات الأعلى (حوالي 20/40). لكن السائح العادي، الذي يلعب بوكر بلا حدود بنصف أو اثنين من خمسة رهان أعمى، أو بوكر 10/20 أو بوكر ذو حدود أقل، من غير المرجح أن يواجه هذا التواطؤ.

شكراً لكلماتك الطيبة. أتفق معك أن حساب أرقام لعبة ستاد السبع بطاقات صعب. لهذا السبب أقوم بذلك على حاسوبي. يمر برنامجي بجميع التركيبات الممكنة ويسجل كل واحدة منها. عدد المتتاليات البرية في لعبة باي غاو بوكر هو 11 × (4 ⁴ -4) + 10 × 3 × (4 ⁴ -4) = 10332. بجمعها مع المتتاليات الطبيعية البالغ عددها 10200، يكون المجموع 20532.

سؤال جيد. كنتُ أفكر في كتابة قسم عن الشجاعة لسنوات. لديّ برنامج حاسوبي شبه مكتمل. إحدى المشاكل هي وجود طرق عديدة للعب الشجاعة، لذا فإن تحليلًا واحدًا لن يناسب إلا نسبة صغيرة من الألعاب. كما أن اليد الوهمية تُعقّد الأمور كثيرًا. في سياق متصل، دعوني أقترح عليكم نسخةً مُختلفةً من الشجاعة. إذا لم يبق أحد في اللعبة، تُعاد اللعبة، كل من لديه نفس الأوراق. معرفة أن يد الجميع ضعيفة ستشجع اللاعبين ذوي اليد الضعيفة على البقاء في اللعبة. في المرة الأولى التي اعتمدتُ فيها أنا وأصدقائي هذه القاعدة، دخل الجميع في الجولة الثانية.

لا، لم أرَها في أي كازينوهات إلكترونية. المكان الوحيد الذي رأيتها فيه هو أتلانتيك سيتي. يبدو أن اللعبة تسير على خطى طائر الدودو.

مع صعوبة المقارنة، أرى أن البلاك جاك هو الخيار الأفضل. من السهل أن تصبح لاعب بلاك جاك ماهرًا بتعلم الاستراتيجية الأساسية. لكن من الصعب أن تصبح لاعب بوكر ماهرًا. غالبًا ما تعجّ غرف بوكر الكازينو بلاعبين مهرة ينتظرون استغلالهم من قبل لاعب مبتدئ. مع ذلك، قد يكون بعض الأشخاص موهوبًا بالفطرة في البوكر، لذا لا تصدّق إجابتي.

احتمال وجود لاعبين محددين لديهما أربعة من نوع واحد هو (13*COMBIN(12,3)*4 ³ *9*COMBIN(41,3)+13*12*11*4*6*10*COMBIN(41,3)+13*12*4*11*COMBIN(41,3))/(COMBIN(52,7)*COMBIN(45,7)) = 0.000003627723. يوجد combin(7,2)=21 طريقة لاختيار لاعبين من أصل 7. وتجنب حالة وجود 3 أو أكثر من أربعة من نوع واحد فإن الاحتمال سيكون 0.000076182184.

لنحدد احتمالية الحصول على فلوش واحد عند التوزيع، أو سحب فلوش من 4 بطاقات. لتبسيط الأمر، سنفترض أن اللاعب سيسحب فلوشًا من زوج بات أو ستريت بـ 4 بطاقات. احتمالية الحصول على فلوش عند التوزيع (باستثناء ستريت/رويال فلاش) هي 4*(مجموع (13,5)-10)/مجموع (52,5) = 5108/2598960 = 0.0019654. احتمالية الحصول على فلوش من 4 بطاقات هي 4*3*مجموع (13,4)*13/مجموع (52,5) = 111540/2598960 = 0.0429172. احتمالية إكمال الفلش عند السحب هي 9/47. إذن، الاحتمال الإجمالي للحصول على فلوش من أربع بطاقات ثم إكماله هو 0.0429172*(9/47) = 0.0082182. وبالتالي، فإن الاحتمال الإجمالي للحصول على فلوش هو 0.0019654 + 0.0082182 = 0.0101836. واحتمال حصول لاعبين اثنين فقط من أصل خمسة على فلوش هو combin(5,2)* 0.0101836 ² *(1-00.0101836) ³ = 0.001006، أو حوالي 1 من 994.

هناك طريقة لترتيب 7 بطاقات من أصل 52، وهي الجمع (combin(52,7)=133,784,560. عدد مجموعات البطاقات السبع، بما في ذلك مجموعة من أربع بطاقات متشابهة، هو 13*combin(48,3) = 224,848. يمثل العدد 13 عدد مراتب المجموعة، بينما يمثل الجمع (combin(48,3) عدد طرق اختيار 3 بطاقات من أصل 48 بطاقة متبقية. لذا، فإن الاحتمال هو 224,848/133,784,560 = 0.0017، أو 1 من 595.

