فيديو بوكر - احتمال

وفقًا لصفحتي على لعبة الفيديو بوكر الملكية المتسلسلة ، فإن الاحتمالات تبلغ حوالي واحد في أربعة ملايين.

عدد طرق سحب ثلاث بطاقات من أصل ٤٧ بطاقة متبقية في المجموعة هو الجمع (٤٧، ٣) = ١٦٢١٥. إحدى هذه البطاقات هي الثلاث اللازمة لتشكيل بطاقة ملكية، لذا فإن احتمالات السحب هي ١ من ١٦٢١٥.

من المتوقع أن تكون عوائدك هي نفسها على آلة اللعب الثلاثية كما هو الحال على آلة اللعب بيد واحدة، بافتراض جدول الدفع نفسه.

بافتراض أنك لعبتَ باستراتيجية 8/5 التقليدية، فإن العائد في مثالنا سيكون 99.68%. أما إذا لعبتَ باستراتيجية مثالية لهذه الجائزة الكبرى، فسيكون العائد 100.08%. لذا، لم يكن وونغ مخطئًا.

على حد علمي، تُخلط البطاقات الـ 47 المتبقية باستمرار حتى يقرر اللاعب أي البطاقات سيسحبها. لذا، فإن بطاقات السحب ليست مُقدّرة مُسبقًا. رياضيًا، لا يُحدث هذا فرقًا.

العائد هو 99.9367%.

مرحباً بك، شكراً لك على الكلمات الطيبة!

الصيغة العامة هي combin(X,Z) × p ^Z × (1-p) ^XZ ، حيث p = 1/combin(47,5-Y).

Combin هي صيغة Excel، والتي تساوي X!/[Z! × (XZ)!].

دعونا نلقي نظرة على مثال لعبة فيديو بوكر مكونة من 10 لعبات حيث يحتفظ اللاعب بأربعة إلى ملكي.

شكراً على كلماتك الطيبة. نعم، يعتمد احتمال الحصول على ثلاثة أوراق متشابهة على جدول الدفع، مما يؤثر على استراتيجية اللاعب. يُجري برنامج فيديو بوكر الخاص بي دائماً اللعبة الأمثل لكل يد من خلال تكرار جميع الأوراق المحتملة في السحب. مع ذلك، فإن وضع استراتيجية كتابية يستغرق وقتاً طويلاً.

تبلغ احتمالات الحصول على الفلاش الملكي الطبيعي 1 من 649,740 في أي لعبة فيديو بوكر مكونة من 52 بطاقة.

أتمنى أن تكون سعيدًا، فقد قضيتُ اليوم كله في التفكير في هذا السؤال. تفضل بزيارة ملحقي الجديد الأول لفيديو بوكر للحصول على الإجابة. لا توجد طريقة سهلة لمعرفة احتمالية الخسارة بمجرد حساب التباين. يعتمد الأمر على العائدات الدقيقة لكل يد واحتمالية فوزها.

لا، هذا لا يعني ذلك. خلافًا للأسطورة الشائعة، لا توجد دورة. كل يد مستقلة. يتطلب الأمر عددًا لا نهائيًا من الأيدي، مع لعبها بإتقان، لضمان تحقيق عائد نظري بنسبة 99.54%.

إليكم بعض الأرقام. تُساهم أوراق رويال بنسبة 1.98% في عائد أوراق الولد 9-6 أو أعلى. هذا يعني أنه يُمكنكم توقع عائد 97.56% بين أوراق رويال. الانحراف المعياري لليد الواحدة هو 4.42. الانحراف المعياري لعائد 40,391 يدًا، وهو متوسط عدد أوراق رويال، هو 2.20%. لذا، حتى بعد دورة رويال كاملة، لا يزال من الممكن تحقيق عائد 99.54%. هناك احتمال بنسبة 95% أن تكون نسبة عائدك بين 95.24% و103.85%.

بالنسبة للنوافذ المنبثقة، أكرهها أيضًا. مع ذلك، لا بد من وجود شيءٍ ما يُضيف قيمةً إلى رصيدك. اعتبرها ثمنًا للمعلومات التي تحصل عليها.

هناك combin(52,5)=2598960 تركيبة ممكنة للبطاقات الخمس الأولى. لا يتعين عليك تحليلها جميعًا. أنا شخصيًا أقوم بتقسيمها إلى 191659 نوعًا مختلفًا وأزن كل منها بعدد الأيدي المتشابهة. على سبيل المثال، تكون الاحتمالات هي نفسها مع أربعة آسات وملك فردي بغض النظر عن بدلة الملك. لا يتعين عليك تحليل أربع أيدي لكل بدلة محتملة للملك، فقط واحدة منها واضربها في أربعة. بمجرد حصولك على يد، هناك 2 ⁵ = 32 طريقة للعب اليد. أقوم بتحليل كل طريقة وأخذ اللعبة ذات القيمة المتوقعة الأكبر. لتحديد القيمة المتوقعة للعب، يجب عليك تحليل جميع الطرق التي يمكن أن تسقط بها البطاقات البديلة وتسجيل كل يد. في حالة التخلص من جميع البطاقات الخمس، يوجد combin(47,5)= 1533939 يد بديلة محتملة. العدد الإجمالي للأيدي التي يجب تحليلها لتحديد أفضل لعبة ليد معينة هو combin(47,5)+5*combin(47,4)+10*combin(47,3)+10*combin(47,2)+5*47+1، والذي يساوي أيضًا 2598960. لذا إذا لم نتخذ أي اختصارات على الإطلاق، فسيتعين علينا تحليل 2598960 ² = 6,754,593,081,600 يد. بمجرد تقليل الأيدي الأولية إلى 191659، لا يزال لدينا 498,114,074,640 يدًا للتحليل. من الواضح أن هناك حاجة إلى المزيد من الاختصارات. سيستغرق الأمر من جهاز كمبيوتر مكتبي عدة ساعات على الأقل للعمل على هذا العدد من الأيدي. أنا شخصياً لا أسجل أي يد في الواقع ولكن أستخدم صيغًا مختارة بعناية لتحديد احتمال تحسين اليد. على سبيل المثال، مع أي زوج و3 بطاقات فردية، يكون احتمال تحسين اليد إلى زوجين هو نفسه دائمًا. تزداد الأمور تعقيدًا مع المتتاليات والفلوشات، لكنها لا تزال قابلة للإدارة. يستطيع برنامجي حساب العائد المتوقع للعبة "الجاك" أو ما هو أفضل في دقيقة واحدة تقريبًا. وبما أن الأمر كان يستغرق مني أكثر من يوم، فأنا فخور به جدًا. آمل أن يجيب هذا على سؤالك.

