معيار كيلي

مقدمة

معيار كيلي هو أسلوب لتحديد حجم الرهانات، يُوازن بين المخاطر والمكافآت للمقامر المُراهن. وينطبق المبدأ نفسه على أي استثمار يُتوقع أن يكون مربحًا. بالنسبة للمقامر/المستثمر ذي رأس مال متوسط الحظ وحجم رهان ثابت، فإن النمو المتوقع في رأس المال بعد رهان واحد هو:

على سبيل المثال، لنفترض أن كازينو قدّم عرضًا ترويجيًا في لعبة الكرابس، حيث كان العائد على الرقم 2 هو 3 إلى 1، بينما كان العائد على الرقم 12 هو 4 إلى 1. أي رقم 3، 4، 9، 10، أو 11 لا يزال يدفع 1 إلى 1، وكل مجموع آخر يخسر. احتمال الحصول على 2 أو 12 هو 1/36 لكل منهما، واحتمال الفوز بأي مبلغ متساوٍ هو 14/36، واحتمال الخسارة هو 20/36. لنفترض أيضًا أن اللاعب يراهن بنسبة 1% من رصيده في كل رهان. عندها، سيكون النمو المتوقع في رصيده لكل رهان:

(1 + (0.01*3))^(1/36) * (1 + (0.01*1)^(14/36) * (1 + (0.01*-1))^(20/36) * (1 + (0.01*4))^(1/36)) - 1 = 0.00019661.

يتم تعظيم هذا المنتج من خلال مراهنات كيلي. كما تُقلل مراهنات كيلي من عدد الرهانات المتوقعة اللازمة لمضاعفة رأس المال، عندما يكون حجم الرهان متناسبًا دائمًا مع رأس المال الحالي.

مبلغ رهان كيلي هو المبلغ الأمثل لتعظيم نمو رأس المال المتوقع، للمقامر ذي الحظ المتوسط. في حين أن المراهنة بأكثر من كيلي ستُحقق مكاسب متوقعة أكبر لكل رهان، إلا أن التقلبات الكبيرة تُسبب انخفاض نمو رأس المال على المدى الطويل مقارنةً بحجم رهان كيلي الدقيق. المراهنة بضعف كيلي لا تُسفر عن نمو متوقع. أي رهان أكبر من ضعف كيلي يُؤدي إلى انخفاض متوقع في رأس المال. الأكثر شيوعًا هو المراهنة بأقل من مبلغ كيلي الكامل. في حين أن هذا يُقلل من النمو المتوقع، إلا أنه يُقلل أيضًا من تقلب رأس المال. على سبيل المثال، المراهنة بنصف مبلغ كيلي تُقلل من تقلب رأس المال بنسبة 50%، ولكن النمو بنسبة 25% فقط.

بالنسبة للرهانات البسيطة التي تتضمن نتيجتين فقط، يكون رهان كيلي الأمثل هو حاصل قسمة الميزة على قيمة الرهان المدفوعة على أساس "إلى واحد". أما بالنسبة للرهانات التي تتضمن أكثر من نتيجة محتملة، فإن رهان كيلي الأمثل هو الذي يُعظم لوغاريتم الرصيد بعد الرهان. ومع ذلك، قد يكون من الصعب تحديد ذلك بالنسبة للرهانات التي تتضمن أكثر من نتيجة. يستخدم معظم المقامرين ميزة/تباين كتقريب، وهو مُقدّر جيد جدًا. على سبيل المثال، إذا كانت ميزة الرهان 2%، وتباينه 4، فإن المقامر الذي يستخدم "كيلي الكامل" سيراهن بنسبة 0.02/4 = 0.5% من رصيده على ذلك الحدث. تذكر أن التباين هو مربع الانحراف المعياري، وهو مُدرج للعديد من الألعاب في دليل مقارنة الألعاب الخاص بي.

دعونا ننظر إلى ثلاثة أمثلة.

المثال ١: يُدرك عدّاد البطاقات ميزة بنسبة ١٪ عند العدد المُعطى. من دليل مقارنة الألعاب، نرى أن الانحراف المعياري للعبة البلاك جاك هو ١.١٥ (والذي قد يختلف وفقًا للقواعد والعدد). إذا كان الانحراف المعياري ١.١٥، فإن التباين هو ١.١٥ = ^٢ = ١.٣٢٢٥. نسبة رأس المال المُراد رهانه هي ٠.٠١ / ١.٣٢٢٥ = ٠.٧٦٪.