هناك أربع مجموعات للملكية، و47 × 46 × 2 = 1081 طريقة لترتيب البطاقتين الأخريين. 4 × 1081 = 4324. أما بقية الأوراق، فتصبح أكثر فوضوية. اضطررتُ لاستخدام جهاز كمبيوتر لألعب جميع الطرق الـ 133,784,560 لاختيار 7 بطاقات من أصل 52. معذرةً، لا أستطيع أن أوصي بكتاب أيضًا.

لمن لا يعرف قواعد اللعبة، هناك خمس بطاقات مكشوفة. السؤال هو: ما احتمال أن يكون ثلاث بطاقات على الأقل من نفس النوع من بين خمس بطاقات موزعة من مجموعة واحدة، دون استبدال؟ هناك مجموع (52،5) = 2598960 طريقة لتوزيع 5 بطاقات من أصل 52. عدد طرق توزيع 4 بطاقات من نفس النوع هو 4 × مجموع (13،5) = 1144. عدد طرق توزيع 4 بطاقات من نفس النوع هو 4 × مجموع (13،4) × 39 = 111540. عدد طرق توزيع 3 بطاقات من نفس النوع هو 4 × مجموع (13،3) × مجموع (39،2) = 847704. إذن، مجموع التركيبات هو 960388، والاحتمال هو 36.95%.

احتمال حصول لاعب واحد على مجموعة مكونة من 7 بطاقات هو 4*combin(13,7)/combin(52,7) = 1 في 19491. احتمال حصول لاعب واحد على الأقل من أصل 7 لاعبين على مجموعة مكونة من 7 بطاقات هو حوالي 1 في 2785.

هناك أربع مجموعات محتملة للملكي. هناك خمس بطاقات مفقودة محتملة. يمكن أن تكون البطاقة الخامسة واحدة من 47 بطاقة أخرى. إذن، هناك 4 × 5 × 47 = 940 طريقة للحصول على أربع بطاقات ملكية. مجموع المجموعات (52، 5) = 2,598,960. لذا، الاحتمال هو 940/2,598,960 = 1 من 2,765.

لا! بالتأكيد لا!

الاحتمالات هي نفسها.

نعم، الاحتمالات متساوية. سبع بطاقات عشوائية من أصل ٥٢ لها نفس الاحتمالات بغض النظر عن كيفية إخراجها من المجموعة أو من تشاركها معه.

(12/52)*(11/51)*(10/50)*(9/49)*(8/48) = 0.00030474، أو حوالي 1 في 3282.

باستثناء الفلاشات المتتالية والرويال فلاش، فإن احتمالية الحصول على ستريت هي ١.٠٢٪، واحتمالية الحصول على فلاش هي ١.٠٤٪. لذا، فإن احتمالية الحصول على فلاش أعلى بقليل.

بعض الكازينوهات تُعامل A2345 (المعروفة باسم "العجلة") على أنها أدنى سلسلة متتالية، لكن معظمها لا يزال يُعاملها على أنها ثاني أعلى سلسلة متتالية. أُشير إلى أن هذه القاعدة عامة وليست دائمًا.

أشك في أن الكازينو سيغش، لماذا؟ القلق الأكبر هو اللاعبون الآخرون. من السهل جدًا على اللاعبين التواطؤ عبر الهاتف أو الرسائل الفورية. لا أعلم إن كانوا يفعلون ذلك أم لا. على الأرجح، يكون خطر ذلك أكبر على الطاولات ذات الحد الأعلى.

دعوني أشرح ما هي آلة الفئة الثانية لمصلحة الآخرين. إنها آلة سلوت تُحدد نتيجتها بسحب كرات البنغو. إذا أحسنت اللعب (وهو أمرٌ غير صحيح في أغلب الأحيان)، فستكون اللعبة كأي آلة سلوت عادية. زرتُ كازينوهين في تولسا، ولم تكن أقرب ما وجدته إلى لعبة فيديو بوكر هي ماكينات السلوت من الفئة الثانية، بل "السحب". باستخدام السحب، يضع اللاعب رهانه، ويضغط على زر، فتظهر خمس بطاقات على الشاشة، وتُمنح قسيمة في حال ربح أي شيء. يمكنك أخذها إلى أمين الصندوق. على الرغم من وجود جدول ربح لخمس بطاقات، لا أعتقد أن توزيع البطاقات يتم عشوائيًا، بل هو مجرد وسيلة مساعدة بصرية لإظهار مقدار ربحك.

نادرًا ما أقول هذا، لكنني حاولتُ لساعات، لكنّ حساباتي في هذا الأمر كانت فوق طاقتي. لذا لجأتُ إلى صديقي وأستاذ الرياضيات غابور ميجيسي. إليكم صيغته لأيّ مسألة "جفاف".

1. دع p يكون احتمال الفوز بأي يد معينة.
2. ليكن d هو طول الجفاف.
3. ليكن n هو عدد الأيدي التي تم لعبها.
4. حدد k=dp و x=np.
5. إذا كان k=1 فدع a=-1، وإلا فأوجد a بحيث يكون k=-ln(-a)/(1+a). (a هو رقم سلبي، إذا كان k>1 فإن -1 < a < 0، إذا كان k < 1 فإن a < -1، ويجب حساب a بدقة عالية.) [ملاحظة المعالج: يمكن العثور على هذا النوع من الحلول بسهولة في Excel باستخدام ميزة البحث عن الهدف ضمن قائمة الأدوات.]
6. إذا كان k=1 فليكن A=2، وإلا فليكن A=(1+a)/(1+ak).
7. احتمال عدم حدوث جفاف بطول d في n يد هو تقريبًا Ae ^{a x} .