لنفترض أنك تحمل آس البستوني وألقيت أربع بطاقات فردية غير الآس. هناك 44 طريقة للحصول على أربعة متماثلة في الآسات. العدد 44 هو عدد البطاقات الفردية المحتملة التي يمكنك الحصول عليها عند السحب مع الآسات الثلاثة الأخرى (52 بطاقة ناقص 4 آسات والبطاقات الفردية الأربعة التي تخلصت منها). قد تحصل أيضًا على أربعة متماثلة في إحدى الرتب الثماني الأخرى إلى جانب الآسات والأربعة التي تخلصت منها. لذا، فإن إجمالي طرق الحصول على أربعة متماثلة عند التوزيع هو 44 + 8 = 52. إجمالي عدد التركيبات عند التوزيع هو combin(47,4) = 178365. لذا، فإن احتمال الحصول على أربعة متماثلة هو 52/178365 = 1 في 3430.

1. 1/47
2. 1/مجموعة(47,2) = 1/1081
3. 1/مجموعة(47,3) = 1/16215
4. 1/مجموعة(47,4) = 1/178365
5. 4/مجموعة(52,5) = 1/2598960

هناك 178365 طريقة لاختيار 4 بطاقات من أصل 47 بطاقة متبقية. طريقة واحدة فقط ستؤدي إلى البطاقات الثلاث التي تحتاجها. لذا، الاحتمال هو 1 من 178365.

احتمال الحصول على x من بطاقات رويال في ماكينة ذات n لعب عند سحب بطاقة رويال بأربع بطاقات هو combin(n,x) * (1/47) ^x * (46/47) ^nx . لشرح دالة combin(n,x)، تفضل بزيارة قسم الاحتمالات في البوكر . في حالة اللعب بثلاث بطاقات، تكون الاحتمالات كما يلي:

0 ملكيين: 0.937519
1 ملكي: 0.061143
2 ملكيين: 0.001329
3 أفراد من العائلة المالكة: 0.000010

للإجابة على سؤالك الأول، هناك ٢٥٩٨٩٦٠ طريقة لاختيار ٥ بطاقات من أصل ٥٢ لليد الأولى. في السحب، هناك ١، ٤٧، ١٠٨١، ١٦٢١٥، ١٧٨٣٦٥، أو ١٥٣٣٩٣٩ طريقة لسحب البطاقات البديلة، حسب عدد البطاقات التي يحملها اللاعب. القاسم المشترك الأصغر لهذه الأرقام هو ٧٦٦٩٦٩٥. تم ترجيح التركيبات الفعلية للحصول على المجموع ٧٦٦٩٦٩٥. إذن، العدد الإجمالي للتركيبات هو ٢,٥٩٦,٩٦٠ × ٧,٦٦٩,٦٩٥ = ١٩,٩٣٣,٢٣٠,٥١٧,٢٠٠. للإجابة على سؤالك الثاني، ما عليك سوى اختيار أرقام عشوائية من ١ إلى ٥٢ وتعيينها لبطاقة. مولدات الأرقام العشوائية نفسها معقدة للغاية، لكن الهدف بسيط.

تنص لائحة مجلس مراقبة ألعاب نيفادا رقم 14.040.1(أ) على أن أجهزة الألعاب يجب أن تحقق عائدًا بنسبة 75% على الأقل بافتراض استراتيجية مثالية للاعب. للإجابة على سؤالك الثاني، عدّلتُ برنامج لعبة الفيديو بوكر الخاص بي لاختيار أسوأ طريقة لعب ممكنة دائمًا. على سبيل المثال، الاحتفاظ بجميع البطاقات الخمس في يد غير رابحة، ورمي جزء من أو كل الأيدي المكتملة. بناءً على لعبة 9/6 Jacks or Better، تُحقق هذه الاستراتيجية عائدًا بنسبة 2.72%، أو هامش ربح للكازينو بنسبة 97.28%. فيما يلي جدول العائد الكامل. لن يتمكن لاعب كهذا من مقاضاة الكازينو لأنه كان مسؤولًا عن سوء أدائه.

الاحتمال هو 1/combin(47,2) = 1 في 1081. في كل لعبة درستها، كان الزوج المرتفع هو اليد الأقوى من 3 إلى الملكية، باستثناء لعبة Chase the Royal.

إذا كنت تحمل ثلاث بطاقات ديو، فهناك 46 طريقة للحصول على بطاقة ديو أخرى وورقة أخرى. هناك طريقة الجمع (47، 2) = 1081 لاختيار ورقتين من أصل 47 ورقة متبقية في المجموعة. لذا، فإن احتمال الحصول على أربع بطاقات ديو عند السحب مع امتلاك ثلاث ورقات هو 46/1081 = 4.26% = 1 من 23.5. إذا كنت تحمل ورقتي ديو، فهناك 45 طريقة للحصول على ورقتي ديو إضافيتين وورقة أخرى. هناك طريقة الجمع (47، 3) = 16215 لاختيار 3 ورقات من أصل 47. لذا، فإن احتمال الحصول على أربع بطاقات ديو عند السحب مع امتلاك ورقتين هو 45/16215 = 0.28% = 1 من 360.33.

إذا كانت استراتيجيتك هي تعظيم عدد أوراق رويال بأي ثمن، فستحصل على ورقة رويال مرة واحدة كل 23081 يدًا. افترضتُ أنه في حال وجود احتمالية فوز متساوية لأوراق رويال، سيختار اللاعب اللعبة التي تُعظم عائد الأيدي الأخرى. تبلغ نسبة ربح الكازينو لهذه الاستراتيجية في لعبة جاك 9/6 أو أعلى 51.98%. فيما يلي جدول يوضح احتمالية وعائد كل يد.

شكراً! نعم، سبق أن ذكرتُ أنه إذا كان لديّ نظام مراهنات بميزة 1% فقط، يُمكنني تحويل 1000 دولار إلى مليون دولار بمجرد استغلال هذه الميزة. يُمكن ذلك أيضاً في لعبة فيديو بوكر، ولكنه سيستغرق وقتاً أطول بكثير لأن ميزة 0.77% (الدفع الكامل لبطاقات "الثنائي البري") لا توجد إلا في مستوى الربع. بافتراض قدرتك على لعب 1000 يد في الساعة (وهي سرعة لا يصل إليها إلا القليلون) ولعبك بإتقان، سيؤدي ذلك إلى متوسط دخل قدره 9.63 دولار في الساعة. يتطلب الوصول إلى 1000000 دولار العمل لمدة 11.86 عاماً دون توقف. كما أن رأس المال البالغ 1000 دولار سيكون منخفضاً جداً للعب فيديو بوكر الربع، لذا فإن خطر الخسارة سيكون مرتفعاً للغاية. سيكون الوصول إلى 1000000 دولار بنفس الميزة أسرع في لعبة طاولة لأن اللاعب يستطيع المراهنة أكثر.

هناك صيغة بسيطة لهذه الإجابة: الاستثمار الأولي مقسومًا على هامش الكازينو. في هذه الحالة، يكون الناتج 100 دولار أمريكي/0.02 = 5000 دولار أمريكي. مع ذلك، نظرًا لتقلبات لعبة الفيديو بوكر، فإن مبلغ الـ 100 دولار أمريكي لن يدوم طويلًا في أغلب الأحيان.

