التباين في لعبة البلاك جاك

مقدمة

يقدم هذا الملحق معلومات تتعلق بالانحراف المعياري في لعبة البلاك جاك. ويفترض أن اللاعب يتبع الاستراتيجية الأساسية في لعبة الورق المقطوع. كل طاولة هي نتاج محاكاة منفصلة لحوالي عشرة مليارات يد لُعبت.

كتذكير، إذا كان تباين يد واحدة هو v، والتباين هو c، وعدد الأيدي التي يتم لعبها في وقت واحد هو n، فإن التباين الإجمالي هو n×v + n×(n-1)×c.

الجدول التالي هو نتاج العديد من عمليات المحاكاة والعمل البرمجي المكثف. يُظهر التباين والتغاير لمجموعات مختلفة من القواعد.

جدول الملخص

الطوابق	ناعم 17	مزدوج بعد ينقسم	يستسلم مسموح	إعادة تقسيم الآسات مسموح	مُتوقع قيمة	التباين	التغاير
6	يقف	نعم	نعم	نعم	-0.00281	1.303	0.479
6	يقف	لا	لا	لا	-0.00573	1.295	0.478
6	يضرب	نعم	نعم	نعم	-0.00473	1.312	0.487
6	يضرب	لا	لا	لا	-0.00787	1.308	0.488
6	يضرب	نعم	لا	لا	-0.00628	1.346	0.499
6	يضرب	لا	نعم	لا	-0.00699	1.272	0.475
6	يضرب	لا	لا	نعم	-0.00717	1.311	0.488
8	يضرب	لا	لا	لا	-0.00812	1.309	0.489
2	يضرب	نعم	لا	لا	-0.00398	1.341	0.495

للمقارنة، يذكر ستانفورد وونغ في كتابه "البلاك جاك الاحترافي" (صفحة ٢٠٣) أن التباين هو ١.٢٨ والتباين المشترك ٠.٤٧ لقواعده المرجعية، وهي ست مجموعات أوراق، ويقف الموزع على ١٧ ورقة ناعمة، ولا يُضاعف بعد التقسيم، ولا يُقسم الآس مرة أخرى، ولا يُستسلم. يُظهر الصف الثاني من جدولي أنني أحصل على ١.٢٩٥ و٠.٤٧٨ على التوالي، وهو رقم قريب جدًا بالنسبة لي.

تأثير تغييرات القواعد على التباين

يوضح الجدول التالي تأثير التغييرات المختلفة في القواعد مقارنة بقواعد Wong Benchmark على القيمة المتوقعة والتباين والتباين المشترك.

تأثير تغيير القاعدة

قاعدة	مُتوقع قيمة	التباين	التغاير
الوقوف على 17 ناعمة	0.00191	-0.00838	-0.00764
مسموح بالمضاعفة بعد الانقسام	0.00159	0.03753	0.01091
الاستسلام مسموح	0.00088	-0.03629	-0.01247
يُسمح بإعادة تقسيم الآسات	0.00070	0.00207	0.00037
ثمانية طوابق	-0.00025	0.00071	0.00063
طابقين	0.00230	-0.00530	-0.00422

فيما يلي جداول توضح احتمالات الفوز الصافي لأيدي واحدة إلى ثلاث أيدي بموجب قواعد Liberal Strip، المحددة أعلاه.

قواعد الشريط الليبرالي - اللعب بيد واحدة في كل مرة

يوضح الجدول الأول احتمالية كل نتيجة صافية من خلال لعب يد واحدة بموجب ما أسميه "قواعد الشريط الليبرالية"، والتي هي على النحو التالي:

ستة طوابق
يقف الموزع على 17 ناعمة (S17)
مضاعفة على أي بطاقتين أوليتين (DA2)
مضاعفة بعد التقسيم المسموح به (DAS)
التسليم المتأخر مسموح به (LS)
يُسمح بإعادة تقسيم الآسات (RSA)
يجوز للاعب إعادة التقسيم حتى ثلاث مرات (P3X)