في هذه المسألة تحديدًا، p=1/40391، d=200000، n=1000000، k=4.9516، x=24.758، a=-0.0073337، A=1.03007. لذا، فإن احتمال عدم حدوث جفاف هو 1.03007*e ^{-0.0073337*24.758} = 0.859042. وبالتالي، فإن احتمال حدوث جفاف واحد على الأقل هو 1-0.859042 = 0.140958.

إليكم حل غابور ميجيسي الكامل المكون من خمس صفحات (PDF). شكرًا لك يا غابور على مساعدتك.

أجريتُ محاكاةً عشوائيةً لـ 32,095 مجموعةً من مليون يد. وكان العدد الذي شهد جفافًا واحدًا على الأقل هو 4558، باحتمالية 14.20%.

يوضح الجدول التالي احتمالية الحصول على من 0 إلى 4 آسات في يد عشوائية تمامًا.

إذا جمعنا بين ١ و٤ آسات، نجد أن احتمال ظهور آس واحد على الأقل هو ٠٫٣٤١١٥٨. واحتمال ظهور آسين أو أكثر هو ٠٫٠٤١٦٨٤.

يمكن إعادة صياغة احتمال وجود آص واحد على الأقل، بشرط وجود واحد على الأقل، وفقًا لنظرية بايز على النحو التالي: الاحتمال (آصان آخران مع وجود آص واحد على الأقل) = الاحتمال (آصان أو أكثر) / الاحتمال (آص واحد على الأقل) = 0.041684 / 0.341158 = 0.122185.

بالنسبة لأولئك الذين لا يعرفون نظرية بايز، فهي تنص على أن احتمال A مع إعطاء B يساوي احتمال A و B مقسومًا على احتمال B، أو Pr(A مع إعطاء B) = Pr(A و B)/Pr(B).

يوضح الجدول التالي التركيبات والاحتمالات لكل عدد من الآسات الأخرى بشرط إزالة الآس البستوني من المجموعة.

يُظهر هذا أن احتمالية الحصول على آص واحد على الأقل هي 0.221369.

للتسلية، دعونا نحل نفس السؤال باستخدام نظرية بايز. افترض أنه يتم توزيع أوراق عشوائية حتى يتم العثور على واحدة تحتوي على الآس البستوني. يمكن إعادة كتابة احتمال وجود آس إضافي واحد على الأقل، بشرط أن تحتوي اليد على الآس البستوني، على النحو التالي: الاحتمال (اثنين من الآس على الأقل بشرط وجود الآس البستوني في اليد). وفقًا لنظرية بايز، فإن هذا يساوي الاحتمال (اليد تحتوي على الآس البستوني وآس واحد على الأقل) / Pr (اليد تحتوي على الآس البستوني). يمكننا تقسيم البسط إلى الاحتمال (آسان بما في ذلك الآس البستوني) + الاحتمال (3 آسات بما في ذلك الآس البستوني) + الاحتمال (4 آسات). باستخدام الجدول الأول، يساوي هذا 0.039930 × (2/4) + 0.001736 × (3/4) + 0.000018 = 0.021285. احتمال ظهور الآس البستوني هو ٥/٥٢ = ٠٫٠٩٦١٥٤. لذا، فإن احتمال ظهور آسين على الأقل مع وجود الآس البستوني هو ٠٫٠٢١٢٨٥/٠٫٠٩٦١٥٤ = ٠٫٢٢١٣٦٩.

لذا فإن احتمال الحصول على اثنين أو أكثر من الآسات في حالة وجود آس واحد على الأقل هو 12.22%، وفي حالة وجود آس البستوني هو 22.14%.

أولاً، قمت بتقسيم الفلاشات المتتالية إلى نوعين، تلك التي تحتوي على أربع بطاقات متتالية من نفس النوع وتلك التي تحتوي على خمس بطاقات. عدد الفلاشات المتتالية المكونة من خمس بطاقات هو عدد الأنواع * عدد السلاسل (من الآس إلى 10 كأقل بطاقة) = 4 * 10 = 40. يوجد في الفلاشات المتتالية المكونة من أربع بطاقات 11 سلسلة مختلفة (من الآس إلى الولد كأقل بطاقة). في حالة الفلاشات المتتالية A234 و JQKA، يمكن أن تكون البطاقة الخامسة واحدة من 47 (52 ناقصًا البطاقات الأربع التي تمت إزالتها بالفعل والبطاقة الخامسة التي ستشكل فلاشًا متتاليًا مكونًا من 5 بطاقات، والتي تم احتسابها بالفعل). لذا يوجد 4 * 2 * 47 = 376 فلاشًا متتاليًا من الامتداد A234 أو JQKA. من بين التسع الأخرى، يوجد 46 بطاقة محتملة للبطاقة الخامسة (52 ناقصًا البطاقات الأربع التي تمت إزالتها بالفعل واثنتان للبطاقات التي ستشكل فلاشًا متتاليًا مكونًا من خمس بطاقات). لذا فإن عدد الفلاشات المتتالية من الامتداد 2345 إلى TJQK هو 4 * 9 * 46 = 1656. وبالتالي فإن العدد الإجمالي للمجموعات المتتالية المكونة من 4 بطاقات هو 40 + 376 + 1656 = 2072.

