احتمال وجود قوس مثالي

مقدمة

سؤالٌ يُطرح عليّ كثيرًا في مارس: "ما هو احتمال إكمال قوس بطولة مارس مادنس بشكل مثالي؟" إحصائيةٌ تُستشهد بها وسائل الإعلام كثيرًا هي 1 من 9,223,372,036,854,780,000. هذا الاقتباس مبنيٌّ على التخمين العشوائي، وهو أمرٌ لا يفعله أحد، ويُثير قلقي. سأقدم هنا استراتيجيةً أساسيةً يُمكنك اتباعها، دون معرفةٍ مسبقةٍ بكرة السلة، وتقديرًا لاحتمال نجاحك باستخدام هذه الاستراتيجية.

قواعد

فيما يلي قواعد البطولة. إذا كنت تعرفها مسبقًا، يمكنك تخطي هذا الجزء.

في معظم الأحيان، تُقام البطولة بنظام خروج المغلوب من مرة واحدة، وتبدأ بمشاركة 64 فريقًا. ولإرضاء قرائي الباحثين عن الكمال، هناك 68 فريقًا في الواقع، حيث يتنافس ثمانية منهم في أربع مباريات. الفائزون في هذه المباريات الأربع، بالإضافة إلى 60 فريقًا آخر، يُصبح عدد الفرق 64 فريقًا، وهو الوقت الذي يبدأ فيه عادةً اختيار الأقواس.

تُقسّم الفرق الـ 64 إلى أربعة مؤتمرات مختلفة: الشمال، والجنوب، والغرب، والشرق، ويضم كل منها 16 فريقًا. لكل فريق في كل مؤتمر تصنيف من 1 إلى 16، وهو تصنيف يُحسب بناءً على قدراته، مع أنها طريقة غير دقيقة. بعد ذلك، سيحدث ما يلي:

سيلعب المصنفون الأربعة رقم 1 مع المصنفين الأربعة رقم 16.
سيلعب المصنفون الأربعة الثمانية ضد المصنفين الأربعة التسعة.
سيلعب المصنفون الأربعة الخمسة ضد المصنفين الأربعة الاثني عشر.
سيلعب المصنفون الأربعة الأربعة ضد المصنفين الأربعة الـ 13.
ستلعب الفرق الأربعة المصنفة 6 مع الفرق الأربعة المصنفة 11.
سيلعب المصنفون الأربعة الثلاثة ضد المصنفين الأربعة عشر.
سيلعب المصنفون الأربعة رقم 2 مع المصنفين الأربعة رقم 15.
سيلعب المصنفون الأربعة السبعة ضد المصنفين الأربعة العشرة.
بعد المباريات في الخطوات من 1 إلى 8، سيتم تقليص الفرق الـ64 إلى 32.
الفائزون من القاعدة 1 سيلعبون مع الفائزين من القاعدة 2.
الفائزون من القاعدة 3 سيلعبون مع الفائزين من القاعدة 4.
الفائزون من القاعدة 5 سيلعبون مع الفائزين من القاعدة 6.
الفائزون من القاعدة 7 سيلعبون مع الفائزين من القاعدة 8.
بعد المباريات في الخطوات من 10 إلى 13، سيتم تقليص الفرق الـ32 المتبقية إلى 16.
الفائزون من القاعدة 10 سيلعبون مع الفائزين من القاعدة 11.
الفائزون من القاعدة 12 سيلعبون مع الفائزين من القاعدة 13.
بعد المباريات في الخطوتين 15 و16، سيتم تقليص الفرق الـ16 المتبقية إلى ثمانية فرق.
الفائزون من القاعدة 15 سيلعبون مع الفائزين من القاعدة 16.
بعد المباريات في الخطوة 18، سيتم تقليص الفرق الثمانية المتبقية إلى 4. سيؤدي هذا إلى تحديد الفائز من كل قسم من الأقسام الأربعة.
يلعب الفائز بالمنطقة الذي كان لديه الفريق رقم 1 في الترتيب العام كما حددته لجنة كرة السلة في NCAA عند اختيار فرق البطولة، مع الفائز بالمنطقة الذي كان لديه الفريق رقم 4 في الترتيب العام؛ مع تقدم الفائز.
يلعب الفائزون من المنطقتين، غير المذكورين في القاعدة 20، ضد بعضهم البعض، ويتقدم الفائز.
الفائزون في الخطوتين 20 و 21 سيلعبون، والفائز يفوز بالبطولة.

