احتمال - النرد

الإجابة هي 6*(1/6) ⁶ = 6/46,656 = 1/7,776 =~ 0.0001286 .

متوسط عدد الرميات لكل لاعب هو 8.525510. لمعرفة احتمالية رميتين إلى 200 رمية بالضبط، يُرجى مراجعة صفحة احتمالية البقاء في لعبة الكرابس .

يوضح ملحق الكرابس كيفية حساب احتمالات أي رهان. ستجد هنا أن احتمال خسارة رهان "عدم المرور" هو ٢٩٢٨/٥٩٤٠. واحتمال خسارة n رهان متتالي هو (٢٩٢٨/٥٩٤٠) ⁿ . ويمكن تقريب تكرار الخسارة بالضبط n لكل ١٠٠,٠٠٠ رهان إلى ١٠٠,٠٠٠ × (٢٩٢٨/٥٩٤٠) ^n+٢ .

احتمالات الحصول على ستة من نفس الرقم باستخدام ستة أحجار نرد هي 6*(1/6) ⁶ =1/7776 =~ 0.01286%.

شكراً على الإطراء. أعتقد أنك تقصد ما هو احتمال رمي حجري نرد ٢٨ مرة دون الحصول على ٧؟ احتمال عدم الحصول على ٧ في أي رمية هو ٥/٦. واحتمال عدم الحصول على ٧ في ٢٨ رمية هو (٥/٦) ^٢٨ = ٠.٠٠٦٠٦٦، أو حوالي ١ من ١٦٥.

احتمال مطابقة ثلاثة أرقام هو ١/٢١٦. احتمال مطابقتين هو ٣*٥/٢١٦. احتمال مطابقة واحدة هو ٢٥*٥/٢١٦. احتمال عدم مطابقة أي رقم هو ٥*٥*٥/٢١٦. لذا، فإن العائد المتوقع هو ٣*(١/٢١٦)+٢*(١٥/٢١٦)+١*(٧٥/٢١٦)-١*(١٢٥/٢١٦)=-١٧/٢١٦=-٧.٨٧٪. لا يوجد عدد مثالي للرهانات، وستخسر ٧.٨٧٪ من إجمالي قيمة الرهان مهما فعلت.

يمكن إجراء هذه الرهانات في كل من لعبة sic bo ولعبة chuck a luck .

هناك 15 مجموعة أزواج مختلفة ممكنة. هناك 6 طرق لرمي النرد. هناك 6^4 = 1296 طريقة لرمي أربعة نرد. لذا، فإن الاحتمال هو 90/1296 = 6.9444%.

إذا رميتَ x نردًا، فإن احتمال الحصول على الرقم 6 مرة واحدة على الأقل هو 1-(5/6) ^2. وفي حالة رمي نردين، تكون هذه النسبة 30.56%.

أولاً، هناك دالة الجمع (6، 3) = 20 طريقة لاختيار ثلاثة أحجار نرد من أصل 6 للحصول على الرقم واحد. ثم يمكن أن يكون كل رقم من الأرقام الثلاثة الأخرى أيًا من خمسة أرقام. إذن، مجموع الطرق هو 20 × 5 = ³ = 2500. إجمالي عدد طرق رمي جميع أحجار النرد هو ⁶ = 46656، لذا فإن احتمال الحصول على ثلاثة أرقام واحدة فقط هو 2500/46656 = 0.0536. للحصول على مساعدة في دالة الجمع، راجع قسم الاحتمالات في البوكر .

احتمال الحصول على الرقم واحد فقط بثلاثة أحجار نرد هو 3*(5/6) ² *(1/6) = 75/216 = 34.72%.

يمكن أن يكون الزوج أي رقم من ستة أرقام. يمكن أن يكون الرقمان المنفردان الآخران من بين الأرقام الخمسة الأخرى. إذن، لدينا 6 × مجموعة (5، 2) = 60 تركيبة. لدينا مجموعة (4، 2) = 6 تركيبات من النرد يمكن أن يظهر عليها الزوج. يمكن ترتيب الرقمين المنفردين بطريقتين. إذن، لدينا 60 × 12 = 720 طريقة لرمي زوج. العدد الإجمالي لجميع طرق رمي النرد هو 6 ^{× 4} = 1296. لذا، فإن الاحتمال هو 720/1296 = ~ 55.56%.

احتمال رمي ١٠ أحجار نرد وتطابق ٨ أرقام بالضبط هو ٦*combin(١٠,٨)*(١/٦) ^٨ *(٥/٦) ^٢ = ١/٨٩٥٧.٩٥٢. احتمال مطابقة ٨ أرقام على الأقل هو ٦*[combin(١٠,٨)*(١/٦) ^٨ *(٥/٦) ^٢ + combin(١٠,٩)*(١/٦) ^٩ *(٥/٦) + (١/٦) ^١٠ ] = ١/٨٥٦٩.٤٦٩.

مع كل لفة جديدة، احتمال أن تكون اللفات الأربع التالية كلها ستة مزدوجة هو (1/36) ⁴ = 1 في 1679616.

هناك نطاقان محتملان: من ١ إلى ٥ ومن ٢ إلى ٦. يمكن ترتيب كلٍّ من هذين النطاقين بـ ٥ طرق = ١٢٠ طريقة. هناك ٦ طرق = ^٥ = ٧٧٧٦ طريقة لرمي خمسة أحجار نرد. لذا، فإن الاحتمال هو ٢ × ١٢٠ / ٧٧٧٦ = ٣.٠٩٪. يبدو أن هذا الاحتمال أعلى بكثير بعد أن وضعتُ العلامة ٠ للسلسلة الكبيرة أثناء لعبة ياهتز.

العدد المتوقع من الآحاد هو 30*(1/6) = 5. احتمال الحصول على 5 آحاد بالضبط هو combin(30,5)*(1/6) ⁵ *(5/6) ²⁵ = 19.21%.

احتمال ألا تكون جميع أحجار النرد واحدًا هو (5/6) ⁿ . لذا، فإن احتمال ظهور رقم واحد على الأقل هو 1-(5/6) ⁿ . لنأخذ مثالًا لخمسة أحجار نرد. الإجابة هي 1-(5/6) ⁵ = 59.81%.

1-(5/6) ³⁶ = 99.86%

في كل رمية، يُتوقع بقاء 5/6 من النرد. لذا، فإن العدد المتوقع للنرد المتبقي بعد n رمية هو 36*(5/6) ⁿ . على سبيل المثال، بعد 10 رميات، يتبقى لديك 5.81 نرد، في المتوسط.

احتمال اختلاف جميع الأرقام هو (5/6)*(4/6)=20/36. لذا، احتمال تطابق رقمين على الأقل هو 1-(20/36) = 16/36 = 44.44%.