شكراً على كلماتك الطيبة. أنا مُلِمٌّ بهذه اللعبة. لنفترض أن يدك الأولى كانت JJQQK وأنك احتفظت بورقتي الولد. عدد طرق الحصول على ولد واحد وبطاقتين أخريين في السحب هو 2*combin(45,2) = 1980. عدد طرق الحصول على ولدين في السحب هو 45. عدد طرق الحصول على ثلاثة متشابهة في السحب هو 10*4+1 = 41. لذا، فإن عدد طرق تحسين اليد إلى ثلاثة متشابهة أو أفضل هو 1980+45+41 = 2066. إجمالي عدد طرق اختيار 3 بطاقات من أصل 47 المتبقية هو combin(47,3) = 16215. لذا، فإن احتمال تحسين اليد إلى ثلاثة متشابهة أو أفضل هو 2066/16215 = 12.74%. إذا احتفظتَ بالزوجين، فإن احتمالية الوصول إلى "فول هاوس" هي 4/47 = 8.51%. لذا، بافتراض أن ثلاثة أزواج متشابهة ستفوز على الأرجح، أوافق على أن الاحتفاظ بزوج واحد فقط (الزوج الأعلى) هو الخيار الأفضل.

1/مجموعة(52,4) = 1 في 270725.

كيف لي أن أرفض بعد أن أطريتني بهذه الطريقة؟ أولًا، هناك مجموع (52، 7) = 133,784,560 طريقة لاختيار 7 بطاقات من أصل 52، بغض النظر عن الترتيب. هناك 8 نطاقات ممكنة لسلسلة من 7 بطاقات (أقل بطاقة يمكن أن تكون من A إلى 8). إذا كان لدينا 7 رتب مختلفة، فهناك 4 ⁷ = 16384 طريقة لترتيب الأنواع. لاحظ أن هذا يشمل جميع الأنواع نفسها، والتي ستشكل سلسلة متتالية. لذا، فإن الاحتمال هو 8 × 16,384 / 133,784,560 = 1 في 1020.6952.

أتلقى أسئلةً حول جوائز "باد بيت" الكبرى مرةً شهريًا تقريبًا. عندما أجد الوقت، أخطط لإضافة قسمٍ خاصٍّ بها إلى موقعي. أتردد في أن أتلقى أسئلةً حول كل جائزة "باد بيت" الكبرى في كل غرفة بوكر حول العالم.

أوافقك الرأي. إذا كانت الأوراق مُخلطة جيدًا، فلا مشكلة. أما إذا كانت مُخلطة بشكل سيء، فأعتقد أن على الموزع توزيع الأوراق واحدة تلو الأخرى حتى يتم توزيع أي أوراق مُتبقية بين اللاعبين.

شكرًا جزيلًا على كلماتكم الطيبة. إذا خفضتَ مكافأة الستريت من ١٠ إلى ٨، ستزداد نسبة ربح الكازينو من ٣.٣٢٪ إلى ٣.٤٨٪.

من الاحتمالية ١٠١، نعلم أن احتمالية (أ أو ب) = احتمالية (أ) + احتمالية (ب) - احتمالية (أ و ب). إذًا، احتمالية (أ و ب) = احتمالية (أ) + احتمالية (ب) - احتمالية (أ أو ب). لنفترض أن (أ) يحصل على آص، و(ب) يحصل على اثنين. احتمالية (أ) = احتمالية (آص واحد على الأقل) = احتمالية (بدون آص) = احتمالية (48،4) / احتمالية (52،4) = 1-0.7187 = 0.2813. من البديهي أن احتمالية عدم الحصول على اثنين متساوية. بنفس المنطق، احتمال الحصول على آس أو اثنين على الأقل = احتمال الحصول على آس واحد أو اثنين = احتمال الحصول على واحد (بدون آسات ولا اثنين) = احتمال الحصول على واحد (44،4) / احتمال الحصول على واحد (52،4) = 1 - 0.501435 = 0.498565. لذا، احتمال الحصول على آس واحد واثنين على الأقل هو 0.2813 + 0.2813 - 0.498565 = 0.063962.

هناك ست طرق لترتيب مجموعتين من أصل أربع لكل زوج. ثم هناك 44 بطاقة للبطاقة المفردة. لذا، فإن عدد التركيبات الناجحة هو 6 × 6 × 44 = 1584. يبلغ إجمالي التركيبات 2,598,960، لذا فإن الاحتمال هو 0.0609%.