احتمالية الحصول على أي ثلاثة متشابهة أو فول هاوس، بناءً على أوراق الولد "9/6" أو أفضل، هي 0.085961. لتسهيل الأمور، سأقسم على 13 للحصول على احتمالية أن تكون رتبة الثلاثة متشابهة هي ثلاثة. من الواضح أن هذا مبالغة في الاحتمال، لأنك ستلاحظ المزيد من الأوراق من الولد وحتى الآس، لأن الاستراتيجية الصحيحة هي الاحتفاظ بهذه الأوراق أكثر. 0.085961/13 = 0.006612. مضاعفة المكاسب ثلاث مرات لـ 9 جولات تشبه الحصول على 18 جولة مجانية. 18 * 0.006612 = 0.119023. لهذا، سأطبق نوعًا من عامل التلاعب لمراعاة العدد الأقل بشكل غير متناسب لثلاثة متشابهة في أوراق الولد، ربما بنسبة 75%. 0.119023 * 0.75 = 0.089267. لذا، مهما كان العائد الطبيعي، اضربه في 1.089.

يتضح من قسم "الثنائيات البرية" أن احتمال الحصول على أربعة ثنائيات في أي يد هو 0.000204. لذا، فإن احتمال عدم الحصول على أربعة ثنائيات في أي يد هو 1-0.000204 = 0.999796. واحتمال لعب 14000 يد دون الحصول على أربعة ثنائيات هو 0.999796 = ¹⁴⁰⁰⁰ = 5.75%.

ليس هذا بالأمر الغريب. أحيانًا تقدم كازينوهات فيغاس عرضًا ترويجيًا يُضاعف فيه المبلغ الذي تحصل عليه عند الحصول على ثاني رويال هيت خلال ٢٤ ساعة. لنفترض أنك تلعب لمدة ٨ ساعات بمعدل ٤٠٠ يد في الساعة، أي ٣٢٠٠ يد إجمالًا. احتمال أن تكون إحدى يديك رويال فلوش هو ٠.٠٠٠٠٢٤٧٦. احتمال عدم الحصول على أي رويال في ٣٢٠٠ يد هو (١-٠.٠٠٠٢٤٧٦) ^٣٢٠٠ = ٠.٩٢٣٨٢٥. احتمال الحصول على رويال واحد هو ٣٢٠٠ × ٠.٩٢٣٨٢٥ × (١-٠.٩٢٣٨٢٥) ^٣١٩٩ = ٠.٠٧٣١٩٨. لذا، احتمال الحصول على اثنين أو أكثر هو ١- ٠.٩٢٣٨٢٥ - ٠.٠٧٣١٩٨ = ٠.٠٠٢٩٧٧، أو حوالي ١ من ٣٣٦.

هذا سؤال جيد لتوزيع بواسون. إذا كان احتمال وقوع حدثٍ ما متساويًا في أي لحظة، ومستقلًا عن الأحداث الأخرى، وكان متوسط العدد المتوقع هو م، فإن احتمال وقوع n حدثًا هو هـ ^-م *م ^ن /ن!. لذا، في هذه الحالة، يكون الاحتمال هـ ^-١٧٫٧٦ *١٧٫٧٦ ^٣ /٣! = ٠٫٠٠٠٠١٨٠٨، أو ١ من ٥٥٣٢١.

وهنا احتمال الفوز صفر لكل لعبة حسب عدد المسرحيات.

الجدول مبني على محاكاة عشوائية. أعلم أنه من الممكن نظريًا تحقيق ربح صفري في ١٠٠ لعبة، ولكن في ١٥,٨٢٠,٠٠٠ لعبة لم يحدث ذلك أبدًا. لذا يُرجى عدم الكتابة عن ذلك. يُظهر الجدول أن احتمالية الحصول على صفر في ١٠ ألعاب هي ٠.٠٢٥٩١٤، أي ٢.٥٩٪. واحتمالية حدوث ذلك عشر مرات متتالية هي ٠.٠٢٥٩١٤ ^{، ١٠} = ١ في ٧,٣٢٣,٠٧٣,٢٩٥,١٧٧,٩٨٠.

جربتُ البرنامج المذكور في وضع اللعب الحر، وكانت النتائج جيدة. تحديدًا في ١٠ ألعاب، فزتُ بشيء ما في كل مرة. مع ذلك، على حد علمي، لا يوجد كازينو يقدم هذا البرنامج ولا يقبل لاعبين بأموال حقيقية من الولايات المتحدة . سأبحث أكثر، لكنني لا أريد شرح ذلك في هذا المنتدى.

استراتيجية الفوز بالملكي مهما كلف الأمر، كما لو أن جميع الأيدي الأخرى لم تدفع أي شيء، ستؤدي إلى عائد بنسبة 47.85% في لعبة Jacks or Better ذات ربح 9/6. سيزداد معدل تكرار الفوز بالملكي المتوقع من مرة واحدة كل 40388 يدًا إلى مرة واحدة كل 23081 يدًا.

تقريبًا. إذا كان أكثر من ورقة ملكية واحدة في كل توزيع في لعبة من 5 أوراق يُحتسب كمشاهدة واحدة فقط، فسيكون عدد المشاهدات أقل بقليل من 5 مرات. هذا لأن العدد الإجمالي للأوراق الملكية سيكون خمسة أضعاف، ولكن أحيانًا يتم تجميعها معًا في نفس اللعبة، عادةً عندما تحصل على ورقة ملكية في التوزيع، وبالتالي 5 في السحب.

يوضح الجدول التالي احتمالية الحصول على بطاقة ملكية في لعبة واحدة وفقًا لعدد البطاقات التي تمتلكها البطاقة الملكية، بافتراض استراتيجية الدفع الكامل المثلى.

يوضح هذا الجدول أن احتمالية الحصول على بطاقة ملكية في 22.37% من الحالات. أما في بقية الحالات، فسيكون احتمال الحصول على بطاقة ملكية مستحيلاً، لأسباب مثل امتلاكك بطاقة بديلة أو زوجًا. تُظهر الخلية السفلية اليمنى أن احتمالية الحصول على بطاقة ملكية هي 0.00002208، أو 1 من 45282.

يظهر الجدول التالي نفس الشيء ولكن للعب 5، واحتمال وجود ملكي واحد على الأقل.

لاحظ أن احتمال الحصول على ورقة ملكية واحدة على الأقل هو 0.00010268. وهذا أعلى بمقدار 4.65 من احتمال اللعب مرة واحدة. والسبب هو أن احتمال الحصول على ورقة ملكية واحدة على الأقل يكون دائمًا أقل بخمس مرات من احتمال اللعب مرة واحدة. على سبيل المثال، احتمال الحصول على ورقة ملكية مع الاحتفاظ بها هو 1/47 في اللعب مرة واحدة. أما في اللعب 5 مرات، فإن احتمال الحصول على ورقة ملكية واحدة على الأقل هو 1-(1-(1/47)) ⁵ = 0.101951341، أي أعلى بحوالي 4.79 مرة.