نعم. ببساطة، احسب مجموع الأرقام من ٢ إلى ١٢، ثم حدد احتمال ظهور كل رقم مرتين. ستكون الإجابة (١/٣٦) ^٢ + (٢/٣٦) ٢ + (٣/٣٦) ^٢ + (٤/٣٦) ^٢ + (٥/٣٦) ^٢ + (٦/٣٦) ^{٢ +} (٥/٣٦) ^٢ + (٤/٣٦) ^٢ + (٣/٣٦) ^٢ + (٢/٣٦) ^٢ + (١/٣٦) ^٢ = ١١٫٢٧٪.

احتمال ظهور سبعة أرقام ستاتية بسبعة نرد هو (1/6) ⁷ = 1 من 279,936. لذا، يجب أن تكون قيمة السيارة 279,936 جنيهًا إسترلينيًا أو أكثر ليكون هذا رهانًا جيدًا. حتى سيارة رولز رويس العادية لا تساوي هذا المبلغ، لذا أعتقد أن هذا رهان سيئ.

[يضيف بلو جاي: أجل، لكن أعتقد أن المغزى كان أنه كان للأعمال الخيرية. ما هو الأكثر متعة: التبرع بجنيه إسترليني واحد للأعمال الخيرية دون الحصول على أي شيء سوى الشعور الجميل بالمساعدة، أم التبرع بجنيه إسترليني واحد والحصول على شعور جيد بالإضافة إلى فرصة ضئيلة للفوز بسيارة؟]

• خمسة من نفس النوع: 6/6 ⁵ = 0.08% (واضح)
• أربعة من نفس النوع: 5*6*5 = 1.93% (خمسة مواضع ممكنة للبطاقة المفردة * 6 مراتب للبطاقة المفردة * 5 مراتب للبطاقة المفردة).
• الفول هاوس: combin(5,3)*6*5/6 ⁵ = 3.86% (combin(5,3) موضعًا للثلاثي المتماثل * 6 مراتب للثلاثي المتماثل * 2 مرتبة للزوج).
• ثلاثة من نفس النوع: COMBIN(5,3)*COMBIN(2,1)*6*COMBIN(5,2) / 6 ⁵ = 15.43%. (combin(5,3) موضعًا للثلاثة من نفس النوع * combin(2,1) موضعًا للأكبر من العناصر الفردية * 6 مراتب للثلاثة من نفس النوع * combin(5,2) مرتبة للعنصرين الفرديين.
• زوجان: COMBIN(5,2)*COMBIN(3,2)*COMBIN(6,2)*4 / 6 ⁵ = 23.15% (combin(5,2) موضع للزوج الأعلى * combin(3,2) موضع للزوج الأدنى * combin(6,4) مرتبة للزوجين * 4 مرتبة للعنصر المفرد.
• الزوج: COMBIN(5,2)*fact(3)*6*combin(5,3) / 6 ⁵ = 46.30% (combin(5,2) موضع للزوج * fact(3) موضع للعناصر الفردية الثلاثة * 6 مراتب للزوج * combin(5,3) مرتبة للعناصر الفردية.
• مستقيم: 2*fact(5) / 6 ⁵ = 3.09% (2 مدى للطرق المستقيمة {1-5 أو 2-6} * fact(5) لترتيب الطلب).
• لا شيء: ((COMBIN(6,5)-2)*FACT(5)) / 6 ⁵ = 6.17% (combin(6,5) طرق لاختيار 5 رتب من أصل ستة، ناقص 2 للمستقيمات، * fact(5) طرق لترتيب الترتيب.

بالتأكيد، هذا سهل. احتمال ظهور رقم ١٢ مرة واحدة على الأقل في ٢٤ رمية هو ١-(٣٥/٣٦) ^٢٤ = ٤٩.١٤٪. لذا، فإن الاحتمالات ترجح المراهنة ضد الرقم ١٢. هذا رهان ذكي لأن العدد المتوقع لأرقام ١٢ في ٢٤ رمية هو ٢/٣. مع ذلك، هذا لا يعني أن احتمال ظهور الرقم ١٢ هو ٢/٣، لأنه في بعض الأحيان قد يكون هناك أكثر من رقم ١٢ واحد، واللاعب الذي يراهن على الرقم ١٢ لا يفوز بأي أرقام ١٢ إضافية بعد الرمية الأولى. إذا كان احتمال الفوز في أي محاولة هو ص، وعدد المحاولات هو ن، واحتمال الفوز مرة واحدة على الأقل هو و، فإن حل قيمة n بدلالة ص و و يعطينا...

w=1-(1-p) ⁿ
1-w = (1-p) ⁿ
log(1-w) = log((1-p) ⁿ )
log(1-w) = n*log(1-p)
n= log(1-w)/log(1-p)

في مثالنا، n = log(1-.5) / log(1-(1/36)) = log(0.5) / log(35/36) = 24.6051. لذا، إذا كانت احتمالية النجاح 50% في 24.6 رمية، فيجب أن تكون أقل قليلاً في 24 رمية.

يمكن التعبير عن احتمالية الحصول على العدد ١٢٣٤٥٦ بستة أحجار نرد في رمية واحدة على النحو التالي: احتمال (عدم تطابق النرد الثاني مع النرد الأول) * احتمال (عدم تطابق النرد الثالث مع النرد الأول أو الثاني) * ... = ١*(٥/٦)*(٤/٦)*(٣/٦)*(٢/٦)*(١/٦) = ٠٫٠١٥٤٣٢. وبالتالي، فإن احتمالية حدوث ذلك ست مرات متتالية هي ٠٫٠١٥٤٣٢. ^٦ = ١ في ٧٤٫٠٣٧٫٢٠٨٫٤١١.

الجمع (6،2) * (1/6) ⁴ * (5/6) ² = 0.008037551.

وهنا الاحتمالات:

3 نرد: 25.93%
4 نرد: 48.77%
5 نرد: 66.13%.

احتمالية الحصول على A مع B هي احتمالية الحصول على A وB مقسومة على احتمالية الحصول على B. في هذه الحالة، احتمالية الحصول على 4 عند رمي النرد الأول، ثم الحصول على 8 عند رمي النردين الآخرين هي (1/6)*(5/36) = 5/216. احتمالية الحصول على 12 عند رمي 3 نرد هي 25/216، كما هو موضح في قسم لعبة sic bo . لذا، الإجابة هي (5/216)/(25/216) = 5/25 = 20%.

الطريقتان اللتان ذكرتهما هما الطريقتان الوحيدتان للحصول على إجمالي ١٠٠ في ١٧ رمية. احتمال الحصول على ١٦ سداسية وواحدة من الأربع هو ١٧*(١/٦) ^١٧. يوجد ١٧ موضعًا محتملًا للرقم ٤، ولكل متتالية احتمال (١/٦)*(١/٦)*...*(١/٦) مع ١٧ حدًا. عدد طرق الحصول على ١٥ سداسية و٢ خماسيتين هو الجمع (١٧، ٢) = ١٣٦. لذا، فإن احتمال الحصول على ١٥ سداسية و٢ خماسيتين هو ١٣٦*(١/٦) ^١٧. لذا، فإن الاحتمال الإجمالي هو (١٧+١٣٦)*(١/٦) ^١٧ = ١ في ١١٠,٦٣١,٧٦١,٠٧٧.

