نرد سيشرمان

سنؤجل هذا الأسبوع مغامرتي على طريق كامينو ديل نورتي. وبدلاً من ذلك، سأقدم لكم اللغز الذي أرى أنه يستحق نشرة إخبارية خاصة به. إليكم اللغز:

كيف يمكنك ترقيم نردين بحيث يكون احتمال الحصول على أي مجموع معين هو نفسه احتمال الحصول عليه باستخدام نردين سداسيين عاديين؟ يجب أن يحتوي أحد النردين على نقطة واحدة إلى أربع نقاط على كل وجه. أما النرد الآخر فيمكن أن يحتوي على أي عدد من النقاط على كل وجه.

أولاً، دعونا نراجع عدد التوليفات الممكنة لكل مجموع باستخدام نردين تقليديين.

فيما يلي المجاميع وفقًا لرمية النردين.

الموت 1	يموت 2
	1	2	3	4	5	6
1	2	3	4	5	6	7
2	3	4	5	6	7	8
3	4	5	6	7	8	9
4	5	6	7	8	9	10
5	6	7	8	9	10	11
6	7	8	9	10	11	12

فيما يلي عدد مرات ملاحظة كل مجموع من 2 إلى 12.

المجموع	التوليفات
2	1
3	2
4	3
5	4
6	5
7	6
8	5
9	4
10	3
11	2
12	1

لنفترض أن النرد رقم 1 هو النرد الذي يقتصر على الأرقام من 1 إلى 4. من الآمن افتراض وجود رقم 1 واحد على الأقل ورقم 4 واحد على الأقل. وإلا، لكان النطاق المعطى على الأرجح أضيق.

لتحقيق تركيبة واحدة بمجموع 2، يجب أن يكون هناك رقم 1 واحد فقط على النرد رقم 2.

لتحقيق تركيبة واحدة من 12، يجب أن يكون هناك رقم 8 واحد بالضبط على النرد رقم 2.

لا يمكننا الحصول على أكثر من الرقم 1 ورقم 4 على النرد الأول، وإلا فسيكون لدينا أكثر من مجموع 2 أو 12. هذا هو الوضع الحالي:

الموت 1	يموت 2
	1	؟	؟	؟	؟	8
1	2	؟	؟	؟	؟	9
2 أو 3	؟	؟	؟	؟	؟	؟
2 أو 3	؟	؟	؟	؟	؟	؟
2 أو 3	؟	؟	؟	؟	؟	؟
2 أو 3	؟	؟	؟	؟	؟	؟
4	5	؟	؟	؟	؟	12

إذا كان النرد الأول يحمل أربعة أرقام ٢، فسيكون هناك على الأقل ٤ طرق للحصول على مجموع ٣. نحتاج إلى طريقتين فقط. لذا، يجب أن يحمل أحد أوجه النرد على الأقل الرقم ٣.

إذا كانت النرد الثاني يحمل الأرقام 1-2-2-2-3-4، فسيكون هناك على الأقل 3 طرق للحصول على مجموع 3. مرة أخرى، نحتاج إلى طريقتين فقط.

إذن، يجب أن تكون نتيجة النرد الثاني 1-2-2-3-3-4. وهذا يعطينا 3 طرق للحصول على الرقم 3 حتى الآن.

بناءً على هذا التكوين للنرد الأول، لا يمكن أن يظهر الرقم 2 على النرد الثاني. وإلا، فسيكون هناك عدد كبير جدًا من الطرق للحصول على مجموع 3. لنجرب 3 كرقم تالٍ على النرد الثاني. هذا يعطينا المجاميع التالية بين النردين:

الموت 1	يموت 2
	1	3	؟	؟	؟	8
1	2	4	؟	؟	؟	9
2	3	5	؟	؟	؟	10
2	3	5	؟	؟	؟	10
3	4	6	؟	؟	؟	11
3	4	6	؟	؟	؟	11
4	5	7	؟	؟	؟	12

لاحظ أن هناك ثلاث طرق للحصول على مجموع 5 عند رمي النرد. نحتاج إلى أربع طرق إجمالاً. تذكر أنه باستخدام نردين، يمكننا الحصول على مجموع 5 عند رمي النرد بـ 1+4، أو 4+1، أو 2+3، أو 3+2.

إذا أضفنا 3 أخرى على النرد الثاني، فسيكون لدينا خمس طرق للحصول على مجموع 5، وهو عدد كبير جدًا. لذا، يجب أن يكون الرقم التالي على النرد الثاني هو 4 ليتطابق مع الرقم 1 الموجود على النرد الأول، لنحصل على مجموع 5 آخر. إذن، نحن الآن عند:

الموت 1	يموت 2
	1	3	4	؟	؟	8
1	2	4	5	؟	؟	9
2	3	5	6	؟	؟	10
2	3	5	6	؟	؟	10
3	4	6	7	؟	؟	11
3	4	6	7	؟	؟	11
4	5	7	8	؟	؟	12

لاحظ أن لدينا أربع طرق للحصول على مجموع ستة. نحتاج إلى خمس طرق. إذا أضفنا 4 أخرى إلى النرد الثاني، فسيكون لدينا عدد كبير جدًا من الطرق للحصول على مجموع خمسة. لذا، يجب أن تأتي الطريقة الأخرى للحصول على مجموع خمسة من ظهور الرقم 5 على النرد الثاني، ليتم دمجه مع الرقم 1 على النرد الأول. وهذا يعطينا:

الموت 1	يموت 2
	1	3	4	5	؟	8
1	2	4	5	6	؟	9
2	3	5	6	7	؟	10
2	3	5	6	7	؟	10
3	4	6	7	8	؟	11
3	4	6	7	8	؟	11
4	5	7	8	9	؟	12

المجموع التالي الذي يجب النظر إليه هو 7. حتى الآن لدينا خمس طرق، ونحتاج إلى ست. لا يمكن تحقيق ذلك إلا بإضافة 6 إلى النرد الثاني. سيتحد هذا مع 1 الموجود على النرد الأول ليعطينا مجموعًا آخر هو 7. وهذا سيعطينا:

الموت 1	يموت 2
	1	3	4	5	6	8
1	2	4	5	6	7	9
2	3	5	6	7	8	10
2	3	5	6	7	8	10
3	4	6	7	8	9	11
3	4	6	7	8	9	11
4	5	7	8	9	10	12

تتطابق جميع التوليفات الممكنة لكل مجموع مع تلك التي يتم الحصول عليها باستخدام نردين تقليديين. وهكذا نكون قد انتهينا. بالمناسبة، تُسمى هذه النردات بنرد سيشرمان.

ائتمان

لقد رأيت هذه المشكلة عدة مرات على مر العقود. أعتقد أنها صعبة للغاية إذا لم يُلمح إلى أن النرد الواحد له نطاق من 1 إلى 4.

يوجد فيديو جيد حصلت فيه على منطق هذا الحل بعنوان " هل يمكنك حل لغز النرد الملعون؟ - دان فينكل " على قناة Ted-Ed على يوتيوب.