في ألعاب مثل بوكر المكافأة والمكافأة المزدوجة، أفترض أنهم يدفعون أكثر مقابل أوراق رباعية من نفس النوع، مما يمنح اللاعب فرصة أكبر للفوز الكبير، على حساب مكاسب صغيرة بالطبع. من المنطقي أن تكون أربعة آسات هي أوراق الرباعية المميزة، لأن الآسات هي أعلى ورقة في البوكر العادي. أعتقد أن أربعة أوراق ذات قيمة اثنين تُعطي عائدًا أعلى من أربعة ملوك، لأن اللاعبين لا يحملون أوراقًا منخفضة القيمة كثيرًا، وبالتالي تظهر أربعة أوراق ذات قيمة اثنين أقل من أربعة ملوك. لذا، على الرغم من أن احتمالية كل ورقة متساوية، إلا أن سلوك اللاعب يُقلل من احتمالية ظهور أربعة أوراق ذات قيمة منخفضة، مما يُسهّل على صانع اللعبة دفع المزيد مقابل أربعة أوراق ذات قيمة منخفضة.

دعونا نفحص الحالة العامة أولاً.

قم بتعريف p على أنه احتمال أن تكون الأربعة التالية من نفس النوع هي التي تحتاجها للترقية.

عرف q على أنه 1 - p.

قم بتعريف m على أنه العدد المتوقع لأربعة أنواع من أجل الحصول على النوع الذي تحتاجه.

مجموع الاحتمالات هو 1. وبالتالي،

(1) ص + ص×س ¹ + ص×س ² + ص×س ³ + ص×س ⁴ + ... = 1

وفيما يلي صيغة m من حيث p وq.

(2) م = 1×ص + 2×س×ص ¹ + 3×س ² ×ص + 4×س ³ ×ص + 5×س ⁴ ×ص + ...

اضرب كلا جانبي (2) في q.

(3) م ق = 1×صق + 2×صق×ق ² + 3×صق×ق ³ + 4×صق×ق ⁴ + 5×صق×ق ⁵

اطرح (3) من (2)

(4) م - م ق = ص + ف ق + بك ² + بك ³ + بك ⁴ + ...

الجانب الأيمن من (4) يساوي 1 من (1).

(5) م - م ق = 1

(6) م×(1-س) = 1

(7) م = 1/(1-س) = 1/ص.

لذا، إذا كان احتمال وقوع حدث هو p، ففي المتوسط سوف يستغرق حدوثه 1/p من المحاولات.

بالعودة إلى المسألة المطروحة، من الواضح أن الحصول على أربعة أرقام متشابهة واحدة فقط لحذف الرقم الأول من القائمة. احتمال أن تكون الأرقام الأربعة المتشابهة التالية هي التي تحتاجها هو 12/13. لذا، في المتوسط، سيتطلب الحصول على الرقم 13/12 = 1.0833 محاولة. بمجرد حذف رقمين من القائمة، يكون احتمال أن تكون الأرقام التالية هي التي تحتاجها هو 11/13، لذا سيتطلب الحصول على الرقم الثالث 13/11 = 1.1818 محاولة أخرى.

باتباع هذا النمط، فإن العدد الإجمالي المتوقع لأربعة أنواع من نفس النوع للحصول على نوع واحد على الأقل من كل نوع هو

1 + (13/12) + (13/11) + (13/10) + ... + (13/1) = 41.34173882.

نعم. لنفترض أنك تلعب 9/6 جاكس أو بيتر. تباين اليد الأخيرة هو n * 1.966391 + 17.548285، حيث n هو عدد اللعبات. لذا، تباين اليد في 10 لعبات هو 10 * 1.966391 + 17.548285 = 37.2122، وفي لعبة واحدة هو 1 * 1.966391 + 17.548285 = 19.51468. تباين 1000 يد أولية أو 10000 يد إجمالية في 10 لعبات هو 10000 * 37.2122 = 372,122. تباين 10000 يد في لعبة واحدة هو 10000 * 19.51468 = 195,149. مع ذلك، أعتقد أن الانحراف المعياري هو ما يجب أن نتحدث عنه، وهو الجذر التربيعي للتباين. الانحراف المعياري لعشرة آلاف يد من لعبة 10-play هو 372,122 ^0.5 = 610.02. الانحراف المعياري لعشرة آلاف يد من لعبة واحدة هو 195.149 ^0.5 = 441.75. طالما أن إجمالي الأيدي النهائية ثابت، فإن لعبة 10-play ستكون دائمًا أكثر تقلبًا بنسبة 38.1%، في لعبة 9/6 Jacks or Better. لمزيد من المعلومات، تفضل بزيارة قسمي حول الانحراف المعياري في لعبة فيديو بوكر n-play .

في لعبة 9/6 Jacks or Better، مع استراتيجية مثالية، سترى ورقة رويال تُسحب مرة كل 40,601 يد، ولكن أربعة أوراق تُسحب مرة كل 460 يد. لكل ورقة رويال تراها، ستكون على بُعد ورقة واحدة 88.33 مرة. من بين الأوراق الأربعة التي تُسحب على ورقة رويال، 50.37% منها لا تدفع شيئًا، و24.89% تدفع كزوج، و7.89% كستريت، و16.16% كفلوش، و0.69% كستريت فلوش. إليك الأرقام الدقيقة.

العدد المتوقع للأفراد الملكيين لـ ١٧٠ أربعة أفراد ملكيين هو ١٧٠/٨٨.٣٣ = ١.٩٢. احتمال رؤية الصفر بمتوسط ١.٩٢ هو e ^-١.٩٢ = ١٤.٥٩٪.

يمكن استخدام توزيع بواسون للإجابة على هذا النوع من الأسئلة. الصيغة العامة هي e ^-m *m ^x / x!، حيث x هو عدد الحدث الذي لاحظته، وm هو العدد المتوقع. في هذه الحالة، x يساوي 3. احتمال ظهور فلاش ملكي في لعبة " بط غير قبيح جدًا " هو 0.000023. لذا، فإن العدد المتوقع في 10,000 يد هو 0.23. وبالتالي، فإن احتمال ظهور ثلاثة أوراق ملكية بالضبط في 10,000 يد هو e ^-0.23 *0.23 ³ / 3! = 0.161%. الصيغة في إكسل هي poisson(3,0.23,0).

أفترض أنك تفترض أن احتمال الحصول على ورقة ملكية هو ١ من ٤٠,٠٠٠. عند لعب ٤,٠٠٠ يد في الجلسة، يكون العدد المتوقع لأوراق الملكية في الجلسة ٠.١. أقرب تقدير لاحتمال عدم الحصول على أي أوراق ملكية في الجلسة هو e ^-٠.١ = ٩٠.٤٨٪. والسبب في عدم وصوله إلى ٩٠٪ هو أنك قد تحصل أحيانًا على أكثر من ورقة ملكية واحدة في الجلسة. العدد المتوقع لأوراق الملكية في ٥٠ جلسة هو ٠.١ × ٥٠ = ٥. يمكن تقريب احتمال عدم الحصول على أي أوراق ملكية في ٥٠ جلسة تقريبًا عند e ^-٥ = ٠.٦٧٪. والاحتمال الدقيق هو (٣٩,٩٩٩/٤٠,٠٠٠)^(٢٠٠,٠٠٠) = ٠.٦٧٪ أيضًا.

