متتالية فيبوناتشي - الجزء الأول

نبدأ هذا الأسبوع سلسلة من ثلاث حدائق حول متتالية فيبوناتشي، التي تظهر في الرياضيات والطبيعة في كل مكان. ولكن قبل ذلك، أقدم لكم لغز المنطق الأسبوعي المعتاد.

لغز منطقي

أنت برفقة وحيد القرن وبيغاسوس. وحيد القرن يكذب أيام الاثنين والثلاثاء والأربعاء، وفي غير ذلك يقول الحقيقة. بيغاسوس يكذب أيام الخميس والجمعة والسبت، وفي غير ذلك يقول الحقيقة.

بسبب عدم معرفتك باليوم، تسمع العبارات التالية.

وحيد القرن، "كان يوم أمس أحد أيام كذبي."

بيغاسوس: "كان يوم أمس أحد أيام كذبي أيضاً."

ما هو اليوم؟

متتالية فيبوناتشي - الجزء الأول

دعوني أبدأ النقاش بمسألة رياضية.

إذا قمت برمي قطعة نقدية متوازنة 20 مرة، فما هو احتمال عدم الحصول على صورتين متتاليتين؟

في الرمية الأولى، هناك احتمالان ناجحان، واحتمالان إجماليان، باحتمالية 2/2 = 100%، لا يمكننا أبدًا رؤية صورتين متتاليتين. بعبارة أخرى، من المستحيل رؤية صورتين في رمية واحدة.

الرمية الثانية - هناك ثلاث مجموعات ناجحة (HT، TH، TT) و 2 ² = 4 مجموعات إجمالية لاحتمالية ¾ = 75٪، لا نرى أبدًا صورتين متتاليتين في رميتين.

الرمية الثالثة - هناك خمسة تركيبات ناجحة (HTT، HTH، THT، TTH، TTT) و 23 = 8 تركيبات إجمالية لاحتمالية 5/8 = 62.5٪، لا نرى أبدًا صورتين متتاليتين في ثلاث رميات.

لكنّ حساب التوليفات الناجحة يصبح مُرهقًا في هذه المرحلة. فلنجرّب طريقة أخرى. إذا كانت نتيجة الرمية الثالثة هي "كتابة"، فإنّ جميع التوليفات الناجحة بعد رميتين ستظلّ صحيحة. بعبارة أخرى، يُمكننا ببساطة إضافة "كتابة" إلى جميع التوليفات الناتجة عن رميتين: HTT، THT، TTT.إذا كانت نتيجة الرمية الثالثة صورة، فإن أي تركيبة تلي الرمية الأولى ستكون ناجحة بإضافة صورة وكتابة بعدها: صورة وكتابة، وكتابة وكتابة. وبالتالي، فإن إجمالي التركيبات الناجحة هو 3 إذا كانت نتيجة الرمية الثالثة كتابة، و2 إذا كانت صورة، ليصبح المجموع 5.

الرمية الرابعة - إذا كانت النتيجة كتابة، يمكننا استخدام جميع الاحتمالات من الرمية الثالثة، وهي 5 احتمالات، وإضافة حرف كتابة إلى كل منها. أما إذا كانت النتيجة صورة، فنعود إلى الرمية الثانية ونضيف حرف كتابة إلى كل منها. إجمالي الاحتمالات هو 5 + 3 = 8.

هل تلاحظ نمطًا؟ النمط الذي يبدأ برقمين واحدين، وكل رقم لاحق هو مجموع الرقمين السابقين، يكون كالتالي: 1، 1، 2، 3، 5، 8، 13، 21، 34، ... ويُعرف بمتتالية فيبوناتشي. هذا بالضبط ما نفعله هنا، حيث نعود رقمًا واحدًا للخلف إذا كانت نتيجة الرمية الأخيرة كتابة، ورقمين للخلف إذا كانت كتابة.

يوضح الجدول التالي عدد التوليفات الناجحة، وإجمالي التوليفات، واحتمالية عدم ظهور صورتين متتاليتين في رميات تتراوح من 1 إلى 20 رمية. الاحتمالية هي عدد التوليفات الناجحة مقسومًا على إجمالي التوليفات، أي 2^ن، حيث ن هو عدد الرميات. يوضح الصف الأخير أن احتمالية عدم ظهور صورتين متتاليتين هي 17711/1048576 ≈ 1.69%.

هذا يوضح استخدامًا عمليًا واحدًا فقط لمتتالية فيبوناتشي. سنتناول هذا الموضوع بمزيد من التفصيل الأسبوع المقبل من خلال دراسة نسبة حدين متتاليين في المتتالية.

حل لغز المنطق

يوم الخميس

حل لغز المنطق

لنلقِ نظرة على تصريح وحيد القرن أولاً. فهو يتوافق مع صدق وحيد القرن فقط يومي الاثنين والخميس.

لننظر إلى تصريح بيغاسوس ثانياً. فهو يتوافق مع صدق وحيد القرن فقط يومي الخميس والأحد.