الروليت - أسئلة عامة

في الروليت، أي رهان أو مجموعة رهانات تحمل هامش ربح مرتفعًا للكازينو. كلما زادت احتمالية فوزك، زادت المخاطرة مقارنةً بالمكافأة. إذا ضاعفت هذا الرهان ١٠ مرات، فإن احتمالية تحقيق ربح هي ٤٦.٤٢٪. أما إذا ضاعفته ١٠٠ مرة، فتنخفض إلى ٢٤.٦٪.

ابدأ بنفس الطريقة التي شرحتها مع رهانات الأموال المتساوية. يجب أن يكون كل رهان مجموع الرقمين الأيمن والأيسر. مع ذلك، باتباع استراتيجية العمودين، يجب عليك إضافة ضعف المبلغ إلى اليمين في حال الخسارة.

لعبتها في وضع التدريب، ويبدو أنها عجلة روليت حقيقية بدون صفر. لا يوجد نظام يمكنه الفوز أو الخسارة في هذه اللعبة على المدى الطويل. كلما لعبت أكثر، اقتربت نسبة صافي الربح إلى إجمالي مبلغ الرهان من الصفر.

التحديث: تم إغلاق هذا الكازينو منذ ذلك الحين.

إذا ضاعفت رهانك على رقم ١١ في كازينو مايكروغيمينغ وحصل الموزع على بلاك جاك، فستخسر إجمالي مبلغ الرهان. في يونيفايد غيمينغ، تُقلب أوراق البلاك جاك فورًا إذا كانت الورقة المكشوفة عشرة، لذا لا يوجد خطر خسارة بلاك جاك عند مضاعفة الرهان في هذه الحالة.

جميع مجموعات الرهانات في الروليت تُعطي نفس العائد المتوقع، بافتراض تجنب مجموعة الأرقام الخمسة المزعجة. أنت مُحق، فالعمود الثالث يحتوي على ثمانية أرقام حمراء وأربعة أرقام سوداء. احتمال الفوز بثلاث وحدات هو 8/38، ووحدة واحدة هو 4/38، ونقطة التعادل هي 10/38، وخسارة وحدتين هي 16/38. العائد المُتوقع المُجمع لكل وحدة رهان هو (1/2) * (3*8 + 1*4 + 0*10 + 2*16) / 38 = -2/38. عند الرهان على الأسود والعمود الثالث، يكون احتمال الفوز بثلاث وحدات هو 4/38، ووحدة واحدة هو 8/38، ونقطة التعادل هي 14/38، وخسارة وحدتين هو 12/38. العائد المتوقع هو (1/2) * (3*4 + 1*8 + 0*14 + 2*12) / 38 = -2/38. يقوم كلا التركيبين بوزن النتائج المختلفة بشكل مختلف، ولكن متوسطهما يساوي نفس الرقم.

بمجرد الوصول إلى n رقم، يكون احتمال الحصول على رقم جديد في الدورة التالية (38-n)/38. إذا كان احتمال وقوع حدث ما هو p، فإن عدد المحاولات المتوقع قبل وقوعه هو 1/p. وبالتالي، فإن عدد الدورات المتوقع للحصول على رقم جديد، بشرط أن يكون لديك n بالفعل، هو 38/(38-n). على سبيل المثال، بمجرد الوصول إلى 20 رقمًا، يكون عدد الدورات المتوقع للحصول على الرقم 21 هو 38/18 = 2.11. لذا، فإن الناتج هو مجموع عدد الدورات المتوقع في كل خطوة: (38/38) + (38/37) + (38/36) +... + (38/1) = 160.66.

(18/38) ¹⁸ =~ 1 في 693745.

يسعدني أن أساعد القائد ذي المعطف الأبيض. نصيحتي في الروليت تقتصر على الألعاب على الأرض، أما الرشوة فيُنصح بها على كوكبكم.

احتمالية ظهور رقمك x مرة بالضبط هي combin(1000,x)*(1/38) ^x *(37/38) ^1000-x . يوضح الجدول التالي احتمالية ظهور جميع النتائج من 0 إلى 6، بالإضافة إلى الإجمالي.

الفوز في 1000 رهان روليت

رقم	احتمال
0	0.00000000000262
1	0.00000000007078
2	0.00000000095556
3	0.00000000859146
4	0.00000005787627
5	0.00000031159330
6	0.00000139655555
المجموع	0.00000177564555

لذا فإن الإجابة هي 0.00000177564555، أو 1 في 563175. أتمنى ألا يحدث هذا في كازينو الإنترنت.

