احتمالات الجائزة الكبرى التراكمية ميجاباكس

مقدمة

تستكشف هذه الصفحة احتمالات ماكينة القمار ذات الجائزة الكبرى التدريجية، Megabucks، بما في ذلك متوسط الجائزة الكبرى ونقطة التعادل.

في الوقت الحالي، دعونا نتجاهل حقيقة أن الجائزة الكبرى يتم دفعها على أقساط على مدى 25 عامًا وأن الجائزة الكبرى ستكون خاضعة لضريبة الدخل.

لا أعرف بالضبط كيفية برمجة ميجاباكس. مع ذلك، هناك بعض المعلومات المتاحة للعامة. إذا جمعنا المعلومات معًا، يمكننا تقدير النقطة التي يكون عندها العائد 100%، وهي ما يُعرف بـ"نقطة التعادل". إليكم ما نعرفه:

• وفقًا لجون روبيسون، فإن احتمال الفوز بالجائزة الكبرى هو ١ من ٤٩,٨٣٦,٠٣٢. هذا الرقم مأخوذ من مقال بعنوان " ميجا باكس يقترب من الفوز بجائزة كبرى قياسية" من صحيفة لاس فيغاس صن، بتاريخ ٢٤ ديسمبر ١٩٩٩. يبلغ هذا الاحتمال (١/٣٦٨) ^٣ ، مما يعني أن لكل بكرة فرصة ١ من ٣٦٨ للفوز بالجائزة الكبرى.

• تشير هيئة مراقبة ألعاب القمار في نيفادا إلى أرباح ميجاباكس، سواءً على أساس النسبة المئوية أو على أساس الدولار. فيما يلي ملخص للفترة من عام ١٩٩٤ إلى عام ٢٠٠٩.

  فوز ميجاباكس — من 1994 إلى 2009

  سنة	الفوز ($)	يفوز (٪)
  2009	53,352,000	10.43%
  2008	83,981,000	11.85%
  2007	88,858,000	12.72%
  2006	100,923,000	12.39%
  2005	100,923,000	12.39%
  2004	67,326,000	10.54%
  2003	83,069,000	10.41%
  2002	76,842,000	11.98%
  2001	69,821,000	11.50%
  عام 2000	69,103,000	9.75%
  1999	74,921,000	12.28%
  1998	134,943,000	12.25%
  1997	66,166,000	12.18%
  1996	57,619,000	10.03%
  1995	65,223,000	10.48%
  1994	46,760,000	9.44%
  المجموع	1,239,830,000	11.39%

  المعلومة الأساسية من هذا الجدول هي أن إجمالي ربح اللعبة بلغ 11.39%، أي أن 88.61% من الأرباح تعود للاعبين.

• وفقًا لمصدرٍ مُنحل، بدءًا من سبتمبر ٢٠٠٥، أُعيدَت قيمةُ جائزة ميجاباكس إلى ١٠ ملايين دولار. قبل ذلك، كانت قيمةُ الجائزة المُعادَة ٧ ملايين دولار.

• وفقًا لموقع a2zlasvegas.com ، سُجِّلت ١١ جائزة كبرى بين سبتمبر ٢٠٠٥ وتاريخ آخر جائزة كبرى (٢١ فبراير ٢٠١٠). ويُظهر الموقع نفسه فوزًا بجائزة كبرى في ١٥ سبتمبر ٢٠٠٥. ويبلغ عدد الأيام بين ذلك التاريخ ووقت كتابة هذه السطور ١٦١٩ يومًا. كما يتضح من الموقع أن إجمالي قيمة الجوائز الإحدى عشرة الأخيرة بلغ ١٦٧,٣٦٧,٧٢٧ دولارًا أمريكيًا. منها ١١٠,٠٠٠,٠٠٠ دولار أمريكي من المبالغ المُعاد تعيينها، و٥٧,٣٦٧,٧٢٧ دولارًا أمريكيًا من المساهمة التصاعدية.

يمكننا تقدير عدد مرات لعب ميجاباكس خلال فترة الـ ١٦١٩ يومًا بقسمة عدد الجوائز الكبرى (١١) على احتمال الفوز: ١١/(١/٣٦٨) ^٣ = ٥٤٨,١٩٦,٣٥٢. بافتراض أن كل لاعب راهن بمبلغ ٣ دولارات المطلوب للفوز بالجائزة الكبرى، يكون مجموع الرهان ١,٦٤٤,٥٨٩,٠٥٦ دولارًا.

وبالتالي، فإن نسبة الأموال المُعادة للاعبين على شكل جوائز كبرى هي 167,367,727 دولارًا أمريكيًا / 1,644,589,056 دولارًا أمريكيًا = 10.18%. بناءً على تقارير نيفادا للألعاب، نعلم أن إجمالي نسبة الأموال المُعادة للاعبين هي 88.61%. هذا يعني أن نسبة الأموال المُعادة للاعبين من غير الجوائز الكبرى هي 88.61% - 10.18% = 78.44% (الفرق الظاهري بنسبة 0.01% ناتج عن التقريب).

إذا لم تكن هناك مكاسب صغيرة، ولا مساهمة تصاعدية، فسيكون عائد اللعبة 10 ملايين دولار/(3 × (1/368) ³ ) = 6.69%. وكما هو موضح سابقًا، يبلغ العائد الإجمالي من الجوائز الكبرى 10.18%، ويتبقى 3.49% من عداد الجائزة الكبرى. فيما يلي ملخص لكيفية إنفاق كل دولار واحد على Megabucks:

متوسط قيمة الجائزة الكبرى المتوقعة هو 10 ملايين + [3 دولارات × 0.0349 / (1/368) ³ ] = 15,215,248 دولارًا. في عام 2006، عندما كانت قيمة الجائزة الكبرى تقارب 16 مليون دولار، اشترت شركة IGT، الشركة المُطوّرة للعبة Megabuck، إعلانات في وسائل الإعلام المحلية تُشير إلى أن الجائزة الكبرى "مُستحقة" للفوز. وقد نُقل عني هذا الكلام في مقال نُشر في صحيفة Las Vegas Sun بعنوان " بنسات جاهزة للظهور ". ويبدو أن هذا يُشير إلى أن تقديري البالغ 15.2 مليون دولار ليس بعيدًا عن الحقيقة.