6 طوابق S17 DA2 DAS LS RSA P3X — يد واحدة

صافي الفوز	احتمال	يعود
-8	0.00000019	-0.00000154
-7	0.00000235	-0.00001643
-6	0.00001785	-0.00010709
-5	0.00008947	-0.00044736
-4	0.00048248	-0.00192993
-3	0.00207909	-0.00623728
-2	0.04180923	-0.08361847
-1	0.40171191	-0.40171191
-0.5	0.04470705	-0.02235353
0	0.08483290	0.00000000
1	0.31697909	0.31697909
1.5	0.04529632	0.06794448
2	0.05844299	0.11688598
3	0.00259645	0.00778935
4	0.00076323	0.00305292
5	0.00014491	0.00072453
6	0.00003774	0.00022646
7	0.00000609	0.00004263
8	0.00000066	0.00000526
المجموع	1.00000000	-0.00277282

يعكس الجدول أعلاه ما يلي:

ميزة المنزل = 0.28%
التباين = 1.303
الانحراف المعياري = 1.142

احتمالية الفوز الصافي

يُطرح عليّ كثيرًا سؤالٌ عن احتمالية الفوز الصافي في البلاك جاك. يُجيب الجدول التالي على هذا السؤال.

ملخص صافي الربح في لعبة البلاك جاك

حدث	احتمال
يفوز	42.43%
يدفع	8.48%
خسارة	49.09%

الجداول الثلاثة التالية تقوم بتقسيم الأحداث المحتملة حسب ما إذا كان الإجراء الأول هو الضرب، أو الوقوف، أو الاستسلام؛ أو المضاعفة؛ أو الانقسام.

صافي الفوز عند الضرب أو الوقوف أو الاستسلام في أول إجراء

حدث	المجموع	احتمال	يعود
1.5	77147473	0.05144768	0.07717152
1	537410636	0.35838544	0.35838544
0	127597398	0.08509145	0
-0.5	76163623	0.05079158	-0.02539579
-1	681213441	0.45428386	-0.45428386
المجموع	1499532571	1	-0.04412269

صافي الربح عند مضاعفة الإجراء الأول

حدث	المجموع	احتمال	يعود
2	89463603	0.54980265	1.09960529
0	11301274	0.06945249	0
-2	61954607	0.38074486	-0.76148972
المجموع	162719484	1	0.33811558

صافي الربح عند تقسيم الإجراء الأول

حدث	المجموع	احتمال	يعود
8	1079	0.00002554	0.00020428
7	10440	0.00024707	0.00172948
6	64099	0.00151694	0.00910166
5	247638	0.00586051	0.02930255
4	1307719	0.030948	0.123792
3	4437365	0.10501306	0.31503917
2	10222578	0.24192379	0.48384758
1	2822458	0.06679526	0.06679526
0	5621675	0.1330405	0
-1	3520209	0.08330798	-0.08330798
-2	9425393	0.2230579	-0.4461158
-3	3559202	0.08423077	-0.25269231
-4	828010	0.01959538	-0.07838153
-5	152687	0.00361343	-0.01806717
-6	30536	0.00072265	-0.00433592
-7	3972	0.000094	-0.000658
-8	305	0.00000722	-0.00005774
المجموع	42255365	1	0.14619552

قواعد الشريط الليبرالي - اللعب بكلتا اليدين في وقت واحد

يوضح الجدول التالي النتيجة النهائية للعب يدين في وقت واحد وفقًا لقواعد ليبرال ستريب، الموضحة أعلاه. يُظهر عمود العائد صافي الربح بين اليدين.

6 طوابق S17 DA2 DAS LS RSA P3X — يدين

صافي الفوز	احتمال	يعود
-14	0.00000000	0.00000000
-13	0.00000000	-0.00000001
-12	0.00000001	-0.00000006
-11	0.00000003	-0.00000035
-10	0.00000023	-0.00000228
-9	0.00000163	-0.00001464
-8	0.00001040	-0.00008324
-7.5	0.00000000	-0.00000003
-7	0.00005327	-0.00037288
-6.5	0.00000009	-0.00000061
-6	0.00024527	-0.00147159
-5.5	0.00000114	-0.00000629
-5	0.00106847	-0.00534234
-4.5	0.00000967	-0.00004352
-4	0.00654661	-0.02618644
-3.5	0.00005733	-0.00020065
-3	0.04607814	-0.13823442
-2.5	0.00214887	-0.00537218
-2	0.23285866	-0.46571732
-1.5	0.03547663	-0.05321495
-1	0.09903321	-0.09903321
-0.5	0.01386072	-0.00693036
0	0.14677504	0.00000000
0.5	0.05888290	0.02944145
1	0.06026238	0.06026238
1.5	0.01030563	0.01545845
2	0.17250085	0.34500170
2.5	0.03020186	0.07550465
3	0.06443204	0.19329612
3.5	0.00559850	0.01959474
4	0.01072401	0.04289604
4.5	0.00024927	0.00112171
5	0.00187139	0.00935695
5.5	0.00007341	0.00040373
6	0.00049405	0.00296428
6.5	0.00001414	0.00009193
7	0.00012404	0.00086825
7.5	0.00000369	0.00002767
8	0.00002933	0.00023466
8.5	0.00000060	0.00000508
9	0.00000543	0.00004888
9.5	0.00000007	0.00000063
10	0.00000083	0.00000834
11	0.00000013	0.00000141
12	0.00000002	0.00000028
13	0.00000000	0.00000005
14	0.00000000	0.00000001
المجموع	1.00000000	-0.00563798