بمجرد وصول عدد الفرق إلى 64، سيكون هناك 32+16+8+4+2+1=63 مباراة في البطولة.

الاستراتيجية الأساسية

اختر دائمًا الفريق صاحب التصنيف الأعلى أو الأقل تصنيفًا. على سبيل المثال، في المباريات الأربع التي يلعب فيها فريق مصنف أول ضد فريق مصنف في المركز السادس عشر، اختر الفريق المصنف أول. من بين 136 مباراة لعب فيها فريق مصنف أول ضد فريق مصنف في المركز السادس عشر، فاز الفريق المصنف أول 135 مرة. شهد عام 2018 أول خسارة للفريق المصنف أول أمام فريق مصنف في المركز السادس عشر عندما تغلبت جامعة ميريلاند بالتيمور (UMBC) (التي تضم فريق شطرنج رائعًا) على جامعة فيرجينيا.

عندما تصل إلى تصنيف رقم واحد يفوز بكل قسم من الأقسام الأربعة، اختر الألعاب الثلاث المتبقية بشكل عشوائي.

المباريات

يوضح الجدول التالي عدد المواجهات غير المتوازنة التي حدثت مرة واحدة على الأقل. هذا لا يشمل المباريات التي تنافست فيها فرق متقاربة في التصنيف. يوضح العمود الأيمن احتمال فوز الفريق الأعلى تصنيفًا.

نتائج المباريات غير المتوازنة

بذرة أعلى	البذرة السفلى	الألعاب التي لعبت	فوز البذور الأعلى	احتمال
1	2	67	36	0.537313
1	3	36	22	0.611111
1	4	64	47	0.734375
1	5	48	40	0.833333
1	6	13	10	0.769231
1	7	7	6	0.857143
1	8	75	60	0.800000
1	9	71	65	0.915493
1	10	6	5	0.833333
1	11	8	4	0.500000
1	12	20	20	1.000000
1	13	4	4	1.000000
1	16	144	143	0.993056
2	3	56	34	0.607143
2	4	7	3	0.428571
2	5	5	0	0.000000
2	6	30	23	0.766667
2	7	82	57	0.695122
2	8	7	2	0.285714
2	9	1	0	0.000000
2	10	52	34	0.653846
2	11	18	15	0.833333
2	12	2	2	1.000000
2	15	144	134	0.930556
3	4	7	4	0.571429
3	5	4	2	0.500000
3	6	75	45	0.600000
3	7	15	9	0.600000
3	8	2	2	1.000000
3	9	2	2	1.000000
3	10	12	8	0.666667
3	11	49	32	0.653061
3	14	144	122	0.847222
3	15	2	2	1.000000
4	5	75	42	0.560000
4	6	4	2	0.500000
4	7	5	2	0.400000
4	8	9	4	0.444444
4	9	3	2	0.666667
4	10	2	2	1.000000
4	12	39	26	0.666667
4	13	144	113	0.784722
5	6	1	1	1.000000
5	8	3	1	0.333333
5	9	3	1	0.333333
5	10	1	1	1.000000
5	12	144	93	0.645833
5	13	19	16	0.842105
6	7	9	6	0.666667
6	8	1	0	0.000000
6	10	7	4	0.571429
6	11	144	90	0.625000
6	14	15	13	0.866667
7	8	2	1	0.500000
7	10	144	87	0.604167
7	11	3	0	0.000000
7	14	1	1	1.000000
7	15	5	3	0.600000
8	9	144	74	0.513889
8	11	1	1	1.000000
8	12	2	0	0.000000
8	13	1	1	1.000000
8	16	1	0	0.000000
9	11	1	0	0.000000
9	13	1	1	1.000000
10	11	3	1	0.333333
10	14	1	1	1.000000
10	15	5	5	1.000000
11	14	7	6	0.857143
12	13	12	9	0.750000