لو كنت تلعب بخط واحد، لكان الأمر سهلاً. 800,000 دولار تعادل 160,000 يد بقيمة 5 دولارات. أي 3.9616 دورة ملكية. يمكن تقريب احتمال عدم وجود دورات ملكية إلى 1.9% تقريبًا: e ^-3.9616 = 1.9%.

تزداد الحسابات تعقيدًا في الألعاب متعددة الخطوط. أعتقد أن أسهل طريقة للإجابة على هذا السؤال هي المحاكاة العشوائية. يوضح ملحق فيديو بوكر رقم 6 أن احتمال الحصول على ورقة رويال واحدة على الأقل لكل يد في لعبة Jacks or Better 9/6 ذات الخمسين لعبة هو 0.00099893. كل يد بقيمة دولار واحد في لعبة 50 لعبة، تكلف 250 دولارًا. لذا، ستكون قد لعبت 3200 يد مبدئية. العدد المتوقع للأيدي التي تحتوي على ورقة رويال في 3200 يد هو 3.1966. وبنفس طريقة التقريب، يكون احتمال عدم الحصول على أي ورقة رويال هو e ^-3.1966 = 4.09%. الإجابة الدقيقة، بناءً على نتائج المحاكاة، هي (1-0.00099893)^3200 = 0.04083732، أو 4.08%.

أهلاً بك. أجريتُ بعض المحاكاة العشوائية في لعبة 9/6 Jacks or Better، للإجابة على سؤالك. يوضح الجدول التالي التباين لخطوط من 2 إلى 9 خطوط، في لعبة 9/6 Jacks or Better. التباين سيكون مساويًا للعبة الأساسية.

لنلقِ نظرة على مثال لعبة Jacks or Better ذات 9 أسطر 9/6 . تباين اللعبة الأساسية هو 19.52. التباين المشترك هو 33.46. بالتالي، التباين الكلي هو 19.52 + 33.46 = 52.98. الانحراف المعياري هو 52.98 ^½ = 7.28.

طالما أنها تراهن بمعدل ثابت، فبالتأكيد، خذ الرهان. إما أنها تستخدم نوعًا من التقدم غير المجدي، أو أن هذه مبالغة غير مباشرة. هذا دفعني للتفكير في العدد الأمثل للأيدي لجانب صديقك. بافتراض 9/6 جاك أو أفضل، والاستراتيجية المثلى، فإن احتمالية الفوز تكون عند 136 يدًا، بنسبة احتمال 39.2782%.

عائد مكافأة مضاعفة مضاعفة 6/5 هو 0.946569، تحديدًا. يُشير جدولي إلى أن احتمال الفوز بالجائزة الكبرى هو 0.000025. مع ذلك، أُفضّل استخدام أرقام أكثر دلالة، لذا لنأخذ العائد مقسومًا على الفوز، وهو 0.020297/800 = 0.00002537. عائد جميع المكاسب باستثناء الجائزة الكبرى هو 0.926273. لنُسمِّ j مبلغ الجائزة الكبرى عند نقطة التعادل. حل المسألة لـ j:

1 = 0.926273 + 0.00002537*ج
ج = (1-0.926273)/ 0.00002537 = 2,906.

يُقاس مبلغ 2,906 بوحدات الرهان. بالنسبة لجهاز بقيمة دولار واحد (رهان إجمالي 5 دولارات)، ستكون نقطة التعادل 5 × 2,906 = 14,530 دولارًا. لذا، لا يزال مبلغ 12,000 دولارًا بعيدًا عن نقطة التعادل. قبل أن يكتب لي أحد المُتقنين، مع ارتفاع الرهان التدريجي، ستتغير الاستراتيجية المُثلى، لتصبح أكثر جرأةً في اللعب على الملوك. تفترض إجابتي أن اللاعب يتبع نفس الاستراتيجية المُثلى 6/5 طوال الوقت.

لتقريب بسيط لأي لعبة فيديو بوكر بـ 52 بطاقة، يُضاف 0.5% لكل 1000 عملة إضافية في العداد. في حالة عداد بقيمة 10,100 دولار، يكون هذا أعلى بمقدار 6,100 دولار من عداد غير تصاعدي. إنها لعبة دولارية، أي 6,100 عملة، لذا أضف 0.5% × (6,100/1,000) = 3.05% إلى العائد الأساسي. العائد الأساسي هو 92.63%، لذا يمكن تقريب العائد الإجمالي إلى 94.66% + 3.05% = 97.71%. العائد الفعلي لعداد بقيمة 10,100 دولار هو 97.75%، وهو قريب جدًا.

هناك أربع مجموعات للاختيار من بينها للحصول على 3 أوراق ملكية. هناك مجموع (5،3) = 10 طرق لاختيار 3 أوراق من أصل 5. هناك مجموع (47،2) = 1081 طريقة لاختيار الورقتين الأخريين. هناك مجموع (52،5) = 2598،960 طريقة لاختيار 5 أوراق من أصل 52. لذا، فإن احتمال الحصول على 3 أوراق ملكية هو 4×10×1081/2598،960 = 1.66%.

لفائدة القراء الآخرين، يُعد معامل الانحراف (الانحراف) لأي متغير عشوائي مقياسًا للاتجاه ذي الذيل الأطول. الانحراف السالب يعني أن النتائج الأكثر احتمالًا تكون في الجانب الأعلى من التوزيع، مع إزاحة القيم المتطرفة التي تميل إلى الانخفاض. أما الانحراف الموجب فهو عكس ذلك، حيث تكون النتائج الأكثر احتمالًا في الجانب الأدنى، ولكن مع ميل القيم المتطرفة إلى الارتفاع. يكون المتوسط الحسابي أقل من الوسيط الحسابي في حالة الانحراف السالب، وأكبر في حالة الانحراف الموجب. يمكن العثور على الصيغة الدقيقة على ويكيبيديا ، أو في العديد من كتب الإحصاء.

بشكل عام، يرتبط الانحراف بتكرار فوزك في جلسة واحدة. في لعبة "جاك أور بيتر"، في الغالب، لن تربح جلسة واحدة على مدار بضع ساعات إذا لم تربح رويال. يمكنك اللعب في لعبة "دبل دبل بونس" والفوز بعد بضع ساعات أكثر بفضل عوائد الرباعية الكبيرة. ولأن معظم الناس عرضة للتحيزات المعرفية، فإن ألم الخسارة يفوق متعة الفوز بمرتين. لا يلعب الناس لعبة "دبل دبل بونس" لأنهم يحبون التباين، بل لأن لديهم فرصة أكبر للفوز. يوضح الجدول التالي بعض الإحصائيات الرئيسية لأربع ألعاب فيديو بوكر شائعة. من المثير للاهتمام ملاحظة أن الانحراف يكون في أعلى مستوياته في لعبة "جاك أور بيتر".