إذا كانت j هي الجائزة الكبرى التي تصبح عندها اللعبة رهانًا عادلاً، مع عائد بنسبة 100%، فيمكننا حل j على النحو التالي:

1 = 0.7844 + ج × (1/368) ³ /3
ج × (1/368) ³ /3 = 1 - 0.7844
ج = 3 × (1 - 0.7844) / (1/368) ³
ج = 32,238,319 دولارًا.

احتمال نمو أي جائزة كبرى بهذا الحجم هو ١.٤١٪. وبمعدل اللعب الحالي، يُفترض أن تصل الجائزة الكبرى إلى هذا الحجم مرة كل ٢٩ عامًا، في المتوسط.

في أي وقت، يمكن تقدير العائد بـ 78.44% + 0.6689% × م، حيث م هو عدد الجوائز الكبرى الحالية بالملايين. على سبيل المثال، عند فوز بجائزة كبرى قدرها 15 مليون دولار، يكون العائد 78.44% + 0.006689 × 15 = 88.47%.

يجب اعتبار كل ما هو مذكور في هذه الصفحة تقديرًا تقريبيًا. قد تكون هناك عوامل عديدة قد تؤدي إلى خطأ في هذا التقدير، بما في ذلك عدم مراهنة اللاعبين بمبلغ 3 دولارات كاملًا، وحقيقة أنه على الرغم من الفوز بـ 11 جائزة كبرى خلال فترة الدراسة، إلا أن العدد المتوقع قد يكون أعلى أو أقل.

تجدر الإشارة أيضًا إلى أن ما سبق لا يأخذ في الاعتبار المعاش التقاعدي أو الضرائب. لننظر إلى ما سيحدث إذا أخذنا هذه العوامل في الاعتبار. بالنسبة للقيمة الزمنية للنقود، لنستخدم عائد سندات الخزانة طويلة الأجل. تُدفع جوائز "ميجا باكس" الكبرى في معاش تقاعدي مدته 25 عامًا. وقت كتابة هذه السطور، كان معدل الفائدة على سندات الخزانة لأجل 20 عامًا 4.58%، بينما كان معدل الفائدة على سندات الخزانة لأجل 30 عامًا 4.74%. لنقسم الفرق على 4.66%. باستخدام بعض الحسابات الاكتوارية التي لن أخوض فيها، تبلغ قيمة المعاش التقاعدي 61.07% من القيمة الاسمية، بناءً على معدل الفائدة هذا، و25 قسطًا سنويًا، في بداية كل عام.

بالنسبة للضرائب، لنفترض أن الجائزة الكبرى المتوقعة تبلغ 15 مليون دولار أمريكي. بموجب معدلات ضريبة الدخل لعام 2010 ، بافتراض أن الفائز سيقدم إقرارًا ضريبيًا مشتركًا، وأن جميع الدخل الآخر يساوي تمامًا الخصومات، ستكون الضرائب المستحقة 30.05% لعام 2010. بافتراض عدم حدوث أي تغيير في قانون الضرائب، ستنخفض هذه النسبة بمرور الوقت، لأن الشرائح الضريبية ستُعدّل صعودًا، ولكن المدفوعات الفائزة لن تُعدّل. أميل إلى الاعتقاد بأن إقرار قانون الرعاية الصحية مؤخرًا سيزيد معدلات الضرائب، وخاصةً على الدخول الكبيرة. لنفترض ببساطة أن هذه العوامل تُلغي بعضها البعض.

للحفاظ على أرقام تقريبية، سيحصل الفائز على 61% بعد المعاش، و70% منه بعد الضرائب. وبالتالي، سيحصل الفائز بالجائزة الكبرى على حوالي 61% × 70% = 42.7% من أرباحه بالدولار الحالي. وباحتساب المعاش والضرائب، تصبح نقطة التعادل 75.5 مليون دولار. احتمال نمو أي جائزة كبرى بهذا الحجم هو حوالي 1 من 283,000، ويحدث مرة كل 114,000 سنة. مرة أخرى، أفترض الكثير، لذا يجب اعتبار هذه التقديرات تقريبية للغاية.

بعد نشر هذه المقالة، استشهد أحد القراء بصفحة على موقع slot-machine-resource.com ، تنص على أنه بعد سداد الدفعة الأولى، يُتاح للاعب خيار الحصول على 60% من الباقي فورًا، أو الاستمرار في خطة التقسيط. وبغض النظر عن التبعات الضريبية التي تُفضّل المعاش التقاعدي، فإن معدل الفائدة الذي يتساوى عنده الخياران هو 4.581%.

الروابط الخارجية

• تقترب لعبة Megabucks من الفوز بالجائزة الكبرى القياسية من صحيفة Las Vegas Sun، بتاريخ 24 ديسمبر 1999.
• مجلس مراقبة الألعاب في نيفادا
• نسبة الدفع للفتحات، من كازينو Cassaon.
• تاريخ جوائز Megabucks Jackpots ، من a2zlasvegas.com.
• بنسات جاهزة للفرقعة ، من صحيفة لاس فيغاس صن، 9 أغسطس 2006.
• Megabucks ، من slot-machine-resource.com.

 

كتبه: Michael Shackleford