قد تتساءل لماذا لم أستخدم التقريب الاعتيادي كما فعلتُ في مسألة رمي العملة أعلاه؟ لأنه لا يعمل جيدًا مع الاحتمالات العالية جدًا والمنخفضة جدًا.

لقد أتقنت استراتيجيتي. كنت أنوي المراهنة بالحد الأدنى طوال معظم الساعة لتجنب إرهاقي بسبب ميزة الكازينو. لم يكن المنتج راضيًا عن هذه الاستراتيجية المملة، فحاولت أن أبدو أكثر حماسًا من المعتاد. سبب اختياري لرقم واحد بدلًا من رهان بقيمة متساوية هو رغبتي في التقلب. كنت أعلم أنني إذا أنهيت رهاني بالقرب من نقطة البداية البالغة 10,000 دولار، فسأخسر على الأرجح. لذلك أردت فرصة أكبر للتقدم. التزمت بالرقم 23 طوال الوقت، مع أنني أضفت 5 أيضًا في النهاية. يسعدني أن العرض أعجبك.

لا، يُدرَّب الموزعون فقط على الأساسيات، ولا يُدرَّبون على مهارات تُضاهيها. في الواقع، لو كان لدى الموزع هذه القدرة على التحكم، لكان بإمكانه ببساطة أن يُوجِّه شريكًا له الرهان أينما خَطَّطَ لسقوط الكرة، وكان بإمكانهم بسهولة جني الملايين.

احتمال خسارة أي دورة هو 1-(8/37) = 78.38%. لذا، احتمال خسارة 15 دورة هو 0.7838 ^{× 15} = 2.59%.

دعني أولاً أشرح لك كيفية تجنب اختبار أي لعبة. لا تُسجل جميع ألعابك، وعندما تنتهي، ابحث عن أي خلل، ثم راسلني مُشتكيًا من غش الكازينو. الطريقة الصحيحة هي وضع فرضية لكيفية غش الكازينو أولًا، ثم جمع البيانات، وأخيرًا التحقق من توافقها مع فرضيتك. إذا كنت لا تعرف نوع الفرضية التي يجب وضعها، فأقترح عليك ببساطة اختبار عدد مرات الفوز والخسارة، ثم المراهنة بنفس المبلغ في كل مرة. إذا اتبعت الخطوتين الأوليين بشكل صحيح وتحتاج إلى مساعدة في الخطوة الثالثة، فلا تتردد في مراسلتي.

في مثالكم، نسبة حيازة الكازينو هي 75%. هذه هي نسبة قيمة الرقائق التي يحصل عليها اللاعبون إلى المبلغ الذي يضعه الموزع في الصندوق. على الرغم من وجود متوسطات تاريخية، لا توجد طريقة للانتقال من ميزة الكازينو إلى الاحتفاظ بالرهان. يعتمد الاحتفاظ جزئيًا على مدة تداول اللاعب لرقائقه، ولا توجد طريقة لمعرفة ذلك.

شكراً على الثناء. هناك صيغة لمثل هذه الأسئلة، أشرحها على موقعي www.mathproblems.info ، انظر المسألة ١١٦.

إذا كان رصيدك b وحدات، وهدف الفوز g وحدات، واحتمال الفوز p، واحتمال الخسارة q، فإن احتمال نجاحك هو ((q/p) ^b -1)/((q/p) ^b+g -1). في هذه الحالة، b=20، p=18/37، q=19/37، وg=20، 50، و100. لذا، لرصيد 200 دولار، يكون الاحتمال ((19/18) ²⁰ -1)/((19/18) ⁴⁰ -1) = 0.253252.

بالنسبة لهدف الفوز بمبلغ 500 دولار، فإن الاحتمال هو ((19/18) ²⁰ -1)/((19/18) ⁷⁰ -1) = 0.045293.

بالنسبة لهدف الفوز بمبلغ 1000 دولار، فإن الاحتمال هو ((19/18) ²⁰ -1)/((19/18) ¹²⁰ -1) = 0.002969.

لا يهم عدد الدورات السابقة. احتمال ظهور الرقم ٢٣ الأحمر ثلاث مرات متتالية هو (١/٣٨) ^٣ = ١ من ١ من ٥٤٨٧٢.

احتمال ظهور ثلاثة أزواج وستة أرقام فردية في اثنتي عشرة دورة هو: كومبين (38،3) × كومبين (35،6) × كومبين (12،2) × كومبين (10،2) × كومبين (8،2) × فاكت (6)/38 ¹² = 9.04%. تصبح الحسابات معقدة بعض الشيء عند السؤال عن احتمال حدوث ذلك في أي فترة من 12 دورة على مدار 20 دورة. يكفي القول إنه أعلى بكثير من 9%، وهو احتمال أكبر من احتمال عدم حدوثه، على ما أعتقد. لذا تبدو هذه النتائج طبيعية جدًا بالنسبة لي.