دع A = اختيار النرد الطبيعي
دع B = رمي الرقم 6 باستخدام نرد تم اختياره عشوائيًا
الإجابة = Pr(A معطاة B) = Pr(A وB)/pr(B) = ((2/3)*(1/6))/((2/3)*(1/6)+(1/3)*1) = (2/18)/((2/18)+(6/18)) = 1/4.

هناك 6!/(4!*1!*1!) = 30 طريقة لترتيب هذه الأعداد بأي ترتيب. وبعبارة أخرى، هناك 6 مواضع لوضع الرقم 1، و5 مواضع متبقية لوضع الرقم 4، لذا 6*5 = 30. احتمال الحصول على العدد 666614 بهذا الترتيب بالضبط هو 1 من ⁶ = 1 من 46656. اضرب هذا في 30 للترتيبات الثلاثين المحتملة، والإجابة هي 30/46656 = 0.0643%، أو 1 من 1552.2.

صحيح أنه في حالة الأحداث الفردية، إذا كان الاحتمال p، فإن متوسط وقت الانتظار هو 1/p. لكن الأمر يزداد تعقيدًا مع الأحداث المتتالية. لنفترض أن x هي الحالة التي لم تكن فيها آخر رمية 2. هذه هي الحالة أيضًا في البداية. لنفترض أن y هي الحالة التي كانت فيها آخر رمية 2. بعد الرمية الأولى، هناك احتمال 5/6 أن نبقى في الحالة x، واحتمال 1/6 أن نكون في الحالة y. لنفترض أن Ex(x) هو العدد المتوقع للرميات من الحالة x، وأن Ex(y) هو العدد المتوقع من الحالة y. إذًا...

Ex(x) = 1 + (5/6)*ex(x) + (1/6)*ex(y)، و
Ex(y) = 1 + (5/6)*ex(x)

حل هاتين المعادلتين...

Ex(x) = 1 + (5/6)*ex(x) + (1/6)*( 1 + (5/6)*Ex(x))
Ex(x) = 7/6 + (35/36)*Ex(x)
(1/36)*Ex(x) = 7/6
Ex(x) = 36*(7/6) = 42

وبالتالي فإن متوسط وقت الانتظار للحصول على اثنين متتاليين هو 42 لفة.

لدي نفس النوع من المشكلة، فقط من المتوقع أن تحصل على رأسين، في موقعي لمشاكل الرياضيات ، انظر المشكلة 128.

إليك احتمالية الحصول على رقم واحد على الأقل أكثر من مرة وفقًا لعدد اللفات:

بدأتُ باستخدام التقريب الطبيعي لحل هذه المسألة، لكن احتمالية تجاوز 100 نقطة منخفضة جدًا بحيث لا تكون هذه الطريقة دقيقة. لذلك، أجريتُ محاكاة عشوائية لـ 8.25 مليون تجربة، وكان عدد التجارب التي بلغت 101 نقطة أو أكثر 127. لذا، فإن الاحتمالية هي حوالي 1 من 65,000.

لتكن إجابتك n. احتمال ظهور ٧ أو ١١ هو ٨/٣٦. لإيجاد قيمة n:

(8/36) ^ن = 1/41,400,000

log((8/36) ⁿ ) = log(1/41,400,000)

n × log(8/36) = log(1/41,400,000)

n = log(1/41,400,000)/log(8/36)

ن = -7.617 / -0.65321

ن = 11.6608

إذن، احتمال الفوز في اليانصيب الكبير يساوي رمي الرقم سبعة أو أحد عشر 11.66 مرة متتالية. ولمن لا يفهمون الرمية الجزئية، أقول إن الاحتمال يقع بين 11 و12 رمية متتالية.

احتمال ظهور خمسة نردات متشابهة في رمية واحدة هو 6 × (1/6) ⁵ = 1/1296. هذا لأن هناك ستة نردات متشابهة (واحد إلى ستة)، واحتمال ظهور هذا العدد في كل نرد هو (1/6). احتمال عدم ظهور خمسة نردات متشابهة هو 1-(1/1296) = 1295/1296. احتمال عدم ظهور ثلاثة نردات متشابهة في ثلاث محاولات هو (1295/1296) ³ = 99.77%. لذا، فإن احتمال ظهور نرد واحد على الأقل من خمسة نردات متشابهة في ثلاث محاولات هو 100% - 99.77% = 0.23%.

إذا كان احتمال حدوث شيء ما هو ص، فسيستغرق حدوثه في المتوسط 1/ص من المحاولات الأولى. من البديهي أنك ستشطب رقمًا واحدًا في الرمية الأولى. أما احتمال ظهور أحد الأرقام الخمسة الأخرى بعد ذلك فهو 5/6. لذا، سيستغرق حدوث ذلك في المتوسط 1/(5/6) = 6/5 = 1.2 رمية. باتباع هذا المنطق حتى النهاية، فإن عدد الرميات المتوقع هو (6/6) + (6/5) + (6/4) + (6/3) + (6/2) + (6/1) = 14.7.

أتمنى أن تكون سعيدًا، لقد أضفتُ قسمًا جديدًا يُجيب على أسئلة كهذه لأسئلة تتراوح من 1 إلى 25 حجر نرد. وكما يُظهر جدول النردات الخمسة، فإن احتمال الحصول على 12 هو 0.039223251028807.

أخشى أنك راهنت على الجانب المربع. احتمال ظهور رقمي سبعة قبل ستة وثمانية هو ٤٥٫٤٤٪. إليك جميع النتائج المحتملة. العمود الأول هو ترتيب رميات النرد المحتملة لنتيجة الرهان، مع تجاهل جميع الاحتمالات الأخرى.

في الأساس، السبب في أن 6 و8 هما الجانب الأفضل هو أنه يمكنك ضرب هذه الأرقام بأي ترتيب: 6 ثم 8، أو 8 ثم 6. مع وجود سبعتين، هناك ترتيب واحد فقط، 7 ثم 7 آخر.

احتمال الحصول على ستة سداسيات هو (1/6) ⁶ = 1 في 46656. احتمال الحصول على 1،2،3،4،5،6 بستة أحجار نرد هو 6 ! /6 ⁶ = 1 في 64.8

1-(5/6) ¹⁰ -10 × (1/6) × (5/6) ⁹ = 51.55%.

احتمال ظهور ٧، ١١، أو ١٢ هو (٦ + ٢ + ١) / ٣٦ = ٩/٣٦ = ١/٤. راجع قسمي حول أساسيات احتمالات النرد لمعرفة كيفية التوصل إلى هذا الرقم. احتمال ظهور أي نتيجة أخرى هو ٣/٤. احتمال تكرار خمس رميات دون ظهور ٧، ١١، أو ١٢ هو (٣/٤) ^٥ = ٢٣.٧٣٪.