تحليل

كانت الطريقة التي استخدمتها لتحليل احتمال القوس المثالي هي النظر إلى التجربة التاريخية لأي فريق مصنف يهزم فريق مصنف آخر. على سبيل المثال، احتمال فوز فريق مصنف رابع على فريق مصنف خامس. في وقت كتابة هذا، ومع وجود 36 عامًا من البيانات من عام 1985 إلى عام 2021، حدثت مثل هذه المباراة 75 مرة، وفاز الفريق المصنف الرابع بـ 42 منها، باحتمال 56٪. هذه طريقة جيدة، لكنها تعاني من مشكلة صغيرة في حجم العينة. أعتقد أن الطريقة الأفضل للحصول على احتمال فوز الفريق المصنف الأعلى في أي مباراة معينة، وفقًا لرقمي المصنفين، هي النظر إلى جميع مباريات البطولة البالغ عددها 2268 مباراة التي لعبت في 36 عامًا بين عامي 1985 و2021. لقد منحني القيام بذلك الفرصة لتسوية الصعود والهبوط في البيانات وإجراء تقدير أفضل. أتناول كيف فعلت ذلك بمزيد من التفصيل في صفحتي على March Madness .

يوضح الجدول التالي احتمال فوز الفريق المصنف الأعلى بأي مباراة ممكنة ضرورية للفوز إذا اختار اللاعب الفريق المصنف الأعلى في كل مباراة. في حالة مواجهة فريق مصنف أول ضد فريق مصنف أول، أفترض أن احتمال الفوز في أي مباراة هو 50%. تعتمد طريقة الاحتمال القديمة على الاحتمال الدقيق، استنادًا إلى الخبرة السابقة. أما الطريقة الجديدة فتعتمد على طريقتي في تنعيم البيانات للحصول على صورة أدق لقوة أي فريق مصنف.

احتمال فوز المرشح المفضل

دائري	حدث	الألعاب التي لعبت	احتمال الطريقة القديمة	احتمال طريقة جديدة
1	1 نبضة 16	4	0.993056	0.993049
1	2 نبضة 15	4	0.930556	0.933458
1	3 ضربات 14	4	0.847222	0.887485
1	4 ضربات 13	4	0.784722	0.832170
1	5 نبضات 12	4	0.645833	0.768372
1	6 ضربات 11	4	0.625000	0.697340
1	7 ضربات 10	4	0.604167	0.620749
1	8 ضربات 9	4	0.513889	0.540650
2	1 نبضة 8	4	0.800000	0.792047
2	4 ضربات 5	4	0.560000	0.540873
2	3 ضربات 6	4	0.600000	0.622246
2	2 نبضة 7	4	0.695122	0.702952
3	1 نبضة 4	4	0.734375	0.668944
3	2 نبضة 3	4	0.607143	0.551538
4	1 نبضة 2	4	0.537313	0.578959
5	1 نبضة 1	2	0.500000	0.500000
6	1 نبضة 1	1	0.500000	0.500000

قبل المتابعة، دعوني أستخدم صيغة pr(x) = احتمال وقوع الحدث x. على سبيل المثال، pr(برمي نردين بمجموع 7) = 1/6.

تذكر أن هناك أربعة أقسام في البطولة، لذلك بالنسبة للجولات الأربع الأولى، سيتعين على اللاعب الفوز بأي مباراة معينة أربع مرات.

احتمال الفوز بجميع المباريات الـ 32 في الجولة الأولى والتقدم إلى الجولة الثانية هو: [pr(فوز المصنف الأول على المصنف السادس عشر)*pr(فوز المصنف الثاني على المصنف الخامس عشر)*pr(فوز المصنف الثالث على المصنف الرابع عشر)*pr(فوز المصنف الرابع على المصنف الثالث عشر)*pr(فوز المصنف الخامس على المصنف الثاني عشر)*pr(فوز المصنف السادس على المصنف الحادي عشر)*pr(فوز المصنف السابع على المصنف العاشر)*pr(فوز المصنف الثامن على المصنف التاسع)]^4.