ستكون ميزة المنزل على الرقم المحدد 0% بالضبط.

احتمال الفوز هو (18/38) ³ = 10.63%. هامش الكازينو هو 8×0.1063 - 1×0.8937 = 4.34%، وهو أقل من نسبة 5.26% لجميع الرهانات الأخرى (باستثناء المجموعة المزعجة 0,00,1,2,3 بنسبة 7.89%).

لفائدة القراء الآخرين، في العديد من الكازينوهات الأوروبية، إذا راهنتَ بمبلغ متساوٍ في لعبة الروليت وسقطت الكرة على الصفر، يُصبح الرهان معلقًا. إذا كانت الرمية التالية ستؤدي إلى فوز الرهان، فيُعاد دون أي أرباح. إذا سقطت الكرة في الاتجاه المعاكس، يُخسر الرهان.

ماذا يحدث للرهانات ذات القيمة الواحدة إذا استقرت الكرة على الصفر؟ إذا كان الكازينو يسمح بالقيمة الواحدة فقط، فسيخسر. ومع ذلك، تسمح بعض الكازينوهات بالقيمة المزدوجة، وهذا ما يحدث. إذا فاز رهان القيمة المزدوجة، فإنه يعود إلى القيمة الفردية. إذا كان الكازينو يسمح بالقيمة المزدوجة فقط، فإن رهان القيمة المزدوجة سيخسر عند صفر آخر. وبنفس المنطق، إذا كان الكازينو يسمح بالقيمة الثلاثية، فإن رهان القيمة المزدوجة سيصبح رهان القيمة الثلاثية عند صفر آخر.

نسبة هامش الكازينو في حالة الحبس الثلاثي هي ١٫٣٧٠١٢٠٪. قبل أن أشرح كيف توصلت إلى ذلك، لنبدأ بحساب الحبس الفردي والمزدوج. لنفترض أن الرهان الأول على اللون الأحمر.

ليكن Z = احتمال الصفر = 1/37.
ليكن R = احتمال ظهور رقم أحمر = 18/37.

السجن الفردي

pr(الدفع) = ZR = 0.0131482834.
pr(win) = R = 0.4864864865.
العلاقات العامة(الخسارة) = 1-العلاقات العامة(الدفع)-العلاقات العامة(الفوز) = 0.5003652301.
القيمة المتوقعة = pr(win)-pr(loss) = -0.0138787436.

السجن المزدوج

سيدفع اللاعب إذا كانت الدورة الأولى صفرًا، ثم يمكنه تكرار ZR من صفر إلى عدد لا نهائي من المرات، ثم يحصل على أحمر. بعبارة أخرى، طرق الدفع هي:

ZR، Z(ZR)R، Z(ZR)(ZR)R، Z(ZR)(ZR)(ZR)R، ...

pr(الدفع) = 0.013323464
pr(win) = 18/37 = 0.4864864865.
العلاقات العامة(الخسارة) = 1-العلاقات العامة(الدفع)-العلاقات العامة(الفوز) = 0.5001900494.
القيمة المتوقعة = pr(win)-pr(loss) = -0.0137035629.

السجن الثلاثي

أولاً، لنحسب الاحتمال p ₁ بأن يصبح رهانٌ واحدٌ مسجونٌ ثلاثة أضعافٍ مع صفرين إضافيين، ثم يرتفع في النهاية ليصبح مسجونًا مرةً أخرى. يمكن أن يحدث هذا كما يلي:

ZZRR، ZZ(RZ)RR، ZZ(RZ)(RZ)RR، ZZ(RZ)(RZ)(RZ)RR، ...

بمعنى آخر، يمكن أن يتأرجح الرهان بين السجن الثلاثي والمضاعف حتى عدد لا نهائي من المرات.

ثانيًا، دع p ₂ = احتمال أن يصل رهان سجن واحد إلى المستوى الأول أو الثاني من السجن ثم يعود إلى السجن الفردي.

دع p ₂ = ZR + p ₁ = 0.013323464.