ليس أنك سألت، ولكن دعني أتناول المتوسط الحسابي أولًا. لنرد ذي ستة أوجه، العدد المتوقع للرميات للحصول على كل وجه مرة واحدة على الأقل هو (6/6)+(6/5)+(6/4)+(6/3)+(6/2)+(6/1) = 14.7. لنرد ذي n وجه، العدد المتوقع للرميات هو (n/n) + (n/(n-1)) + (n/(n-2)) + ... + n. متوسط عدد الرميات المطلوبة هو 13. احتمال الحصول على 13 رمية أو أقل هو 51.4%، واحتمال الحصول على 13 رمية أو أكثر هو 56.21%.

بالنسبة لعدد كبير من الرميات، يُمكننا استخدام تقريب منحنى غاوس. العدد المتوقع للسبعات في 655 رمية هو 655 × (1/6) = 109.1667. التباين هو 655 × (1/6) × (5/6) = 90.9722. الانحراف المعياري هو sqr(90.9722) = 9.5379. عدد السبعات الـ 78 لديك أقل من المتوقع بمقدار 109.1667 − 78 = 31.1667. هذا يساوي (31.1667 - 0.5) / 9.5379 = 3.22 انحراف معياري عن المتوقع. احتمالية انخفاض 3.22 انحراف معياري أو أكثر عن المتوقع هي 0.000641، أو 1 من 1560. حصلت على هذا الرقم في Excel، باستخدام الصيغة normsdist(-3.22).

شكراً لكلماتك الطيبة. لا يجب أن تُصرّح بأن احتمالية عدم عشوائية الرميات هي p. بل يجب أن تُصاغ على أن احتمالية أن تُسفر لعبة عشوائية عن مثل هذه النتيجة هي p. لم يتوقع أحد أن تُثبت 500 رمية أي شيء أو تُدحضه. لم أكن أنا من حدد الخط عند 79.5 سبعات، لكنني أشك في أنه تم اختياره ليكون ذا دلالة إحصائية؛ بل أظن أنه كان نقطةً يتفق عندها الطرفان على الرهان.

مستوى الدلالة 2.5% يساوي 1.96 انحرافًا معياريًا عن التوقعات. يمكن حساب ذلك باستخدام الصيغة =normsinv(0.025) في برنامج إكسل. الانحراف المعياري لـ 500 رمية هو sqr(500*(1/6)*(5/6)) = 8.333. لذا، فإن 1.96 انحرافًا معياريًا يساوي 1.96 * 8.333 = 16.333 رمية أقل من التوقعات. العدد المتوقع للسبعات في 500 رمية هو 500*(1/6) = 83.333. لذا، فإن 1.96 انحرافًا معياريًا أقل من ذلك يساوي 83.333 − 16.333 = 67. وبالتحقق من ذلك باستخدام التوزيع الثنائي، فإن الاحتمال الدقيق لـ 67 أو أقل من السبعات هو 2.627%.

بافتراض أن اللاعب يحمل دائمًا الرقم الأكثر تمثيلًا، يكون المتوسط ١١٫٠٩. فيما يلي جدول يوضح توزيع عدد الرميات على محاكاة عشوائية لـ ٨٢٫٦ مليون محاولة.

من أجل تعظيم القيمة المتوقعة فقط، يجب على اللاعب اللعب للأبد. مع أن احتمال خسارة اللاعب في النهاية هو 1، إلا أن القيمة المتوقعة في أي نقطة قرار تُفضّل دائمًا إعادة اللعب. يبدو الأمر متناقضًا. يكمن الجواب في أن بعض الأحداث لها احتمال 1، ولكنها قد لا تحدث. على سبيل المثال، إذا رميت سهمًا على خط أعداد من 0 إلى 10، فإن احتمال عدم إصابة باي هو 1 تمامًا، ولكنه لا يزال واردًا.

مع ذلك، ولأغراض عملية، ثمة نقطة توقف. ذلك لأن السعادة التي يجلبها المال لا تتناسب طرديًا مع المبلغ. فبينما من المتعارف عليه أن زيادة المال تجلب سعادة أكبر، إلا أنه كلما ازداد ثراءك، قلّت سعادتك مع كل دولار إضافي.

أعتقد أن الحل الأمثل لهذا السؤال هو تطبيق معيار كيلي على المسألة. وفقًا لكيلي، على اللاعب اتخاذ كل قرار بهدف تعظيم اللوغاريتم المتوقع لرصيده بعد الرهان. ولاختصار هذا (لقد حذفتُ الكثير من الحسابات)، يجب على اللاعب الاستمرار في مضاعفة رهانه حتى يتجاوز 96.5948% من إجمالي ثروته. تُعرّف الثروة بأنها مجموع المبلغ الذي ربحه بالإضافة إلى أي مبلغ كان يملكه اللاعب قبل وضع رهانه الأول. على سبيل المثال، إذا كان لدى اللاعب 100,000 دولار أمريكي في البداية، فعليه الاستمرار في مضاعفة الرهان حتى 23 مرة، ليصل إلى ربح قدره 4,194,304 دولارات أمريكية. عندها، ستكون ثروة اللاعب الإجمالية 4,294,304 دولارات أمريكية. وسوف يُطلب منه المراهنة بمبلغ 4,194,304/4,294,304 = 96.67% من إجمالي ثروته، وهو أكبر من نقطة التوقف 96.5948%، لذا يجب عليه التوقف.

لنفترض أن إجابة هذا السؤال هي p. احتمال ظهور ستة هو ٥/٣٦، واحتمال ظهور سبعة هو ٦/٣٦. إذا لم تفهم السبب، يُرجى مراجعة قسمي حول أساسيات احتمالات النرد . يمكننا تعريف p على النحو التالي:

p = احتمال (6 في اللفة الأولى) + احتمال (لا يوجد 6 في اللفة الأولى) * احتمال (لا يوجد 7 في اللفة الثانية) * p.

يرجع ذلك إلى أنه إذا لم يفوز أي لاعب بعد الرميتين الأوليين، تعود اللعبة إلى حالتها الأصلية، ويظل احتمال فوز اللاعب أ كما هو.

إذن لدينا:

ص = (5/36) + (31/36)×(30/36)×ص
ص = 5/36 + (930/1296)×ص
ص * (1-(930/1296)) = 5/36.
ص * (366/1296) = 5/36
ص = (5/36)×(1296/366) = 30/61.

يمكن التعبير عن الإجابة بالصيغة combin(n+5,n) = (n+5)!/(120×n!). إليك الإجابة لعدد من أحجار النرد يتراوح بين 1 و20 حجر نرد.

يعود الفضل إلى آلان تاكر، مؤلف كتاب التركيبات التطبيقية .

بالتأكيد. هذا سيكون Pr(2) ² + Pr(3) ² + ... + Pr(12) ² = (1/36) ² + (2/36) ² + (3/36) ² + (4/36) ² + (5/36) ² + (6/36) ² + (5/36) ² + (4/36) ² + (3/36) ² + (2/36) ² + (1/36) ² = 11.27%.