يعكس الجدول أعلاه ما يلي:

ميزة المنزل = 0.28%
التباين لكل جولة = 3.565
التباين لكل يد = 1.782
الانحراف المعياري لكل يد = 1.335

قواعد الشريط الليبرالي - لعب ثلاث أيادي في وقت واحد

يوضح الجدول التالي النتيجة النهائية للعب ثلاث جولات في وقت واحد وفقًا لقواعد ليبرال ستريب، الموضحة سابقًا. يُظهر عمود العائد صافي الربح بين الجولات الثلاث.

6 طوابق S17 DA2 DAS LS RSA P3X — ثلاث أيادي

صافي الفوز	احتمال	يعود
-16	0.00000000	-0.00000001
-15	0.00000000	-0.00000001
-14	0.00000001	-0.00000007
-13	0.00000003	-0.00000041
-12	0.00000018	-0.00000218
-11	0.00000100	-0.00001099
-10.5	0.00000000	0.00000000
-10	0.00000531	-0.00005309
-9.5	0.00000001	-0.00000006
-9	0.00002581	-0.00023228
-8.5	0.00000005	-0.00000047
-8	0.00011292	-0.00090339
-7.5	0.00000049	-0.00000370
-7	0.00046097	-0.00322680
-6.5	0.00000397	-0.00002581
-6	0.00197390	-0.01184341
-5.5	0.00002622	-0.00014419
-5	0.00969361	-0.04846807
-4.5	0.00022638	-0.00101870
-4	0.04183392	-0.16733566
-3.5	0.00319799	-0.01119297
-3	0.15826947	-0.47480842
-2.5	0.02641456	-0.06603640
-2	0.08893658	-0.17787317
-1.5	0.02183548	-0.03275322
-1	0.09681697	-0.09681697
-0.5	0.04992545	-0.02496273
0	0.06712076	0.00000000
0.5	0.02111145	0.01055572
1	0.08978272	0.08978272
1.5	0.03789943	0.05684914
2	0.04349592	0.08699183
2.5	0.01123447	0.02808618
3	0.10813504	0.32440511
3.5	0.02489093	0.08711825
4	0.06196736	0.24786943
4.5	0.00906613	0.04079759
5	0.01805409	0.09027044
5.5	0.00154269	0.00848480
6	0.00409323	0.02455940
6.5	0.00027059	0.00175885
7	0.00107315	0.00751203
7.5	0.00007208	0.00054062
8	0.00030105	0.00240840
8.5	0.00001824	0.00015505
9	0.00008014	0.00072126
9.5	0.00000431	0.00004096
10	0.00001901	0.00019010
10.5	0.00000081	0.00000846
11	0.00000398	0.00004379
11.5	0.00000013	0.00000144
12	0.00000078	0.00000939
12.5	0.00000002	0.00000023
13	0.00000016	0.00000214
13.5	0.00000001	0.00000008
14	0.00000003	0.00000045
14.5	0.00000000	0.00000001
15	0.00000001	0.00000009
15.5	0.00000000	0.00000000
16	0.00000000	0.00000002
17	0.00000000	0.00000001
المجموع	1.00000000	-0.00854917

يعكس الجدول أعلاه ما يلي:

حافة المنزل = 0.285%
التباين لكل جولة = 6.785
التباين لكل يد = 2.262
الانحراف المعياري لكل يد = 1.504

الروابط الداخلية

كتبه: Michael Shackleford