وبموجب الطريقة الجديدة، فإن احتمال البقاء على قيد الحياة حتى الجولة الثانية هو 1 من 4354.

في الجولة الثانية، سيكون أمام اللاعب ١٦ مباراة للفوز. بافتراض نجاته من الجولة الأولى، فإن احتمالية نجاته من الجولة الثانية ستكون [pr(فوز المصنف الأول على المصنف الثامن)*pr(فوز المصنفين على المصنف السابع)*pr(فوز المصنف الثالث على المصنف السادس)*pr(فوز المصنف الرابع على المصنف الخامس)]^٤. هذا الاحتمال، باستخدام الطريقة الجديدة، هو ١ من ٨١١. واحتمالية النجاة من الجولتين الأولى والثانية هي ١ من ٣,٥٣١,١٣٨.

في الجولة الثالثة، أمام اللاعب 8 مباريات للفوز بها. بافتراض نجاته من الجولتين الأولى والثانية، فإن احتمال نجاته من الجولة الثالثة سيكون [pr(فوز المصنف الأول على المصنف الرابع)*pr(فوز المصنفين على المصنف الثالث)]^4. هذا الاحتمال، باستخدام الطريقة الجديدة، هو 1 من 54. واحتمال البقاء حتى هذه النقطة، منذ البداية، هو حوالي 1 من 190 مليون.

في الجولة الرابعة، سيكون أمام اللاعب أربع مباريات للفوز بها. ستكون جميعها مباريات بين المصنفين الأوائل. لنفترض أن احتمال الفوز في كل مباراة هو ٥٠٪. احتمال الفوز بجميع المباريات الأربع هو (١/٢)^٤ = ١ من ١٦. احتمال البقاء حتى هذه المرحلة، من البداية، هو حوالي ١ من ١.٧ مليار.

في الجولة الخامسة، سيكون أمام اللاعب مباراتان للفوز. ستكون جميعها مباريات بين المصنفين الأوائل. لنفترض مجددًا أن احتمال الفوز في كل مباراة هو ٥٠٪. احتمال الفوز في المباراتين هو (١/٢)^٢ = ١ من ٤. احتمال البقاء حتى هذه النقطة، من البداية، هو حوالي ١ من ٦.٨ مليار.

سيبقى أمام اللاعب مباراة واحدة للفوز بها، وهي مباراة البطولة. إذا نجا حتى هذه المرحلة، فستكون مواجهة أخرى بين المصنفين الأول والثاني. لنفترض مجددًا أن احتمالية الفوز ٥٠٪. هذا يجعل احتمالية البقاء حتى مباراة البطولة، في حالة التأهل الكامل، حوالي ١ من ١٣.٦ مليار.

وبالمناسبة، فإن استخدام الطريقة القديمة يؤدي إلى احتمالية الحصول على قوس مثالي وهي 1 من 56.7 مليار.

جائزة وارن بافيت

عرض وارن بافيت مليون دولار أمريكي سنويًا، مدى الحياة، لأي موظف لديه يحقق الشرط المثالي. يعمل لدى وارن حوالي 377 ألف موظف ( المصدر ). بافتراض أن كل موظف اتبع الاستراتيجية المذكورة أعلاه، وعاش 60 عامًا أخرى، فإن القيمة المتوقعة لكل موظف هي 0.4 سنت، والتكلفة المتوقعة للسيد بافيت على جميع موظفيه هي 1667 دولارًا أمريكيًا.

إذا كنت لا ترغب في المخاطرة بمشاركة مجد القوس المثالي مع شخص آخر باتباع استراتيجيتي، فأقترح اختيار فريق أو فريقين من المصنفين التاسع والثامن للتغلب على المصنف الثامن. احتمال فوز المصنف التاسع على المصنف الثامن هو 47.8%، لذا فهي تضحية بسيطة لزيادة فرصك في الاستحواذ على مجد القوس المثالي لنفسك.