لا أستطيع أن أفكر في أي سبب مفيد لمعرفة هذه المعلومات، ولكن يُطرح عليّ هذا النوع من الأسئلة كثيرًا، لذا سأجيبك.

من الأسهل قليلاً الحصول على سلسلة محددة من السبعات تبدأ بالرمية الأولى أو تنتهي بالرمية الأخيرة، لأن السلسلة محدودة من جانب واحد. على وجه التحديد، احتمال الحصول على سلسلة من s من السبعات، تبدأ بالرمية الأولى أو تنتهي بالأخيرة، هو (1/6) ^س × (5/6). الحد 5/6 هو لأنه يجب الحصول على رقم غير 7 في النهاية المفتوحة للسلسلة.

احتمال بدء سلسلة من s سبعة في أي نقطة في منتصف السلسلة هو (1/6) ^s × (5/6) ² . نقوم بتربيع الحد 5/6، لأنه يجب على اللاعب الحصول على رقم غير 7 في كلا طرفي السلسلة.

إذا كان هناك r رمية، فسيكون هناك خانتان للتسلسل الداخلي، وrn-1 خانة لسلسلة من n سبعات. بوضع هذه المعادلات في جدول، إليك العدد المتوقع لتسلسلات السبعات، من 1 إلى 10. العمود "الداخلي" هو 2*(5/6)*(1/6) ^r ، والعمود "الخارجي" هو (179-r)*(5/6) ² *(1/6) ^r ، حيث r هو عدد السبعات في السلسلة. لذا، يمكننا توقع 3.46 رمية من سبعتين، و0.57 رمية من ثلاث سبعات، و0.10 رمية من أربع سبعات.

يمكن العثور على الإجابة والحل على موقعي المرافق، mathproblems.info ، المشكلة رقم 201.

إذا اقتصرت على المضلعات المنتظمة، وأردت أن يكون لكل وجه نفس الاحتمال، فستقتصر على المجسمات الأفلاطونية. ومع ذلك، إذا استطعت رفع شرط المضلع المنتظم، فيمكنك إضافة المجسمات الكاتالونية الثلاثة عشر أيضًا.

للإجابة على سؤالك الآخر، لا، لم أرَ قط لعبةً في كازينو تستخدم نردًا غير المكعبات. قبل حوالي عشر سنوات، شاهدتُ لعبةً عُرضت في معرض ألعاب في أتلانتيك سيتي، أعتقد أنها استخدمت مجسمًا ثلاثي السطوح معينيًا ، وهو أحد الأشكال المجسمة الكاتالونية، لكنني لا أعتقد أنها عُرضت في كازينو قط. هناك لعبةٌ أراها عامًا بعد عام في معرض الألعاب العالمي تستخدم قمةً دوارة (مثل الدريدل)، لكن للأسف، لم أرَ ذلك في كازينو أيضًا.

هناك 6 = ³ = 216 طريقة لرمي ثلاثة أحجار نرد. ست من هذه التركيبات ستؤدي إلى نتيجة ثلاثية متماثلة (1-1-1 إلى 6-6-6). لذا، فإن احتمال الحصول على نتيجة ثلاثية متماثلة هو 6/216 = 1/36. هناك أربع فترات زمنية ممكنة لرمية متتالية (1-2-3 إلى 4-5-6). كما توجد 3 = 6 طرق لترتيب النرد الثلاثة في متتالية. وبالتالي، هناك 4 × 6 = 24 تركيبة متتالية. وبالتالي، فإن احتمال الحصول على نتيجة متتالية هو 24/216 = 1/9.

يوضح الجدول التالي عدد التركيبات لجميع الإجماليات المحتملة من 3 إلى 18.

المتوسط الحسابي هو 12.2446، والانحراف المعياري هو 2.8468.

احتمال ظهور الرقم ٧ هو ١/٦، واحتمال ظهور الرقم ١٢ هو ١/٣٦. واحتمال ظهور الرقم ٧، إذا كانت الرمية ٧ أو ١٢، هو (١/٦)/((١/٦)+(١/٣٦)) = ٦/٧. لذا، فإن احتمال ظهور الرقم ٦ في أول ست مرات من الرميات، أي ٦ مرات، هو ( ^٦/٧ ) = ٣٩.٦٦٪.

إذا أعدت صياغة السؤال ليكون: ما هو احتمال ظهور خمس نتائج 6 قبل ظهور 12؟ الإجابة هي (6/7) ⁵ = 46.27%. بأربع رميات، تكون النسبة (6/7) ⁴ = 53.98%. لذا، لا يوجد عدد من نتائج 7 قبل ظهور 12 بنسبة 50/50 تمامًا. إذا كنت تبحث عن رهان خاسر جيد، فننصحك إما بظهور أربع نتائج 7 قبل ظهور 12، أو ظهور 12 قبل ظهور خمس نتائج 7.

تم طرح هذا السؤال ومناقشته في منتدى موقعي المرافق Wizard of Vegas .

إليكم خدعة عملية، مقدمة من روبرت جودهاند من سومرست، المملكة المتحدة. أولًا، ضعوا ستة آحاد في صف واحد، محاطة بخمسة أصفار على كلا الجانبين، كما يلي:

هذا يمثل عدد التركيبات الناتجة عن رمي نرد واحد من ١ إلى ٦. أعلم أن الأمر واضح جدًا. لكن تابع معي. لنردين، أضف صفًا آخر إلى الأسفل، ولكل خلية، احسب مجموع الصف الذي يسبقه والخمس خلايا على يساره. ثم أضف خمسة أصفار وهمية أخرى إلى اليمين، إذا أردت الاستمرار. هذا يمثل تركيبات رمي نرد إجمالي من ٢ إلى ١٢.

لثلاثة نرد، كرّر العملية. هذا يمثل عدد المجموعات من ٣ إلى ١٨.

للحصول على احتمالية أي مجموع معطى، اقسم عدد مجموعات هذا المجموع على العدد الإجمالي للمجموعات. في حالة ثلاثة أحجار نرد، يكون المجموع 216، والذي يُحسب بسهولة أيضًا على أنه 6 ^3. على سبيل المثال، احتمالية الحصول على مجموع 13 بثلاثة أحجار نرد هي 21/216 = 9.72%.

بالنسبة لنرد d، ستحتاج إلى الانتقال من 1 إلى d-1. يمكن إنجاز ذلك بسهولة باستخدام أي جدول بيانات.