يمكن للاعب تكرار العودة إلى المستوى الأول من الصفر لعدد لا نهائي من المرات. لذا، فإن احتمالية الدفع هي:

ZR + Z p ₂ R + Z p ₂ p ₂ R + Z p ₂ p ₂ p ₂ R + ... =

Z × (1/(1- p ₂ )) × R = 0.013325830.

pr(الدفع) = 0.013325830.
pr(win) = 18/37 = 0.4864864865.
العلاقات العامة(الخسارة) = 1-العلاقات العامة(الدفع)-العلاقات العامة(الفوز) = 0.5001876839.
القيمة المتوقعة = pr(win)-pr(loss) = -0.0137011974.

السجن اللانهائي

ليس أنك سألت يا ماف، ولكن في إسبانيا سمعت أنهم يسمحون بالسجن اللانهائي. لنفترض أن p = احتمال الدفع. هذا أيضًا هو احتمال البدء من مستوى السجن x، ثم الانخفاض في المستويات، ثم العودة إلى x في النهاية.

ع = ZR + ZpR + ZppR + ZpppR + ...

ص ² - ص + ZR = 0

بالصيغة التربيعية p = (1-(1-4*RZ) ^1/2 )/2 = 0.0133258620.

pr(الدفع) = 0.0133258620.
pr(win) = 18/37 = 0.4864864865.
العلاقات العامة(الخسارة) = 1-العلاقات العامة(الدفع)-العلاقات العامة(الفوز) = 0.5001876515.
القيمة المتوقعة = pr(win)-pr(loss) = -0.0137011650.

أصفار تجاهلت السجن

أخيرًا، في بعض الكازينوهات، يتم تجاهل الأصفار بعد الصفر الأول، مما يُبقي الرهان معلقًا. هناك، يكون احتمال التعادل ببساطة (1/37) × (1/2) = 0.0135135135.

يوضح الجدول التالي ملخصًا لجميع أنواع القواعد الأربعة.

احتمالات السجن

السجن	يفوز	يدفع	خسارة	مُتوقع قيمة
أعزب	0.48648649	0.01314828	0.50036523	-0.01387874
مزدوج	0.48648649	0.01332346	0.50019005	-0.01370356
ثلاثي	0.48648649	0.01332583	0.50018768	-0.01370120
لانهائي	0.48648649	0.01332586	0.50018765	-0.01370117
تم تجاهل الأصفار	0.48648649	0.01351351	0.50000000	-0.01351351

أود أن أشكر ChesterDog وweaselman على مساعدتهما الرياضية. كما أود أن أتقدم بالشكر والتقدير للأستاذ ج. أرتيكو وpolarprof.it على صيغة الجمع المذكورة أعلاه.

تم طرح هذا السؤال ومناقشته في منتدى موقعي المرافق Wizard of Vegas .

الفكرة هي أن تكون العجلة متوازنة. بمعنى آخر، إذا أخذتَ متوسط قسم من الأرقام المتتالية على العجلة، فسيكون قريبًا من متوسط الرقم 18.5. فكرتُ في طريقة لشرح كيفية توزيع الأرقام على عجلة ذات صفرين، كما يلي.

• ضع 00 في موضع 12:00 و 0 في موضع 6:00.
• الأرقام الموجودة أعلى العجلة هي 13، 1، 00، 27، 10*، 25. يجب حفظها ببساطة.
• جميع الأرقام الفردية المنخفضة (من 1 إلى 17) موجودة على الجانب الأيسر والأعداد الفردية العالية (من 19 إلى 35) على الجانب الأيمن.
• ابدأ بالرقم 1 و13، ثم تحرك أربعة مواضع عكس اتجاه عقارب الساعة للحصول على الرقم الفردي التالي، ولكن لا تتجاوز الصفر.
• استثناءً من القاعدة ٤، لا تضع الرقم ١٩ في أربعة مواضع عكس اتجاه عقارب الساعة من الرقم ١٧، لأن الرقم ١٩ هو رقم فردي مرتفع وينتمي إلى الجانب الأيمن. بدلًا من ذلك، ضع الرقم ١١، وهو الرقم الفردي المنخفض الوحيد غير المشمول في القاعدة ٤.
• جميع الأرقام الزوجية تقع مباشرة عبر العجلة، 180 درجة، من الرقم الفردي السابق.

لا أستطيع شرح ترتيب عجلة الصفر المفرد. حاليًا، يمكنني القول إنه إذا وضعت الصفر في موضع الساعة ١٢:٠٠، فإن:

• على الجانب الأيسر ستكون جميع الأرقام المنخفضة باللون الأحمر والأرقام المرتفعة باللون الأسود.
• على الجانب الأيمن ستكون جميع الأرقام العالية باللون الأحمر والأرقام المنخفضة باللون الأسود.