القيمة المتوقعة للعب High Tequila هي 115.904، بينما Tequila Poker هي 16 فقط. لذا فإنك تلعب High Tequila بالتأكيد.

إذا كنت تقصد بطاقة ملكية مكونة من 5 بطاقات وأي بطاقتين أخريين، فإن الاحتمال هو 4* مجموعة (47,2)/مجموعة (52,7) = 4,324/ 133,784,560 = 1 في 30,940.

ينطبق الأمر نفسه على لعبة فيديو بوكر التقليدية، فبمجرد استبعاد بطاقة، لا يمكن إعادتها إلى اللعبة. لذا، فإن العائد المتوقع في سبين بوكر هو نفسه العائد في فيديو بوكر التقليدية مع جدول ربح مماثل.

عدد طرق الحصول على سلسلة متتالية من أربع بطاقات هو 4*(9*46 + 2*47) = 2032. هناك 3744 طريقة للحصول على فول هاوس و624 طريقة للحصول على أربعة من نفس النوع. لذا، يجب أن يقع الفلاش المستقيم من أربع بطاقات بين فول هاوس وأربعة من نفس النوع.

إذا كنت تحمل الزوج الأقل فقط، فإن احتمال تحسين يدك إلى زوجين أو أفضل هو 28.714%. إذا كنت تحمل الزوج وبطاقة "كيكر"، فإن احتمال تحسين يدك إلى زوجين أو أفضل هو 25.902%. لذا، فإن احتمال تحسين يدك إلى زوجين أو أفضل يكون أعلى عند حمل الزوج فقط. ومع ذلك، إذا افترضت أنك ستحتاج إلى زوجين أو أفضل للفوز، فمن المرجح أن يكون احتمال تحقيق ذلك أعلى، وذلك حسب نوع البطاقة وتعريفك لكلمة "عالي".

هناك طريقة واحدة فقط للحصول على تلك اليد بالضبط. لذا، الاحتمال هو ١ في المجموعة (٥٢،٥) أو ١ في ٢,٥٩٨,٩٦٠.

أستطيع أن أفكر في ثلاثة أسباب تدفع المشرف إلى تبديل أوراقه بعد فوز كبير. الأول هو أن أوراقه كانت مهترئة وكان من المفترض تبديلها على أي حال. الثاني هو قلقه من وجود خلل في أوراقه. الثالث هو أنه "يُبذّر المال" ويعتقد خطأً أن تبديل الأوراق سيُغيّر حظه. أراهن أن التفسير الثالث هو الأرجح.

لقرائي الذين قد لا يعرفون، تتكون يد أوماها من تسع بطاقات. إذا سُمح للاعب باستخدام أي تسع بطاقات، فسيكون الاحتمال (13* مجموعة (48,5) - مجموعة (13,2)*44)/مجموعة (52,9) = 0.00605. أما إذا أُجبر اللاعب على استخدام بطاقتين فقط من أوراقه الأربع المخفية، فسيكون الاحتمال

 (13*كومبين(4,2)*كومبين(48,2)*كومبين(2,2)*كومبين(46,3)-كومبين(13,2)*كومبين(4,2)*كومبين(4,2)*كومبين(2,2)*كومبين(2,2)*44)/(كومبين(52,4)*كومبين(48,5)) = 0.00288

لاحظ أن هذه الصيغ تتكيف مع إمكانية الحصول على اثنين من أربعة من نفس النوع.

كما ذكرتُ مرارًا، يُعدّ البوكر من أضعف ألعابي في عالم المقامرة. في هذه اللعبة، استعنتُ بتوني جيريرا، مؤلف كتاب "البوكر القاتل بالأرقام" ، الذي سيُنشر في يناير ٢٠٠٧.

كان رد توني طويلًا. باختصار، إحدى هذه التقنيات هي بناء رهان جماعي، حيث يقوم اللاعبان المتواطئان بجمع رهان كل منهما الآخر، بهدف جذب المزيد من الأموال من لاعبين آخرين أو إقصائهم. في البطولات، هناك تقنية أخرى تتمثل في توزيع الرقائق على لاعب واحد فقط. لمزيد من التفاصيل، يُرجى الاطلاع على رد توني كاملًا .

احتمالية الحصول على خمسة أوراق متشابهة أقل. أضفتُ للتو جدولًا إلى قسم احتمالات البوكر يُفصّل احتمالية كل يد، وفقًا لكل رتبة، كأوراق برية.

أعتقد أن السؤال لا يُخالف أي قواعد، ولكن الإجابة عليه تُخالفها بالتأكيد. لا أُوجّه أي اتهامات في حالتك، ولكن بشكل عام، عندما يلعب زوجان البوكر معًا في مباراة منزلية، غالبًا ما تُخالف قواعد منع التواطؤ، مما يُسبب استياءً للجميع. المخالفة المعتادة هي أن يُنصح الرجل زوجته بعد انسحابه. عندما كنت أعيش في كاليفورنيا، ساءت الأمور مع أحد الزوجين لدرجة أنني عندما استضفت اللعبة، وضعت قاعدةً تمنعهما من التواجد في غرفة اللعب في نفس الوقت. لذا، ربما واجهت المضيفة مشكلةً مع الأزواج الذين يلعبون البوكر سابقًا، وبالغت في ردة فعلها.