هذه مسألة شائعة في تاريخ علم الاحتمالات. يعتقد الكثيرون خطأً أن الإجابة هي 18، لأن احتمال الحصول على 12 هو 1 من 36، و18×(1/36)=50%. ومع ذلك، ووفقًا لهذا المنطق، فإن احتمال الحصول على 12 في 36 رمية هو 100%، وهو أمر غير صحيح تمامًا. إليك الحل الصحيح. ليكن r هو عدد الرميات. احتمال ألا تكون الرمية 12 هو 35/36. احتمال وجود 0 رميات 12 في r رمية هو (35/36) ^r . لذا، علينا إيجاد r في المعادلة التالية:

(35/36) ^r = 0.5
log(35/36) ^r = log(0.5)
r × log(35/36) = log(0.5)
r = log(0.5)/log(35/36)
ر = 24.6051

إذن، لا توجد إجابة تقريبية. احتمال الحصول على ١٢ في ٢٤ رمية هو ١-(٣٥/٣٦) ^٢٤ = ٤٩.١٤٪. واحتمال الحصول على ١٢ في ٢٥ رمية هو ١-(٣٥/٣٦) ^٢٥ = ٥٠.٥٥٪.

إذا أردتَ المراهنة على هذا، فلنفترض أنك تستطيع الحصول على ١٢ في ٢٥ رمية، أو أن شخصًا آخر لا يستطيع ذلك في ٢٤ رمية. في كلتا الحالتين، ستكون لديك أفضلية عند تساوي المبلغ.

لمن لا يعرف اللعبة، يقوم كلٌّ من المهاجم والمدافع برمي نرد من 1 إلى 8، وفقًا لعدد جيوش كلٍّ منهما في تلك المرحلة من المعركة. يفوز صاحب العدد الأكبر. أما المدافع فيتعادل. إذا خسر المهاجم، فسيحتفظ بجيش واحد في المنطقة التي بدأ منها الهجوم. لهذا السبب، يجب أن يكون لديه جيشان على الأقل للهجوم، فإذا فاز، يُمكن لأحدهما أن يسكن المنطقة المُحتلة والآخر أن يبقى.

يوضح الجدول التالي احتمال فوز المهاجم وفقًا لجميع التركيبات الـ 64 لإجمالي النرد.

يوضح الجدول التالي الربح المتوقع للمهاجم، والمُعرَّف بـ pr (فوز المهاجم) * (عدد نرد المدافع) + pr (فوز المدافع) * (عدد نرد المهاجم -1). ويُظهر أن أكبر ربح متوقع هو الهجوم بـ 8 ضد خصم بـ 5.

لفائدة القراء الآخرين، لعبة ياتزي هي لعبة خمسة من نفس النوع بخمسة نرد. في لعبة ياتزي، يمكن للاعب حمل أي نرد يشاء وإعادة رمي الباقي. يمكنه القيام بذلك حتى ثلاث رميات.

يمكن للاعب إعادة رمي النرد الذي كان يحمله سابقًا إن رغب. على سبيل المثال، إذا كانت رميته الأولى 3-3-4-5-6، وكان يحمل الرقم 3، ثم حصل على الرقم 3-3-5-5-5 بعد الرمية الثانية، فيمكنه الاحتفاظ بالرقم 5 وإعادة رمي الرقم 3 في رميته الثالثة.

يوضح الجدول التالي أقصى عدد من النرد المتشابه الوجه من رمية واحدة إلى 20. ويُظهر الجدول أن احتمالية الحصول على ياهتز خلال ثلاث رميات تبلغ حوالي 4.6%.

الإجابة هي ٥٠/٥٠. ينطبق هذا على أي عدد من النرد، وليس فقط على اثنين.

قد يكون هذا بعيدًا عن الموضوع، لكنني لطالما اعتقدتُ أن مجموعة رهانات فردية/زوجية ستكون طريقة جيدة لاستبدال رهانات 6/8 الكبيرة المزعجة في لعبة الكرابس. ولمنح الكازينو أفضلية، إليكم جداول الدفع المقترحة وتحليلاتي.

متوسط عدد الرميات هو معكوس حدث نهاية المكافأة، والذي احتماله ١/٦، لذا سيرمي اللاعب ست مرات في المتوسط. مع ذلك، ستكون الرمية الأخيرة هي السابعة، أي بمتوسط خمس رميات فائزة لكل مكافأة.

فيما يلي احتمال كل إجمالي، بافتراض عدم وجود سبعة:

• 2 أو 12: 1/30
• 3 أو 11: 2/30
• 4 أو 10: 3/30
• 5 أو 9: 4/30
• 6 أو 8: 5/30

هذا هو السؤال الأصلي المنشور في العمود رقم 179: إذا تم رمي حجرين من النرد مرارًا وتكرارًا، حتى يحدث أي من الحدثين التاليين، فما هو الأكثر احتمالًا أن يحدث أولاً:

• يتم الحصول على مجموع ستة وثمانية، بأي ترتيب، مع السماح بالتكرارات.
• يتم الحصول على العدد سبعة مرتين.

المفاجأة هي أن نفس الرمية لا تفيد كلا اللاعبين. بدلًا من ذلك، يتناوبان على الرمي، وفقط من يرمي يمكنه استخدامها.

تعتمد الإجابة على من يبدأ الرمي. إذا بدأ اللاعب الذي يحتاج إلى رقمي ستة وثمانية أولاً، فإن احتمال فوزه هو ٥٧٫٤٨٧٢٩٤٪. أما إذا بدأ اللاعب الذي يحتاج إلى رقمي سبعة أولاً، فإن احتمال فوزه هو ٥٢٫٦٧١٦١٤٪. لقد حللتُ المسألة باستخدام عملية سلسلة ماركوف البسيطة.

تم طرح هذا السؤال ومناقشته في منتدياتي في Wizard of Vegas .

هناك 58 نوعًا مختلفًا من التسلسلات في الرمية الأولى. أُحدد كل نوع برقم وجه الأغلبية، ثم عدد أحجار النرد التي تحمل الوجه الثاني إجمالًا، وهكذا. على سبيل المثال، رمية الأرقام 3، 3، 3، 6، 6، 6، 5، 5، 2 تُمثل 4-3-2-1. يوضح الجدول التالي عدد تركيبات كل تسلسل، واحتمالية ظهوره، واحتمالية الحصول على 12 عددًا متماثلًا في الرمية الثانية، وحاصل ضرب العددين. بالنسبة لاحتمالية الرمية الثانية، أفترض أن اللاعب يحمل النرد الذي حصل على أكبر مجموع في الرمية الأولى. تُظهر الخلية السفلية اليمنى احتمالًا كليًا قدره 0.0000037953، أي ما يعادل 1 من 263,486.

انقر على الزر أدناه للحصول على الإجابة.

هذا هو الحل الخاص بي. (PDF)

تم طرح هذا السؤال ومناقشته في منتدياتي في Wizard of Vegas .

انقر على الزر أدناه للحصول على بعض صيغ السلسلة اللانهائية التي قد تجدها مفيدة.

[المفسد=تلميحات]

تلميح 1: مجموع i = 0 إلى ∞ من n ⁱ = 1 / (1-n)

تلميح 2: مجموع i = 0 إلى ∞ من i × n ⁱ = n / (1-n) ²

انقر على الزر أدناه للحصول على الإجابة.

انقر على الزر أدناه للحصول على الحل.