الوظيفة - 9/6 = راتب كامل أو أفضل
BP — 8/5 = مكافأة الدفع القياسية للبوكر
DDB — 9/6 = راتب قياسي، مكافأة مضاعفة، بوكر
DW — NSUD = "بط ليس قبيحًا جدًا" Deuces Wild

كيف يُمكن لمعرفة هذا أن تُفيد لاعب فيديو بوكر؟ يُمكن القول إن لعبة ذات انحراف كبير في الرهان تزيد من احتمالية الخسارة على مدار بضع ساعات. على سبيل المثال، في لعبة "جاك أور بيتر"، إذا لم تُحقق أي أوراق ملكية، فمن المُرجح أن تُؤدي ميزة الكازينو إلى استنزاف رصيدك في النهاية. أما في لعبة مثل "ديوسيس وايلد" أو "دبل دبل بونس"، فإن ثاني أعلى فوز يُمكن أن يُخرجك من المأزق على مدار جلسة. بمعنى آخر، يمنعك الانحراف من الفوز عندما لا تُحقق أوراق ملكية. معرفة الانحراف لن تزيد من احتمالات فوزك، ولكن من المُفيد عقليًا معرفة ما يُمكن توقعه. لذا، في المرة القادمة التي تُخسر فيها في لعبة "جاك 9/6"، ألقِ اللوم على الانحراف.

شكرًا لـ Jeff B. على مساعدته في هذا السؤال.

اكتشاف رائع! لم تذكر فئة الرهان التي تلعب بها، وهو أمر مهم، لذا سأفترض أنها بالدولار. بالنسبة لرهان أقصى بخمس عملات، فإن عدد مرات الفوز بـ w (حيث w < 1200) هو 1+int(log(1200)-log(w))/log(2).

يوضح الجدول التالي لكل يد أولى نسبة الفوز قبل المضاعفة، واحتمالية الفوز قبل المضاعفة، وعدد المضاعفات المطلوبة، والفوز بعد المضاعفة، واحتمالية تحقيق الفوز بعد المضاعفة، بما في ذلك مكافأة الـ 250 دولارًا. تُظهر الخلية السفلية اليمنى عائدًا بنسبة 115.5%. ستحصل على جائزة كبرى كل 297 يدًا في المتوسط، بمتوسط جائزة كبرى يبلغ 1,717.46 دولارًا.

يوضح الجدول التالي احتمالية كل نوع من أنواع البطاقات الملكية، وفقًا لعدد البطاقات، بشرط وجود بطاقة ملكية. ويُظهر أن 3.4% من البطاقات الملكية ناتجة عن بطاقة واحدة. واحتمالية وجود بطاقة ملكية في البداية هي 1 من 40,391، وبالتالي فإن الاحتمال غير المشروط لوجود بطاقة ملكية واحدة هو 1 من 1,186,106.

هناك مزيج (52،5) = 2,598,960 تركيبة ممكنة في التوزيع. السبب في أن طاولات إرجاع الفيديو بوكر الخاصة بي تحتوي على ما يقرب من 20 تريليون تركيبة هو أنه يجب عليك أيضًا مراعاة ما قد يحدث في السحب. إليك عدد التركيبات حسب عدد البطاقات التي يتخلص منها اللاعب.

المضاعف المشترك الأصغر لجميع هذه التركيبات هو 5×combin(47,5)= 7,669,695. بغض النظر عن عدد البطاقات التي يتخلص منها اللاعب، يجب ترجيح تركيبات الإرجاع بحيث يصبح المجموع 7,669,695. على سبيل المثال، إذا تخلص اللاعب من 3 بطاقات، فسيكون هناك 16,215 تركيبة محتملة في السحب، ويجب ترجيح كل منها بنسبة 7,669,695/16,215 = 473.

إذن، إجمالي عدد التركيبات في لعبة فيديو بوكر هو ٢,٥٩٨,٩٦٠ × ٧,٦٦٩,٦٩٥ = ١٩,٩٣٣,٢٣٠,٥١٧,٢٠٠. لمزيد من المعلومات حول كيفية برمجة عوائد لعبة فيديو بوكر بنفسك، يُرجى زيارة صفحتي "منهجية تحليل لعبة فيديو بوكر" .

تم طرح هذا السؤال ومناقشته في منتدى موقعي المرافق Wizard of Vegas .

أفضل تخمين هو رويال آيسز بونس بوكر. رأيته مرة واحدة فقط في مسكيت قبل سنوات. يدفع 800 لأربعة آسات، لكنه يعوّض ذلك بأقل ربح بيد مكونة من زوج من الآسات، على عكس الولد المعتاد. إليكم جدول المكافآت.

الانحراف المعياري هو ١٣.٥٨! أي أكثر من ثلاثة أضعاف الانحراف المعياري لـ ٩-٦ جاكس أو بيتر، وهو ٤.٤٢.

مع ذلك، إذا اقتصرتُ على الألعاب التي يسهل العثور عليها، فإن ترشيحي هو Triple Double Bonus، بانحراف معياري قدره 9.91. إليك جدول الأرباح.

تم طرح هذا السؤال ومناقشته في منتدى موقعي المرافق Wizard of Vegas .

٧,٢٨١.٨ عملة. من الجدير بالذكر أنه إذا لعبت مرة واحدة فقط عند هذا العداد بالضبط، فسيكون العائد ٩٨.٥٪ فقط. والسبب الذي يدفعك للعب في هذه المرحلة هو افتراض قدرتك على اللعب حتى الفوز بالجائزة الكبرى. هذا يشبه وجود نادٍ لألعاب السلوتس مع استرداد نقدي ٢٪. ٩٨.٥٪ + ٢٪ = ١٠٠.٥٪.

أود أن أضيف أنه إذا بدأتَ اللعب باستراتيجية الفوز بجائزة كبرى قدرها 4000 عملة، وبلغت قيمة الجائزة الكبرى 7,281.8 بالضبط، فستربح 201.18 رهانًا. أما إذا خصصتَ وقتًا لتعلم تغييرات الاستراتيجية للفوز بجائزة كبرى قدرها 7,281.8، فسيكون ربحك المتوقع 234.31 عملة.

في سياق متصل، انتهيتُ للتو من قراءة كتاب "العالم السري لألعاب الفيديو بوكر التقدمية" لفرانك نيلاند. يحتوي هذا الكتاب على العديد من الصيغ لمواقف تقدمية أكثر تعقيدًا، بالإضافة إلى نصائح عملية وقصص مستوحاة من سنوات إدارته لفريق من صائدي الألعاب التقدمية. أنصح به للاعبي الفيديو بوكر التقدميين المميزين.