يُطلق على هذا النوع من الرهانات اسم "السترادل المباشر"، وهو عندما يقوم اللاعب بعد الرهان الأعمى الكبير برفع رهانه قبل النظر في أوراقه. على سبيل المثال، في لعبة بـ 3 دولارات/6 دولارات، يكون الرهان الأعمى الكبير 3 دولارات، وبالتالي يكون سعر السترادل 6 دولارات. سألت صديقي جيسون عن سبب ذلك، فقال: "يلجأ بعض اللاعبين إلى هذا النوع من الرهان لتحفيز اللاعبين في لعبة "متقاربة". كما أن اللاعب الذي يراهن على السترادل لديه خيار رفع رهانه بعد أن يقوم الرهان الأعمى الكبير برفع رهانه. تُفضل صالات لعب الورق هذا النوع من الرهانات وتسمح به لأنه يضمن تقريبًا رهانًا أكبر، وبالتالي عمولة أعلى".

هناك استخدامان لمصطلح "الدعائم" في البوكر. أولًا، لاعب الدعامة هو من يتقاضى أجرًا بالساعة من غرفة البوكر للعب. والسبب هو الحفاظ على حد أدنى معين من اللاعبين على كل طاولة. لمزيد من المعلومات، تجدون إجابات مفصلة على هذه الأسئلة على موقع poker-babes.com. ثانيًا، رهان الدعامة هو رهان جانبي يُوضع بين اللاعبين، وغالبًا ما يكون على الطاولة.

التركيبات في لعبة البوكر ذات الخمس بدلات

يُسلِّم	التركيبات	احتمال	صيغة
خمسة من نفس النوع	13	0.000002	13
فلاش مستقيم	50	0.000006	5*10
أربعة من نفس النوع	3900	0.000472	13*12* مجموعة (5,4)*5
تدفق	6385	0.000773	5*(الجمع(13,5)-10)
منزل كامل	15600	0.001889	13*12*الجمع(5,3)*الجمع(5,2)
مستقيم	31200	0.003777	10*(5^5-5)
ثلاثة من نفس النوع	214500	0.025969	13*كومبين(12,2)*كومبين(5,3)*5^2
زوجان	429000	0.051938	كومبين(13,2)*11*كومبين(5,2)^2*5
زوج	3575000	0.432815	13*كومبين(12,3)*كومبين(5,3)*5^3
لا شئ	3984240	0.48236	(الجمع (13،5) - 10) * (5 ^ 5 - 5)
المجموع	8259888	1

لاحظ أنني قمت بعكس ترتيب البيت الكامل والفلاش.

شكرا. (4 ⁵ -4)/combin(52,5) = 1020/2598960 = 1 في 2,548.

أتمنى أن تكون سعيدًا، فقد أمضى جهازي خمسة أيام في تحليل جميع الأيدي المحتملة في لعبة أوماها، والبالغ عددها 464 مليار يد. إليكم جداول لكلٍّ من اليد العليا والسفلى. لفائدة القراء الآخرين، يحصل اللاعب في لعبة أوماها على أربع أوراق لنفسه وخمس أوراق مشتركة. يجب عليه استخدام بطاقتين فقط من أوراقه الخاصة وثلاث أوراق مشتركة لتكوين أفضل يد عالية ومنخفضة. بالنسبة لليد السفلى، لا تُحتسب أوراق المتتاليات والفلاش ضد اللاعب، وتكون أوراق الآس دائمًا منخفضة.

أوماها هاي هاند

يُسلِّم	التركيبات	احتمال
دافق ملكي	42807600	0.000092
فلاش مستقيم	368486160	0.000795
أربعة من نفس النوع	2225270496	0.0048
منزل كامل	29424798576	0.063475
تدفق	31216782384	0.067341
مستقيم	52289648688	0.112799
ثلاثة من نفس النوع	40712657408	0.087825
زوجان	170775844104	0.368398
زوج	122655542152	0.264593
جميع الآخرين	13851662832	0.029881
المجموع	463563500400	1

أوماها لو هاند

يُسلِّم	التركيبات	احتمال
5 عالية	7439717760	0.016049
6 عالية	25832342400	0.055726
7 عالية	51687563904	0.111501
8 عالية	76415359104	0.164843
9 عالية	90496557312	0.195219
10 عالية	87800751360	0.189404
ج عالية	68526662400	0.147826
Q عالية	39834609408	0.085931
ك عالية	13835276928	0.029845
زوج أو أعلى	1694659824	0.003656
المجموع	463563500400	1

اتبع هذا الرابط .

في النهاية، البطاقات تتحدث. كان من المفترض أن تفوز بتلك اليد.