[spoiler=الحل]

لنفترض أن حجر نرد سداسي الأوجه رُمي حتى ظهر الرقم ١، ٢، ٣، أو ٦. إذا كان أول رقم يظهر في نهاية اللعبة هو ١، ٢، أو ٣، فلن تربح شيئًا. أما إذا كان أول رقم يظهر في نهاية اللعبة هو ٦، فستربح دولارًا واحدًا لكل رمية نرد. ما متوسط ربح هذه اللعبة؟

تلميح 1: مجموع i = 0 إلى ∞ من n ⁱ = 1 / (1-n)

تلميح 2: مجموع i = 0 إلى ∞ من i × n ⁱ = n / (1-n) ²

يمكن التعبير عن الفوز المتوقع كمجموع i = 0 إلى ∞ من (1 + i) * (1/3) ⁱ * (1/6). =

(1/6) * مجموع i = 0 إلى ∞ من (1/3) ⁱ + (1/6) * مجموع i = 0 إلى ∞ من (i * (1/3) ⁱ ).

دعونا نقوم بتقييم هذه الأمور واحدة تلو الأخرى.

المجموع لـ i = 0 إلى ∞ من (1/3) ⁱ =

1 / (1 - (1/3)) =

1 / (2/3) =

3/2

المجموع لـ i = 0 إلى ∞ من (i * (1/3) ⁱ ) =

(1/3) / (1 - (1/3)) ² =

(1/3) / (4/9) =

(1/3) * (9/4) =

3/4

إذا جمعنا كل ذلك معًا، فإن الإجابة هي

(1/6) * (3/2) + (1/6) * (3/4) =

(1/4) + (1/8) =

3/8

تم طرح هذا السؤال ومناقشته في منتدياتي في Wizard of Vegas .

[spoiler=الحل]

مع أنه يمكن حل هذه المشكلة باستخدام سلسلة ماركوف طويلة ومملة، إلا أنني أُفضّل الحل الشامل. أشرح كيفية استخدام هذه الطريقة في صفحاتي حول رهان النار ومكافآت الكرابس .

تخيل أنه بدلاً من تحديد الأحداث المهمة برمي النرد، واحدة تلو الأخرى، اعتبرها لحظة زمنية. افترض أن الوقت الفاصل بين الأحداث لا يعتمد على الذاكرة، حيث يبلغ متوسطه وحدة زمنية واحدة. بمعنى آخر، يتبع الوقت الفاصل بين الأحداث توزيعًا أُسيًا بمتوسط 1. لن يكون هذا مهمًا عند تقييم الرهان، لأن الأحداث لا تزال تقع واحدة تلو الأخرى.

وفقًا لتوزيع بواسون، فإن احتمالية رمي أي جانب من جوانب النرد صفر مرة في x وحدات زمنية هي exp(-x/6)*(x/6) ^0/0 ! = exp(-x/6). ويقول بواسون أيضًا إن احتمالية رمي أي جانب مرة واحدة بالضبط هي exp(-x/6)*(x/6) ^1/1 ! = exp(-x/6) * (x/6). وبالتالي فإن احتمالية رمي أي جانب مرتين أو أكثر في x وحدات زمنية هي 1 - exp(-x/6)*(1 + (x/6)). واحتمالية رمي جميع الجوانب الستة مرتين على الأقل هي (1 - exp(-x/6)*(1 + (x/6))) ^6. واحتمالية عدم رمي جانب واحد على الأقل مرتين على الأقل تساوي:

نحن بحاجة إلى دمج ذلك على مدار الوقت لمعرفة مقدار الوقت الذي سيمضي، في المتوسط، حيث لم يتم تحقيق الهدف المطلوب.

لحسن الحظ، يُمكننا استخدام حاسبة تكامل في هذه المرحلة. بالنسبة للحاسبة المُرفقة، ضع 1- (1 - exp(-x/6)*(1 + x/6))^6 dx = apx. 24.1338692 في مربع النص التالي لـ "حساب تكامل"، وتحت "مخصص"، اضبط حد التكامل من 0 إلى ∞.

الإجابة هي 390968681 / 16200000 = تقريبًا 24.13386919753086

تم طرح هذا السؤال ومناقشته في منتدياتي في Wizard of Vegas .

[spoiler=الحل]

لتجنب الالتباس، دعونا نُسمّي النرد الأولي بالأحرف بدلًا من الأرقام. دعونا نُسمّي كل حالة ممكنة للنرد بالأحرف. على سبيل المثال، AAABBC تعني ثلاثة من حرف واحد، واثنين من حرف آخر، وواحد من ثالث. الحالة الأولية ستكون ABCDEF.

ليكن E(ABCDEF) هو العدد المتوقع للرميات من الحالة ABCDEF.

بناءً على عدد تركيبات الانتقال من حالة إلى أخرى، تُظهر مصفوفة الانتقال التالية عدد الطرق للانتقال من كل حالة ابتدائية (العمود الأيسر) إلى كل حالة جديدة. استغرق بناء هذه المصفوفة بشكل صحيح بضع ساعات.

لن أدخل في محاضرة طويلة عن جبر المصفوفات، باستثناء أن نقول أن المصفوفة B هي كما يلي:

الجواب هو محدد المصفوفة B لمحدد المصفوفة A:

تحديد (أ) = 1,461,067,501,120,670,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000

تحديد (ب) = 14,108,055,348,203,100,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000

تحديد (ب) / تحديد (أ) = تقريبًا 9.65599148388557

[spoiler=إجابة]

النرد 1 = 1،2،2،3،3،4.
النرد 2 = 1،3،4،5،6،8.

أخشى أن حلي لهذه المشكلة كان عبارة عن تجربة وخطأ إلى حد كبير.

[spoiler=الحل]

يمكن استخدام سلسلة ماركوف للإجابة على هذا السؤال، لكنني أُفضّل التفاضل والتكامل. يكمن السر في أن تكون الإجابة واحدة إذا كان الزمن بين الرميات موزعًا أسيًا بمتوسط يساوي واحدًا. مع ذلك، يمكن التعبير عن الإجابة بالتكامل من صفر إلى ما لا نهاية لما يلي:

1-(1-exp(-x/36))^2*(1-exp(-x/18))^2*(1-exp(-x/12))^2*(1-exp(-x/9))^2*(1-exp(-5*x/36))^2*(1-exp(-x/6))

يمكنك حل مثل هذه التكاملات بسهولة باستخدام حاسبة التكامل .

يمكنك أيضًا حل أي مشكلة من هذا القبيل باستخدام حاسبة التجارب المتوقعة الخاصة بي.

[spoiler=الحل]

لنبدأ بالسيناريو الذي يتبقى فيه نرد واحد ونتحرك للخلف.

دع المتغير a يكون النقاط الإضافية المتوقعة مع بقاء نرد واحد.

المتوسط الذي لا يساوي 2 أو 5 هو (1+3+4+6)/4 = 7/2.

أ = (2/3)×(أ + 7/2).

أ/3 = 7/3.

أ = 7.

الآن، دعنا نحسب b، النقاط المتوقعة مع وجود نردين متبقيين.