للحصول على إجابة شبه دقيقة لأسئلة متتالية كهذه، نحتاج إلى استخدام جبر المصفوفات. أجبتُ على سؤال مشابه، وإن كان أسهل، في مقالي بتاريخ 4 يونيو/حزيران 2010. إذا كان جبر المصفوفات لديك ضعيفًا، أنصحك بالاطلاع عليه أولًا.

الخطوة ١: حدد احتمال ظهور ما بين ٠ و٦ أوراق ملكية فأكثر في أول ٥٠٠٠ يد. لنفترض أن احتمال ظهور ورقة ملكية هو ١ من ٤٠٠٠٠. العدد المتوقع في ٥٠٠٠ يد هو ٥٠٠٠/٤٠٠٠٠ = ٠٫١٢٥. باستخدام تقدير بواسون، يكون احتمال ظهور عدد محدد من الأوراق الملكية هو e ^-٠٫١٢٥ × ٠٫١٢٥ ^r / r!. إليك هذه الاحتمالات:

الخطوة الثانية: لنفترض وجود سبع حالات للـ ٢٤,٩٩٥,٠٠٠ يد المتبقية. لكل يد، يمكن أن تحتوي الخمسة آلاف يد السابقة على ٠، ١، ٢، ٣، ٤، أو ٥ أوراق ملكية، أو قد يكون اللاعب قد حقق بالفعل ستة أوراق ملكية في ٥٠٠٠ يد، وفي هذه الحالة يكون قد حقق النجاح، ولا يمكن سلبه. مع كل يد جديدة، قد يحدث أحد ثلاثة أمور لحالة اللاعب:

1. انتقل للأسفل. يحدث هذا إذا كانت اليد التي لُعبت قبل ٥٠٠٠ لعبة ملكية، وهي الآن في طور التراجع، ولم تكن اليد الجديدة ملكية.
2. البقاء على نفس المستوى. يحدث هذا عادةً إذا كانت اليد التي لعبت قبل 5000 لعبة ليست ملكية، واليد الجديدة ليست ملكية أيضًا. يمكن أن يحدث أيضًا إذا كانت اليد التي لعبت قبل 5000 لعبة ملكية، ولكن اليد الجديدة أيضًا ملكية.
3. انتقل إلى مستوى أعلى. سيحدث هذا إذا لم تكن اليد التي لعبت قبل ٥٠٠٠ لعبة ملكية، واليد الجديدة ملكية.

الخطوة 3: قم بتطوير مصفوفة الانتقال لاحتمالات كل تغيير في الحالة للعبة إضافية يتم لعبها.

سيُطابق الصف الأول المستوى ٠ قبل لعب اليد الجديدة. احتمالات التقدم إلى المستوى ١ في اليد التالية هي ١ من ٤٠,٠٠٠. واحتمال البقاء عند المستوى ٠ هي ٣٩,٩٩٩/٤٠,٠٠٠.

سيُطابق الصف الثاني المستوى ١ قبل لعب اليد الجديدة. احتمالات التقدم إلى المستوى ٢ في اليد التالية هي حاصل ضرب احتمالات عدم خسارة ورقة ملكية في اليد التي انسحبت واكتساب ورقة ملكية في اليد الجديدة = (٤٩٩٩/٥٠٠٠) × (١/٤٠٠٠٠) = ٠.٠٠٠٢٥٠. احتمالات العودة إلى المستوى ٠ هي حاصل ضرب احتمالات فقدان ورقة ملكية وعدم الحصول عليها في اللعبة الحالية = (١/٥٠٠٠) × (٣٩٩٩٩/٤٠٠٠٠) = ٠.٠٠٠٢٠٠٠. احتمالات البقاء على نفس المستوى هي pr (عدم سقوط أي فرد ملكي) × pr (عدم سقوط أي فرد ملكي جديد) + pr (سقوط أي فرد ملكي) × pr (فرد ملكي جديد) = (4999/5000) × (39999/40000) + (1/5000) × (1/40000) = 0.9997750.

تعتمد احتمالات الصفوف من ٢ إلى ٦ على عدد أوراق الملكية الموجودة في آخر ٥٠٠٠ يد. كلما زاد عددها، زاد احتمال سقوطها عند لعب يد جديدة. ليكن r هو عدد أوراق الملكية في آخر ٥٠٠٠ يد، وp هو احتمال الحصول على ورقة ملكية جديدة.

Pr(ترقية المستوى) = Pr(عدم سقوط أي ملكي) × Pr(ملكي جديد) = (1-(r/5000))× p.

Pr(البقاء على نفس المستوى) = Pr(لا يوجد انخفاض ملكي) × Pr(لا يوجد انخفاض ملكي جديد) + Pr(انخفاض ملكي) × Pr(ملكي جديد) = (1-(r/5000))× (1-p) + (r/5000)×p.

Pr(خفض مستوى) = Pr(إزالة الملكية) × Pr(لا يوجد ملكي جديد) = (r/5000)× (1-p).

الصف السابع يُعادل بلوغ حالة النجاح بالحصول على ستة أوراق ملكية في 5000 يد. بمجرد تحقيق هذا الإنجاز، لا يُمكن سلبه أبدًا، لذا فإن احتمالية الحفاظ على هذه الحالة هي 100%.

ستتوافق صفوف مصفوفة الانتقال مع المستويات قبل اليد الجديدة، بدءًا من المستوى 0 في الصف العلوي. وستتوافق الأعمدة مع المستويات بعد اليد الجديدة، بدءًا من المستوى 0 في العمود الأيسر. وسيتوافق نص الأرقام في المصفوفة مع احتمالات الانتقال من كل حالة قديمة إلى كل حالة جديدة في لعبة واحدة. لنسمِّ هذا T1 =

إذا ضربنا مصفوفة الانتقال هذه في نفسها، نحصل على احتمالات كل تغيير في الحالة في لعبتين متتاليتين. لنسمِّ هذا T2، لمصفوفة الانتقال على مدار لعبتين:

بالمناسبة، لضرب مصفوفتين متساويتين في الحجم في إكسل، حدد أولًا المنطقة التي تريد إضافة المصفوفة الجديدة إليها. ثم استخدم الصيغة =MMULT(نطاق المصفوفة 1، نطاق المصفوفة 2). ثم اضغط على Ctrl+Shift+Enter.