المثال ٢: يقدم كازينو في المدينة عرضًا ترويجيًا بخمس نقاط في لعبة فيديو بوكر. عادةً ما يدفع نادي ماكينات القمار ٢/٩ من ١٪ في اللعب المجاني. لذا، عند ٥ أضعاف، يدفع نادي ماكينات القمار ١.١١٪. أفضل لعبة هي ٩/٦ جاكس أو بيتر بعائد ٩٩.٥٤٪. بعد نقاط نادي ماكينات القمار، يكون العائد ٩٩.٥٤٪ + ١.١١٪ = ١٠٠.٦٥٪، أو ميزة قدرها ٠.٦٥٪. يُظهر دليل مقارنة الألعاب أن الانحراف المعياري لـ ٩/٦ جاكس أو بيتر هو ٤.٤٢، لذا فإن التباين هو ١٩.٥٣٦٤. نسبة رأس المال للرهان هي ٠.٠٠٦٥ / ١٩.٥٣٦٤ = ٠.٠٣٣٪. بالمناسبة، هذا العرض الترويجي مُطبق في فندق وين حاليًا، في ٢ و٣ سبتمبر ٢٠٠٧.

المثال 3: رهان رياضي احتمال فوزه 20%، وعائده 9 إلى 2. الميزة هي 0.2 × 4.5 + 0.8 × -1 = 0.1. رهان كيلي الأمثل هو 0.1/4.5 = 2.22%.

فيما يلي الحسابات الدقيقة للمثال 3. ليكن x هو رهان كيلي الأمثل، برصيد 1 قبل الرهان. اللوغاريتم المتوقع لرصيد الرصيد بعد الرهان هو...

f(x) = 0.2 × log(1+4.5x) + 0.8 × log(1-x)

لتعظيم f(x)، خذ المشتقة واجعلها مساوية للصفر.

f'(x) = 0.2 × 4.5 / (1+4.5x) - 0.8 / (1-x) = 0

0.9 / (1+4.5x) = 0.8/(1-x)

0.9 - 0.9x = 0.8 + 3.6 x

4.5x = 0.1

x = .1/4.5 = 1/45 = 2.22%

تصبح الحسابات أكثر تعقيدًا عند وجود أكثر من نتيجة محتملة، كما في لعبة فيديو بوكر. لا تزال الطريقة هي نفسها، لكن إيجاد حل لـ x أصعب. في رأيي، أسهل طريقة لإيجاد حل لـ x في مثل هذه الحالات هي تجربة قيم مختلفة، باستخدام تقنيات أعلى وأدنى قيمة (مثل لعبة الساعة في لعبة "السعر مناسب")، حتى تقترب f'(x) جدًا من الصفر.

لقد طبقتُ هذا على لعبتي فيديو بوكر شائعتين بعائد يزيد عن ١٠٠٪. بالنسبة لـ " Full Pay Deuces Wild "، بعائد ١٠٠.٧٦٪، يكون حجم الرهان الأمثل ٠.٠٣٤٥٪ من رصيدك. بالنسبة لـ " ١٠/٧ Double Bonus "، بعائد ١٠٠.١٧٪، يكون حجم الرهان الأمثل ٠.٠٠٦٢٦٣٧٪ من رصيدك. سمعتُ قاعدة عامة مفادها أنه لتحقيق الفوز في فيديو بوكر، يجب أن يكون لديك رصيد يتراوح بين ٣ و٥ أضعاف مبلغ رويال الذي تلعب به. إذا كنت تلعب Full Pay Deuces Wild، فإن المبلغ الدقيق هو ٣.٦٦ رويال. أما بالنسبة لـ ١٠/٧ Double Bonus، فيكون ١٩.٩٦ رويال.

المحاكاة

لإثبات صحة كلامي بأن كيلي يُقلل عدد الرهانات لمضاعفة رصيده، افترضتُ رهانًا بقيمة متساوية بنسبة ٥١٪ للفوز، مع ميزة ٢٪، وحجم رهان كيلي ٢٪. إليك متوسط عدد الرهانات المطلوبة لمضاعفة رصيده بأحجام رهان مختلفة. إذا كان الرهان الفائز سيُمكّن المراهن من مضاعفة رصيده، فسيراهن فقط بالقدر اللازم لمضاعفة رصيده تمامًا.

كيلي ضد استراتيجية الفيديو بوكر المثالية

في مقالي "اسأل الساحر" بتاريخ ٢٠ سبتمبر ٢٠٠٧، اقترحتُ أن مُراهن كيلي قد لا يتبع أحيانًا استراتيجية بوكر الفيديو المثالية. أسبابي موضحة هناك.

روابط عن كيلي

معادلة الحظ لويليام باوندستون. اقرأ مراجعتي .

المقامرة في الكازينو من أجل الفائز

مصدر جيد عن كيلي، وخاصة فيما يتعلق بالبلاك جاك، هو كتاب Blackjack Attack من تأليف دون شليزنجر.

معيار كيلي في ويكيبيديا .

كتبه: Michael Shackleford