ب = (2/3) ² ×(ب + 2 × (7/2)) + 2×(2/3)×(1/3)×أ.

ب = 11.2.

الآن، دعنا نحسب c، النقاط المتوقعة مع وجود ثلاثة أحجار نرد متبقية.

ج = (2/3) ³ ×(ج + 3× (7/2)) + 3×(2/3) ² ×(1/3)×ب + 3×(2/3)×(1/3) ² ×ب.

ج = 1302/95 = 13.705263.

الآن، دعنا نحسب d، النقاط المتوقعة مع وجود أربعة أحجار نرد متبقية.

د = (2/3) ⁴ ×(د + 4× (7/2)) + 4×(2/3) ³ ×(1/3)×ج + 6×(2/3) ² ×(1/3) ² ×ب + 4×(2/3)×(1/3) ³ ×أ.

د = 3752/247 = 15.190283.

أخيرًا، دعنا نحسب e، النقاط المتوقعة مع وجود خمسة نرد متبقية.

ه = (2/3) ⁵ ×(e + 5×(7/2)) + 5×(2/3) ⁴ ×(1/3)×d + 10×(2/3) ³ ×(1/3) ² ×c + 10×(2/3) ² ×(1/3) ³ ×b + 5×(2/3)×(1/3) ⁴ ×أ.

هـ = 16.064662.

تم طرح هذا السؤال ومناقشته في منتدياتي في Wizard of Vegas .

[spoiler=المزيد من التعليقات]

من الصعب تفسير كون الإجابة هي اللانهاية. ومما يزيد الأمر تعقيدًا وتناقضًا، أن احتمال تساوي المجموعين هو 1.

يوضح الجدول التالي احتمالية أن تكون الإجماليات هي نفسها للمرة الأولى بعد 1 إلى 16 لفة.

يُظهر برنامج Excel ملاءمة قريبة جدًا لهذا المنحنى وهي y = 0.1784*x-1.011، حيث x = عدد اللفات وy = الاحتمال.

مجموع هذه السلسلة اللانهائية هو اللانهاية.

تم طرح هذا السؤال ومناقشته في منتدياتي في Wizard of Vegas .

يوضح الجدول التالي أي نوع من اللفائف:

• عدد الطرق المختلفة لتحقيق هذه النتيجة. على سبيل المثال، للحصول على فول هاوس، هناك ست مجموعات للثلاثة من نفس النوع، وخمس مجموعات للزوج، بإجمالي 30 فول هاوس مختلفة.
• عدد الطلبات. على سبيل المثال، للحصول على منزل كامل، هناك 10 طرق لاختيار ثلاثة من خمسة أحجار نرد للحصول على ثلاثة من نفس النوع. يجب أن يكون لدى الحجرين الآخرين زوج من الأحجار.
• عدد طرق رمي النرد. هذا هو حاصل ضرب العمودين الأولين. على سبيل المثال، هناك 30 × 10 = 300 طريقة لرمي النرد (فول هاوس).
• احتمالية الفوز. على سبيل المثال، في حالة "فول هاوس"، الاحتمال هو ٣٠٠/٦ = ^٠ ٫٠٣٨٥٨٠.
• احتمال أن تكون كلتا الرميتين متماثلتين، وأن تكونا من اليد المعطاة. هذا هو الاحتمال من العمود الرابع مُربعًا مقسومًا على العمود الثاني. على سبيل المثال، احتمال أن تكون كلتا الرميتين فول هاوس هو 0.038580 ^2. ومع ذلك، فإن احتمال أن تكون كلتا الرميتين نفس البيت هو 1/30. لذا، فإن احتمال أن تكون كلتا الرميتين نفس الفول هاوس هو 0.038580 ^2/30 = 0.00004961.

تُظهر الخلية اليمنى السفلية إجمالي احتمالية أن تكون كلتا اللفافتين متماثلتين وهي 0.00635324.

للإجابة على هذا السؤال كما فعلت، باستخدام حساب التفاضل والتكامل، أوصي باستخدام آلة حاسبة للتكامل مثل تلك الموجودة على integral-calculator.com/ .

وهنا الحل الخاص بي (PDF).

تم طرح هذه المشكلة (بكلمات مختلفة قليلاً) ومناقشتها في منتدياتي في Wizard of Vegas .

[spoiler=إجابة]

رقمهم 0، 1، 2، و 4.

هناك ست طرق لسحب بطاقتين من أصل أربع بطاقات، على النحو التالي.

• 0+1 = 1
• 0+2 = 2
• 1+2 = 3
• 0+4 = 4
• 1+4 = 5
• 2+4 = 6

تم طرح هذا السؤال ومناقشته في منتدياتي في Wizard of Vegas .

[spoiler=الحل]

اضطررتُ لاستخدام سلسلة ماركوف في هذه الحالة. يوضح الجدول التالي احتمال كل مجموع نهائي وفقًا للمجموع المتسلسل في العمود الأيسر. ابدأ بالحالات الواضحة للمجموعات من ١٣ إلى ١٨. ثم، للمجموعات المتسلسل من ٠ إلى ١٢، احسب متوسط الخلايا الست أدناه.

يمكن العثور على احتمالات الحالة الأولية في الصف الأول لمجموع 0.

تم طرح هذا السؤال ومناقشته في منتدى Wizard of Vegas .

وهنا الحل الخاص بي (PDF).

تم طرح هذا السؤال ومناقشته في منتدياتي في Wizard of Vegas .

وهنا الحل الخاص بي (PDF).

> [spoiler=الحل]

يترك:

• p = احتمال الحصول على الرقم 12 أولاً من الحالة الأولية أو في أي وقت لم تكن فيه الرمية السابقة 7.
• س = احتمال ظهور الرقم 12 أولاً عندما كانت الرمية السابقة هي 7.

وهذا ما يُعرف بمشكلة سلسلة ماركوف.

قبل أن نصل إلى ذلك، تذكر أن احتمال الحصول على مجموع 7 هو 1/6، واحتمال الحصول على مجموع 12 هو 1/36.

يمكننا تعريف p و q من حيث بعضهما البعض، على النحو التالي:

• (1) ص = (1/36) + (6/36)س + (29/36)ص
• (2) س = (1/36) + (29/36)ص

دعونا نضرب المعادلة (1) في 36:

36p = 1 + 6q + 29p
(3) 7p = 1 + 6q

دعونا نستبدل قيمة q في (2) في (3):

7ع = 1 + 6*((1/36) + (29/36)ع)
7p = 1 + (1/6) + (29/6)p
42 بنسًا = 6 + 1 + 29 بنسًا
13 ب = 7
س = 7/13

لذا، فإن احتمال الحصول على الرقم 12 أولاً هو 7/13 =~ 53.85%.

وبالتالي فإن احتمال الحصول على الرقم 7 مرتين متتاليتين أولاً هو 46.15%.

وبالتالي، فمن الأرجح أن يتم الحصول على المجموع 12 أولاً.