إذا ضربنا T2 في نفسه، نحصل على احتمالات كل تغيير في الحالة في أربع مباريات متتالية، أو T4:

لذا استمر في تكرار عملية المضاعفة هذه 24 مرة حتى نصل إلى T-16,777,216:

إذا ضاعفنا العدد مرة أخرى، فسنتجاوز هدفنا وهو T-24,995,500. لذا، علينا الآن الضرب بعناية في مصفوفات انتقالية أصغر، والتي كنا قد حسبناها مسبقًا. يمكنك الوصول إلى أي عدد باستخدام قوى العدد 2 (متعة الحساب الثنائي!). في هذه الحالة، T-24,995,500 = T-16,777,216 × T-2، ^{22 × T-2، 21} × T-2 ^{، 20} × T-2، ¹⁹ × T-2، ¹⁸ × T-2، ¹⁶ × T-2، ¹⁴ × T-2، ¹³ × T-2 ^{، 10} × T-2، ⁷ × T-2، ⁵ × T-2 ^{، 4} × T- ² ، ³ =

بصراحة، حرصًا على البساطة وتوفير الوقت، لستَ بحاجةٍ لبذل جهدٍ كبيرٍ في عمليات الضرب الأربعة الأخيرة. فهي تُخصّص فقط لآخر 56 يدًا، واحتمالية تأثير هذه الأيادي الـ 56 في النتيجة النهائية ضئيلةٌ جدًا. أنا متأكدٌ من أن قرائي المُحبّين للكمال سيُنتقدونني بشدةٍ لو استطاعوا.

الخطوة ٤: اضرب الحالة الابتدائية بعد ٥٠٠٠ يد في T-٢٤,٩٩٥,٥٠٠. ليكن S-٠، من الخطوة ١، كما يلي:

لذا S-0 × T-24,995,500 =

الرقم في الخلية السفلية هو احتمالية الفوز بستة جوائز ملكية خلال 5000 جولة مرة واحدة على الأقل خلال الـ 25 مليون جولة. أي أن الاحتمال هو 1 من 7336.

شكرًا لـ CrystalMath لمساعدته في هذا السؤال.

قبل أن أجيب، أود أن أذكر الجميع أن عدد الطرق لاختيار k من بين n عنصر، مع الاستبدال، هو combin(n+k-1,k) = (n+k-1)!/((n-1)!×k!).

ومع ذلك، إليك الأنواع التالية من الأيدي المكونة من سبع بطاقات وعدد الطرق المميزة لإنشاء كل منها:

• 7 بطاقات من نفس النوع: combin(13,7)=1,176.
• 6 بطاقات من نفس النوع وبطاقة واحدة من نوع آخر: COMBIN(13,6)×13 = 22,308.
• 5 بطاقات من نفس النوع و 2 من نوع آخر: COMBIN(13,5)×combin(13,2) = 100,386.
• 5 بطاقات من نفس النوع وبطاقة واحدة من نوعين آخرين: COMBIN(13,5)×combin(13+2-1,2) = 117,117.
• 4 بطاقات من نفس النوع و 3 من نوع آخر: COMBIN(13,4)×combin(13,3) = 204,490.
• 4 بطاقات من نفس النوع، 2 من النوع الثاني، و1 من النوع الثالث: COMBIN(13,4)×combin(13,2)×13 = 725,010.
• 4 بطاقات من نفس النوع وبطاقة واحدة من 3 أنواع أخرى: COMBIN(13,4)×combin(13+3-1,3)×13 = 325,325.
• 3 بطاقات من بدلتين مختلفتين وبطاقة واحدة من بدلة ثالثة: 13×((COMBIN(13,3)×(COMBIN(13,3)-1)/2+COMBIN(13,3))) = 533,533.
• 3 بطاقات من نفس النوع وبطاقتين من نوعين آخرين: COMBIN(13,3)×(COMBIN(13,2)×(COMBIN(13,2)+1)/2) = 881,166.
• 3 بطاقات من نفس النوع، وبطاقتين من النوع الثاني، وبطاقة واحدة من كل من النوعين الآخرين: COMBIN(13,3)×COMBIN(13,2)×COMBIN(13+2-1,2) = 2,030,028.
• بطاقتان من كل من ثلاث بطاقات وبطاقة واحدة من البطاقة الرابعة: ((COMBIN(13,2)×(COMBIN(13,2)+1)×(COMBIN(13,2)+2)/6) = 1,068,080.

مجموع هذه التركيبات هو ٦٬٠٠٩٬١٥٩. بالمقارنة مع التركيبة (٥٢٬٧) = ١٣٣٬٧٨٤٬٥٦٠ طريقة لاختيار ٧ بطاقات من أصل ٥٢، فإن هذا يمثل انخفاضًا بنسبة ٩٥٫٥٪ في الأيدي التي تم تحليلها.

لمزيد من المناقشة حول هذا السؤال، يرجى زيارة منتدياتي في Wizard of Vegas .

احتمال تحسن الزوج إلى أربعة من نفس النوع هو 45/COMBIN(47,3) = تقريبًا 0.002775208.

احتمال حدوث ذلك في عشرة من أصل عشرة أيادي هو (0.002775208) ¹⁰ = تقريبًا 1 في 36,901,531,632,979,700,000,000,000.

إن هذا الاحتمال يشبه شراء ثلاث تذاكر Powerball مستقلة وعشوائية والفوز بها جميعًا.

التفسير هو أن هذه ليست لعبة فيديو بوكر عادية، ذات احتمالات طبيعية، حيث لكل ورقة فرصة متساوية للسحب من الأوراق المتبقية في المجموعة. لا، هذا ما يُسمى "VLT" أو جهاز يانصيب الفيديو. في مثل هذه الألعاب، تكون النتيجة مُقدّرة مسبقًا، بغض النظر عن كيفية دفع اللاعب لأوراقه. إنها مثل بطاقة يانصيب الكشط، ولكن النتيجة تُعرض للاعب كما في لعبة فيديو بوكر. قد تتساءل: ماذا لو احتفظ اللاعب بالأوراق الخمس جميعها؟ حينها سيأتي جني ليُغيّر بعض الأوراق، أو يفوز اللاعب بمكافأة تُوصله إلى 2500 نقطة.

تم طرح هذا السؤال ومناقشته في منتدياتي في Wizard of Vegas .

في هذه الحالة، لجأتُ إلى زميلي الموقر، غاري كوهلر، الخبير في رياضيات فيديو بوكر. إليكم إجاباته، حسب عدد أوراق اللعب:

بالنسبة للملك الأول، احتمال الحصول على ثلاثة ملك عند التوزيع، في أي نوع، هو 4*comb(5,3)*comb(47,2)/comb(52,5) = 0.01663742. احتمال إكمال الملك عند السحب هو 1/comb(47,2) = 0.00092507. لذا، فإن احتمال كلا الحدثين هو 0.01663742 * 0.00092507 = 0.00001539، أو 1 من 64,974.

احتمال الحصول على أي ورقتين ملكيتين من أي نوعين بهذه الطريقة في عشر أيادٍ هو combin(10,2) * 0.00001539 ² (1-0.00001539) ⁸ = 0.00000001065810. كما حددتَ أن ورقتي الملكتين يجب أن تكونا من نفس النوع. احتمال تطابق الورقة الملكية الثانية مع الأولى هو 1/4، لذا اقسم الاحتمال السابق على 4 لتحصل على 0.00000000266453، أي 1 من 375,301,378.

تم طرح هذا السؤال ومناقشته في منتدياتي في Wizard of Vegas .