دعوني أذكّر قرائي الآخرين بأنه في لعبة أوماها، يحصل كل لاعب على أربع أوراق مخفية. سأفترض أن لديك آسًا واحدًا، واثنين، وبطاقتين أخريين من رتب مختلفة. إليكم الطرق وعدد التركيبات التي يمكن للاعب آخر من خلالها الحصول على آس واحد واثنين على الأقل:

1 آس و 1 ديو: 3×3×كومب(44,2)=8,514
2 ارسالا ساحقا و 1 التعادل: الجمع بين (3،2) × 3 × 44 = 396
1 آس و 2 ديوسيس: 3×مجموعة(3,2)×44=396
2 آسات و 2 ديوسيس: combin(3,2)×combin(3,2)=9
3 آسات و 1 ديويس: 3 × 3 = 9
1 ديو و 3 ديو: 3 × 3 = 9
المجموع = 9,321

هناك مجموع (48، 4) = 194,580 طريقة لاختيار 4 بطاقات من أصل 48 بطاقة متبقية. لذا، فإن احتمال حصول الخصم على آس واثنين هو 9,321/194,580 = 4.79%. يمكننا تقدير احتمال حصول لاعب واحد على الأقل من أصل خمسة خصوم على هذه البطاقة بـ 1-(1-.0479) ⁵ = 17.83%. هذا ليس صحيحًا تمامًا، لأن الاحتمالات ليست مستقلة بين اللاعبين.

هذه مسألة توزيع ثنائي. الصيغة العامة هي أنه إذا كان احتمال وقوع حدث ما هو p، وكانت كل نتيجة مستقلة، فإن احتمال وقوعه بالضبط w من t تجارب هو combin (t,w)×p ^w ×(1-p) ^tw .

في هذه الحالة، هناك طريقتان للحصول على ستريت فلش. ستحتاج إلى 8 من الماس وورقة أخرى من 6 أو J من الماس. هناك combin(47,2)=1,081 طريقة لسحب ورقتين من أصل 47 ورقة متبقية في المجموعة. لذا، فإن احتمال الحصول على ستريت فلش في أي يد هو 2/1,081 = 0.0018501. واحتمال الحصول على 3 من 10 هو combin(10,3)×0.0018501 ³ ×(1-0.0018501) ⁷ = 0.000000750178، أو 1 من 1,333,017.

تنشر الصحف قصصًا كثيرة عن لاعبي بوكر محترفين على الإنترنت يشتكون من انعدام فرص كسب عيشهم. في الواقع، قد يظن المرء أن الجميع يربح من البوكر على الإنترنت، سواءً اللاعبين أو المشغلين. مع ذلك، لا بد من وجود خاسرين ليدفعوا ثمن كل ذلك، لكنني لم أسمع أحدًا يعترف بخسارته.

دعوني أكون أول من يبدأ. لقد لعبتُ الكثير من البوكر على الإنترنت، عادةً ألعابًا منظمة تتراوح قيمتها بين دولار واحد ودولارين، وبين أربعة وثمانية دولارات، ولا أحتاج إلى متابعة رصيدي لأعرف أنني خسرتُ. لا أعرف حتى إن كنتُ قويًا بما يكفي لتجاوز العمولات. في رأيي، أصبحت العديد من مواقع البوكر على الإنترنت مليئةً بالروبوتات والمحترفين، بمساعدة برامج تتبع اللاعبين، مما يجعل من الصعب على اللاعبين الهواة، مثلي، الحصول على فرصة للفوز.

إذا قررت حكومة الولايات المتحدة يومًا ما تقنين لعبة البوكر عبر الإنترنت، وأنا أؤمن بشدة بضرورة القيام بذلك، فإنني آمل أن تشرف عليها وكالة تنظيمية قوية وتتأكد من أن البشر فقط هم من يلعبون على قدم المساواة.

تم طرح هذا السؤال ومناقشته في منتدى موقعي المرافق Wizard of Vegas .

أولاً، دعونا نراجع مجموعات الرقائق.

يوضح الجدول التالي الفوز لكل نتيجة نهائية في البطولة.


بافتراض تساوي مهارات جميع اللاعبين، يُمكن تقدير احتمال الفوز بنسبة إجمالي رصيد الرقائق. ومع ذلك، يزداد الأمر تعقيدًا في كل مركز بعد ذلك. للمساعدة في الإجابة على هذا السؤال، طوّرتُ حاسبة بطولات البوكر الخاصة بي.

بعد إدخال المعلومات أعلاه، ستجد أن أمير يتوقع فوزًا قدره 3,658,046 دولارًا أمريكيًا. بعد طرح الحد الأدنى للجائزة، وهو 733,224 دولارًا أمريكيًا، للمركز التاسع، ستحصل على 2,924,822 دولارًا أمريكيًا من الأرباح غير المضمونة المتوقعة. تبلغ قيمة كل حصة 1% 29,248.22 دولارًا أمريكيًا. وهذا هو السعر المذكور في مقالة cardplayer.com.

بالمناسبة، حلّ فريق ليهافوت ثالثًا، وحصل على جائزة مالية قدرها 3,727,023 دولارًا. بطرح مبلغ 733,224 دولارًا المضمون للمركز التاسع وقسمة الناتج على 100، ربح كل سهم بنسبة 1% 29,938 دولارًا. كانت التكلفة الأصلية للسهم 29,248 دولارًا، أي أن كل سهم كان سيحقق ربحًا بنسبة 2.36%.