تم طرح هذا السؤال ومناقشته في منتدياتي في Wizard of Vegas .

يمكنك أن تتوقع أن يكون عدد المرات التي تهبط فيها الكرة في الفترة من 1 إلى 12 هو 3000 * (12/38) = 947.37.

الفرق بين نتائجك وتوقعاتك هو 947.37 - 742 = 205.37.

التباين هو 3000*(12/38)*(1-(12/38)) = 648.20.

الانحراف المعياري هو الجذر التربيعي للتباين = sqrt(648.20) = 25.46.

نتائجك هي 205.37/25.46 = 11.75 انحرافًا معياريًا جنوب التوقعات.

قيمة p، أو احتمال الانحراف عن الانحراف المعياري بمقدار 11.75 أو أكثر، هي 1 من 28,542,806,257,940,300,000,000,000,000,000,000.

سأكون مهتمًا بمعرفة مكان العجلة.

من السهل إدراك أن هدف هذا النظام هو تغطية معظم الأرقام، لذا فهو طريقة لعب روليت منخفضة المخاطر نسبيًا. إليك ما يمكنك المراهنة عليه في كل دورة:

• 5 دولارات لكل من 3، 16، 24، 28، و33.
• قم بوضع رهان زاوية على كل من هذه المجموعات من الأرقام: 2/3/5/6، 7/8/10/11، 14/15/17/18، 19/20/22/23، 26/27/29/30، 31/32/34/35.

لاحظ أن هذا لا يشمل الأرقام التسعة التالية: 0، 00، 4، 9، 12، 13، 21، 25، و36.

يوضح جدول العائد التالي احتمالية ومساهمة كل النتائج الممكنة في العائد.

تُظهر الخلية اليمنى السفلية خسارة متوقعة قدرها 9.21 دولارًا أمريكيًا لكل دورة. يبلغ إجمالي مبلغ الرهان لكل دورة 175 دولارًا أمريكيًا. ينتج عن ذلك ميزة للكازينو قدرها 9.21 دولارًا أمريكيًا / 175 دولارًا أمريكيًا = 5.26%، وهي ميزة للكازينو في لعبة الروليت ذات الصفر المزدوج.

أود أن أضيف أنك ستخسر على الأرجح أكثر مما ستسترد من المكافآت باستخدام هذه الاستراتيجية، أو أي استراتيجية روليت أخرى. القاعدة العامة هي أن الكازينوهات سترد لك حوالي ثلث خسارتك المتوقعة من المكافآت. هناك طرق لخداع الكازينوهات بأن خسارتك المتوقعة أكبر مما هي عليه في الواقع، لكن لعب هذه الاستراتيجية ليس من بينها.

أوافق على أن الميزة الشرطية لرهان العمود الثالث هي 33.3%، بافتراض أن الكرة ستستقر باللون الأحمر، مع تجاهل كلا الصفرين. ومع ذلك، وبنفس المنطق، إذا استقرت الكرة باللون الأسود، فإن احتمال فوز رهان العمود الثالث هو 4/18 = 2/9. رهان بنسبة فوز 2/9، وعائده 2 إلى 1، ستكون له ميزة للكازينو 33.33%. لذا، بالنظر إلى الأمر من وجهة نظرك، ستكون ميزة اللاعب في رهان العمود الثالث 33.33% في نصف الحالات، وميزة للكازينو 33.33% في النصف الآخر. عند إلغاء أحدهما الآخر، تكون ميزة الكازينو 0%. أخيرًا، بدمج الصفرين، تكون ميزة اللاعب الإجمالية هي (2/38)*-100% + (36/38)*0% = -5.26%.

من منظور آخر، يوضح الجدول التالي عدد احتمالات حدوث جميع النتائج، واحتمالية الفوز، والوحدات الفائزة، والمساهمة في العائد. تُظهر الخلية اليمنى السفلية خسارة متوقعة قدرها -0.105263 وحدة. بقسمة ذلك على رهان الوحدتين، نحصل على نسبة ربح للكازينو قدرها 5.26%.

وهنا الحل الخاص بي (PDF).

تم طرح هذا السؤال ومناقشته في منتدياتي في Wizard of Vegas .

نعم، تُسوّق شركة TCS John Huxley هذه العجلة. لا أعلم بأيّ مواقع بيع حتى الآن.

صيغة نسبة ربح الكازينو في الروليت القياسية هي z/(36+z)، حيث z = عدد الأصفار. في هذه الحالة، نسبة ربح الكازينو هي 4/(36+4) = 4/40 = 1/10 = 10%.