تمت مناقشة هذا السؤال في منتدياتي في Wizard of Vegas .

احتمال وجود زوج جيب = 13* المجموعة (4,2)/المجموعة (52,2) = 5.88%.
احتمال AK = 4 ² /combin(52,2)= 1.21%.
احتمال أي منهما = 5.88% + 1.21% = 7.09%.
احتمال عدم الحصول على أي منهما = 100% -7.09% = 92.91%.
احتمال الحصول على أي منهما مرة واحدة في 161 يدًا = 161 * 0.9291 ¹⁶⁰ * 0.0709 ¹ = 1 في 11268.

تمت مناقشة هذا السؤال في منتدياتي في Wizard of Vegas .

دعونا نسأل أولاً ما هو احتمال أن يكون لدى جميع اللاعبين الأربعة في لعبة مكونة من أربعة لاعبين أي آس أو ملك؟

الإجابة على هذا السؤال ستكون (4*4/combin(52,2)) * (3*3/combin(50,2)) * (2*2/combin(48,2)) * (1/combin(46,2)) = 1 في 3,292,354,406.

مع ذلك، من الممكن أن تكون بعض أوراق الآس/الملك متطابقة. للتوضيح، احتمال عدم وجود أيٍّ منها متطابق هو 9/24. لذا، قلّل الاحتمال إلى 1 من 8,779,611,750.

ومع ذلك، فهي لعبة لعشرة لاعبين، وأي من المجموعات (١٠، ٤) = ٢١٠ من أربعة لاعبين يمكن أن تكون المجموعات الأربعة التي تحتوي على آس وملك غير متماثلين. لذا، اضرب هذا الاحتمال في ٢١٠، والإجابة هي ١ من ٤١،٨٠٧،٦٧٥.

تم طرح هذا السؤال ومناقشته في منتدى Wizard of Vegas .

بافتراض وصول كلتا اليدين إلى النهاية، أُظهر أن أفضل يد متنافسة هي يد من نوع 5-6. إذا لم يكن النوع مُمثلاً في زوج الآسات، فالنتائج المحتملة هي:

• الفوز: 22.87%
• التعادل: 0.37%
• خسارة: 76.76%

إذا تم تمثيل الدعوى في زوج من الآسات (مما يقلل من فرصة الحصول على الفلاش)، فإن النتائج المحتملة هي:

• الفوز: 21.71%
• التعادل: 0.46%
• خسارة: 77.83%

بشكل عام، النتائج المحتملة هي:

• الفوز: 22.290%
• التعادل: 0.415%
• خسارة: 77.295%

يعتمد ذلك على عدد اللاعبين على الطاولة. كلما زاد العدد، كان ذلك أفضل، لأن احتمال الخسارة سيكون أكبر مع وجود عدد أكبر من اللاعبين. يوضح الجدول التالي احتمال خسارة كل من الأزواج الأربعة بناءً على إجمالي عدد اللاعبين على الطاولة، بمن فيهم أنت. هذا بافتراض عدم انسحاب أي لاعب. من الواضح أن هذا افتراض غير واقعي، لذا أعتبر هذه الاحتمالات حدًا أقصى.

يُحسب متوسط الربح بسهولة كالتالي: ١٠٠ دولار × (١/٦) + ٧٥ دولارًا × (١/٦) + ٥٠ دولارًا × (١/٢) = ٦٢.٥٠ دولارًا. مع ذلك، يُظهر الجدول التالي القيمة المتوقعة لكل من أزواج الجيب الأربعة عند ظهورها، بافتراض عدم انسحاب أي لاعب آخر.

يوضح الجدول التالي قيمة هذا العرض الترويجي لكل يد لعبت. وهو ببساطة حاصل ضرب الجدول أعلاه في احتمال الحصول على أوراق اللعب المطلوبة، وهو 6/1326 = 0.90%.

يوضح الجدول التالي قيمة هذا العرض الترويجي لكل ساعة لعب، بافتراض معدل 30 يدًا في الساعة. وهذا أيضًا بافتراض عدم انسحاب أي لاعب، لذا أعتبر هذا الحد الأقصى لقيمة العرض لكل ساعة.

في لعبة تكساس هولدم لعشرة لاعبين، بافتراض عدم انسحاب أي لاعب، فإن احتمال أن تكون اليد العليا ستريت أو رويال فلش هو ١ من ٣٥٠.١٤. واحتمال حدوث ذلك في ثلاث أيادٍ من أصل ثلاث هو ١ من ٤٢,٩٢٦,٤٩١.

مع ذلك، ربما كانت هذه الطاولة تعمل لساعات. ربما يكون السؤال الأكثر واقعية هو: ما احتمال حدوث ذلك مرة واحدة على الأقل في اليوم؟ بافتراض لعب لمدة ٢٤ ساعة كاملة و٢٤ يدًا في الساعة، ستكون الإجابة ١ من ٥٩٦٢١.

تم طرح هذا السؤال ومناقشته في منتدياتي في Wizard of Vegas .